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1、为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第二篇第二篇 竞赛数学的主要内容竞赛数学的主要内容第三章第三章 数论数论 31 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性 32 同余同余 33 不定方程不定方程 34 高斯函数高斯函数x 1/19/20231第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 数数 论论31 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性一、整数的奇偶性1、偶数、偶数+偶数偶数=偶数；奇数偶数；奇
2、数+奇数奇数=偶数；偶数；奇数奇数+偶数偶数=奇数奇数2、a,b为整数，若为整数，若ab为偶数，则为偶数，则a,b的奇偶性相的奇偶性相同；若同；若ab为奇数，则为奇数，则a,b的奇偶性相反。的奇偶性相反。3、奇数个奇数之和是奇数；、奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数。偶数个奇数之和是偶数。4、奇数、奇数奇数奇数=奇数；偶数奇数；偶数偶数偶数=偶数；偶数；奇数奇数偶数偶数=偶数偶数 性质性质性质性质1/19/20232第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 数数 论论31 整数的奇偶性
3、和整除性整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性一、整数的奇偶性5、任意、任意n个奇数的积仍是奇数，奇数的个奇数的积仍是奇数，奇数的n次幂是奇次幂是奇数。若数。若n个数的积为奇数，则这个数的积为奇数，则这n个数均为奇数。个数均为奇数。6、若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它、若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数；反之，任意有限个整数之积是偶数，们的积是偶数；反之，任意有限个整数之积是偶数，则这些因数中至少有一个偶数。则这些因数中至少有一个偶数。7、若若a,b为整数，则为整数，则a+b与与a-b奇偶性相同奇偶性相同性质性质性质性质1/19/20233第三章 数 论为了规范事业单位
4、聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 数数 论论 3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性一、整数的奇偶性例例1.在在1,2,3,1999 这这1999 个数的前面任个数的前面任意添上正号或负号意添上正号或负号,问它们的代数和是奇数问它们的代数和是奇数还是偶数还是偶数?例例2.设设a1,a2,an 是自然数是自然数 1,2,n 的一个的一个排列排列,若若n 为奇数为奇数,求证求证:(a1-1)(a2 2-2)(an-n)为偶数。为偶数。例题例题例题例题1/19/20234第三章 数 论为了
5、规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 数数 论论 3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性一、整数的奇偶性例题例题例题例题例例3.设设n个整数个整数a1,a2,an 的积等于的积等于n，其和为，其和为0.证明：证明：4|n.例例4.设设n个数个数x1,x2,xn,它们中的每一个要么是它们中的每一个要么是1，要么是，要么是-1.若若x1 x2+x2 x3+xn-1 xn+xn x1=0.证明：证明：4|n.1/19/20235第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应
6、社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二、整数的整除性二、整数的整除性3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性1.1.整除的定整除的定义义：对对于两个整数于两个整数a a、b(b0b(b0），），若存在一个整数若存在一个整数c c，使得，使得 a=bc a=bc 成立，成立，则则称称b b整除整除a a，或，或a a被被b b整除，整除，记记作作b|ab|a。a a叫做叫做b b的的倍数，倍数，b b叫做叫做a a的的约约数（因数）。数（因数）。若满足若满足的整数的整数c不存在，就称不存在，就称a不能被不能被b整除，或整除，或b不能整除不能整
7、除a，记作，记作b a，如如2|6，4 6。定义定义定义定义1/19/20236第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2、整除的性质、整除的性质3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性性性质质1 1 a,b,c为为整数，整数，1）a|a;2）若若c|b，b|a，则则c|a;（传递性）（传递性）3 3）若）若a|b，a|c，则则a|（ma+nb），），m、n为为任意整数任意整数.性性质质2 2 等式中除某一项外，其他所有项都能被等式中除某一项外，其他所有项都能被m整除，整除，则这一项也能被则
8、这一项也能被m整除。整除。性性质质3 3 1)1)若若a|bm，且（，且（a，b）=1，则，则a|m；2)若若a|m，b|m，且（，且（a，b）=1，则，则ab|m；3)若若p为质数，且为质数，且p|ab，则，则p|a，或，或p|b。性质性质性质性质二、整数的整除性二、整数的整除性1/19/20237第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性连续整数之积的性质连续整数之积的性质 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之任意两个连续整数之积必定是一个
9、奇数与一个偶数之一积，因此一定可被一积，因此一定可被2整除。整除。任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是是3的倍数，所以它们之积一定可以被的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被整除，也可被3整除，所以也可以被整除，所以也可以被23=6整除。整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。二、整数的整除性二、整数的整除性2、整除的性质、整除的性质性质性质性质性质1/19/20238第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的
10、合法权益3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性例例10.设设p是大于是大于5的素数，求证：的素数，求证：240|p4-1.例例11.p5是素数，且是素数，且2p+1也是素数，证明：也是素数，证明：4p+1必是合数。必是合数。例题例题例题例题二、整数的整除性二、整数的整除性1/19/20239第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性1.证明：不定方程证明：不定方程x2+y2=1983无整数解无整数解.3.能否找到能否找到10个奇数，使它们
11、的倒数和等于个奇数，使它们的倒数和等于1？练习练习练习练习二、整数的整除性二、整数的整除性4.方程方程ax2+bx+c=0，其中，其中a、b、c都是奇数，都是奇数，证明此方程无整数解证明此方程无整数解.作业作业作业作业1/19/202310第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 数数 论论32 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质定义定义定义定义1/19/202311第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单
