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1、第1/2章杆系有限元分析中的矩阵位移法例：如图所示平面刚架，忽略杆件轴向变形。例：如图所示平面刚架，忽略杆件轴向变形。解：解：1 1、结构的离散化、结构的离散化将刚架离散为两个单元，将刚架离散为两个单元，如图。如图。确定单元杆端力与杆端位移之间的关系。即分别对单元确定单元杆端力与杆端位移之间的关系。即分别对单元 、建立建立转角位移方程转角位移方程：单元单元：2、单元分析、单元分析若将上式用矩阵形式表示，则为：若将上式用矩阵形式表示，则为：称为矩阵位移法中的称为矩阵位移法中的单元刚度方程单元刚度方程，而矩阵，而矩阵KK(1)(1)称为单元称为单元1 1的刚度矩阵，其中的元素即为转角位移的刚度矩阵
2、，其中的元素即为转角位移方程中与结点位移相对应的系数。方程中与结点位移相对应的系数。同理单元同理单元：记做矩阵形式：记做矩阵形式：3 3、整体分析整体分析 根根据据结结点点平平衡衡条条件件和和位位移移协协调调条条件件由由单单元元结结点点的的转转角位移方程建立位移法的典型方程。角位移方程建立位移法的典型方程。即：即：记做矩阵形式：记做矩阵形式：此即位移法基本方程此即位移法基本方程移项整理得：移项整理得：简记做：简记做：进一步地：进一步地：此即矩阵位移法的此即矩阵位移法的整体刚度方程整体刚度方程，也是关，也是关于结点位移的线性代数方程组。于结点位移的线性代数方程组。KK为结构整体刚度矩阵为结构整体
3、刚度矩阵 为结构整体结点位移列阵，相当于位移法中的独立结点为结构整体结点位移列阵，相当于位移法中的独立结点位移位移 F F 为结构综合结点荷载列阵为结构综合结点荷载列阵，F F F FJ J F FE E 可见，等式左边相当于在位移法的基本体系中，由结可见，等式左边相当于在位移法的基本体系中，由结点位移引起的附加约束反力，左边为荷载引起的附加点位移引起的附加约束反力，左边为荷载引起的附加约束反力的负值。约束反力的负值。其中其中FJ为直接作用在结点上的荷载为直接作用在结点上的荷载FE为作用在单元上的荷载为作用在单元上的荷载亦称亦称非结点荷载非结点荷载：产生的附加约束反力的负值，：产生的附加约束反
4、力的负值，又称为又称为等效结点荷载等效结点荷载。显然其等效的意义在于：。显然其等效的意义在于：它与真实的非结点荷载所产生的结点位移相同。它与真实的非结点荷载所产生的结点位移相同。4 4、解结点位移：、解结点位移：5 5、求杆端内力：、求杆端内力：由第由第4步求得的结点位移，返回单元分析，可步求得的结点位移，返回单元分析，可确定各单元的杆端内力。确定各单元的杆端内力。6 6、求结构内力：、求结构内力：运用叠加原理求结构内力。运用叠加原理求结构内力。位移法手算时一般采用迭代法求解基本方程，而矩阵位移法手算时一般采用迭代法求解基本方程，而矩阵位移法除也可采用迭代法（如位移法除也可采用迭代法（如Gau
5、ss消元法）外，常消元法）外，常采用更便于计算机运算的三角分解法求解结构整体刚采用更便于计算机运算的三角分解法求解结构整体刚度方程。度方程。由此可见，矩阵位移法的实质和基本步骤与位移法由此可见，矩阵位移法的实质和基本步骤与位移法是是相同的相同的，只是采取了不同的表达方式，同时，为了便，只是采取了不同的表达方式，同时，为了便于编程运算，对于结点位移和单元杆端力的方向作了重于编程运算，对于结点位移和单元杆端力的方向作了重新规定，以使单元刚度方程（即杆端内力表达式）和整新规定，以使单元刚度方程（即杆端内力表达式）和整体刚度方程（即位移法典型方程）的形式体刚度方程（即位移法典型方程）的形式趋于规范化趋
6、于规范化。1、结构的离散化、结构的离散化3 3、整体分析、整体分析4 4、解结点位移、解结点位移5 5、求杆端内力：、求杆端内力：6 6、求结构内力：、求结构内力：2、单元分析、单元分析二、矩阵位移法的步骤1.结构的离散化和数值化结构的离散化和数值化；2.单元分析单元分析：建立单元刚度方程，即建立单元建立单元刚度方程，即建立单元 杆杆端力与杆端位移关系表达式；端力与杆端位移关系表达式；3.整体分析整体分析：由平衡条件和变形协调条件建立结由平衡条件和变形协调条件建立结构总体刚度方程和结构总体刚度矩构总体刚度方程和结构总体刚度矩阵；阵；4.方程求解方程求解：求解结点位移；求解结点位移；5.计算单元杆端内力计算单元杆端内力。三、各类线弹性杆元的单元刚度一般平面杆元不考虑轴向变形的杆元只考虑杆端转动的杆元平面桁架和空间桁架杆元交叉梁系杆元结构刚度矩阵元素的力学概念和弹性支座的处理