12、位和职工的合法权益32 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质性质性质性质性质1/19/202312第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益32 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质性质性质性质性质1/19/202313第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益32 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质性质性质性质性质1/19/202314第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，
13、建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益32 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质例题例题例题例题例例1.今天是星期四，今天是星期四，则则101000天后是星期几？天后是星期几？例例2.证证明：明：993993+991991能被能被1984整除整除.练习练习练习练习习题习题3.21.n为为任意正整数，任意正整数，证证明：明：A=2034n+846n-1917n-963n 能被能被1989整除整除.1/19/202315第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位
14、和职工的合法权益32 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质例题例题例题例题例例3.求求证证：x14+x24+x34+x144=1599无无整数解整数解.练习练习练习练习1.（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被能被3整除的一切自然数整除的一切自然数n.2.求证求证31980+41981能被能被5整除整除.1/19/202316第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益32 同同 余余二、剩余类、完全剩余系、费马小定理二、剩余类、完全剩余系、费马小定理性质
15、性质性质性质定理定理3（费马小定理）设（费马小定理）设p是素数，且是素数，且(a,p)=1，那么，那么 ap-1（mod p）.更一般地更一般地,设设p是素数是素数,对任意整数对任意整数a,有有ap a(modp).例题例题例题例题例例9.求求20032005 被被17除的余数除的余数.习题习题3.25.求求19992000被被29除的余数除的余数.练习练习练习练习例例13.设设a为为正整数，且正整数，且17 a，求证：，求证：a8 8-1与与a8+1中有且中有且仅仅有一个能被有一个能被17整除整除.1/19/202317第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体
16、制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 数数 论论33 不定方程不定方程历史历史历史历史 不定方程是数论中最古老的分支之一。不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图（古希腊的丢番图（Diophantus）早在公元）早在公元3世纪就世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家中国是研究不定方程最早的国家.公元公元5世纪的世纪的 张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究有了系统研究.秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余
17、秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来理论联系起来.百鸡问题说：百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一鸡雏三，直钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”.费马（费马（Fermat）大定理（）大定理（当当n2时，时，xnynzn没有没有非平凡的整数解非平凡的整数解），历经），历经300余年，已由英国数学家安余年，已由英国数学家安德鲁德鲁 维尔斯（维尔斯（A.Wiles）证明。）证明。丢番图丢番图数书九章数书九章大衍类大衍类1/19/202318第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会
18、主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益33 不定方程不定方程定义定义定义定义一、一次不定方程一、一次不定方程定理定理定理定理1/19/202319第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益33 不定方程不定方程解法解法解法解法一、一次不定方程一、一次不定方程1.观察法观察法2.逐步取整法逐步取整法例题例题例题例题例例.求求4x-3y=10的整数解的整数解.例例1.求求37x+107y=5的整数解的整数解.1/19/202320第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完
19、善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益33 不定方程不定方程解法解法解法解法一、一次不定方程一、一次不定方程1.观察法观察法2.逐步取整法逐步取整法例题例题例题例题例例2.求不定方程求不定方程25x+13y+7z=4的整数解的整数解.多元一次不定方程多元一次不定方程1/19/202321第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益33 不定方程不定方程二、高次不定方程二、高次不定方程1.分解因式（因数）分解因式（因数）2.估计方法估计方法3.同余方法同余方法例题例题
20、例题例题例例3.求不定方程求不定方程 x2y+2x2-3y-7=0 的整数解的整数解.例例6.求不定方程求不定方程 x3+y3=1072=1072 的正整数解的正整数解.1/19/202322第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益33 不定方程不定方程二、高次不定方程二、高次不定方程1.分解因式（因数）分解因式（因数）2.估计方法估计方法3.同余方法同余方法例题例题例题例题例例8.求所有正整数求所有正整数m，n，使得，使得1！+2！+m!=n2.习题习题3.34.求不定方程求不定方程 3x2-4xy+3
21、-4xy+3y2=35=35 的正整数解的正整数解.5.求不定方程求不定方程 x2+xy+2+xy+2y2=29=29 的整数解的整数解.练习练习练习练习1/19/202323第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 数数 论论34 高斯函数高斯函数x定义定义定义定义性质性质性质性质1/19/202324第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益34 高斯函数高斯函数x性质性质性质性质1/19/202325第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益34 高斯函数高斯函数x例题例题例题例题例例1.分解分解30！为质为质因数乘因数乘积积.例例2.求求1995！中末尾！中末尾0的个数的个数.1/19/202326第三章 数 论为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益34 高斯函数高斯函数x习题习题3.4练习练习练习练习习题习题3.41.求求2000！末尾！末尾0的个数的个数.作业作业作业作业1/19/202327第三章 数 论