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1、差分方程建模或 第1页，共25页，编辑于2022年，星期六满足一差分方程的序满足一差分方程的序列列yt称为此差分方程的解。类似于微分称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程数时，称此解为该差分方程的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的则称此解为满足某些初值条件的特解特解，例如，考察两阶差分，例如，考察两阶差分方程方程易易见见与与均是它的特解，而均是它的特解，而 则为则为它的通解，其它的通解，其 中中c1，c2为为两个任两个任 意常数
2、。意常数。类类似于微分方程，称差分方程似于微分方程，称差分方程为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程，当当0时称其为时称其为n阶非齐次线性差分阶非齐次线性差分方程，而方程，而第2页，共25页，编辑于2022年，星期六则则被称被称为为方程方程对应对应的的 齐齐次次线线性差分方程性差分方程。若所有的若所有的ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为常系数差分方程常系数差分方程，即即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成（4.15）的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为（4.16）容易容易证证明，若序列明，若序列与与均均为为方程（方程（4.16）的解
3、，）的解，则则也是方程（也是方程（4.16）的解，其）的解，其 中中c1、c2为为任意常数，任意常数，这说这说明，明，齐齐次方程的解构成一个次方程的解构成一个 线线性空性空间间（解空（解空间间）。）。此规律对于（此规律对于（4.15）也成立。）也成立。第3页，共25页，编辑于2022年，星期六 方程（方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解）先求解对应对应的特征方程的特征方程 （4.17）（步二步二）根据特征根的不同情况，求）根据特征根的不同情况，求齐齐次方次方 程程(4.16)的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（4.17）有）
4、有n个互不相同的个互不相同的实实根根,，则齐则齐次方程（次方程（4.16）的通解）的通解为为 (C1,Cn为为任意常数任意常数)，情况情况2 若若是特征方程（是特征方程（4.17）的）的k重根，通解中重根，通解中对应对应 于于的的项为项为为为任意常数，任意常数，i=1,k。情况情况3若特征方程（若特征方程（4.17）有单重复根）有单重复根通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为为为的模，的模，为为的幅角。的幅角。第4页，共25页，编辑于2022年，星期六情况情况4 若若 为为特征方程（特征方程（4.17）的）的k重复根，重复根，则则通通 解解对应对应于它于它们们的的项为项为为为任意常数，任意常
5、数，i=1,2k。.若若yt为为方程方程(4.16)的通解的通解,则则非非齐齐次方程次方程(4.15)的通解的通解为为（步三步三）求非求非齐齐次方程次方程(4.15)的一个特解的一个特解 求非齐次方程（求非齐次方程（4.15）的特解一）的特解一般要用到般要用到常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式的的b(t)也可使用也可使用待定待定系数法系数法。第5页，共25页，编辑于2022年，星期六对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法如果如果为为t 的多的多项项式，式，形式的特解，其中形式的特解，其中为为m次多次多项项式；式；，将其代入（，将其代入（4.15）中）中(1)当当t
6、不是特征根时，可设成形如不是特征根时，可设成形如(2)如果如果b是是r重根时，可设特解：重根时，可设特解：确定出系数即可。确定出系数即可。第6页，共25页，编辑于2022年，星期六例例4.13 求解两求解两阶阶差分方程差分方程解解 对应齐对应齐次方程的特征方程次方程的特征方程为为，其特征根，其特征根为为，对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为原方程有形如原方程有形如 的特解。代入原方程求得的特解。代入原方程求得，故原方程的通解，故原方程的通解为为在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用在给定初值后，通常可用
7、计算机迭代计算机迭代求解，但我们常常需要求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对讨论解的稳定性。对差分方程差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程若不论其对应齐次方程的通解中任意常的通解中任意常数数C1,Cn如何取值如何取值,在在时总有时总有,则称方程则称方程(7.14)的解是稳定的解是稳定的的,否则称其解为不稳定否则称其解为不稳定的的.根据根据通解的结构不难看出通解的结构不难看出,非齐次方程非齐次方程(4.15)稳定的充要条件为其稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于所有特征根的模均小于1。第7页，共25页，编辑于2022年，星期六例例4.14（市场经济的蛛网模型市场经济的蛛网模型）在自由竞
8、争的市场经济中，商品的价格是由市场上该在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。积极性，导致商品生产量的下降。在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不
9、同的函数：函数：（1）供应函数）供应函数x=f(P)，它是价格它是价格P的单增函数，其曲的单增函数，其曲线称为供应曲线。线称为供应曲线。（2）需求函数）需求函数x=g(P)，它是价格它是价格P的单降函数，其曲的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的形状形状如图所示。如图所示。第8页，共25页，编辑于2022年，星期六记记t时时段初市段初市场场上的供上的供应应量量(即上即上 一一时时段的生段的生产产 量量)为为xt，市，市场场上上该该商品的价格商品的价格 为为Pt。商品成交的。商品成交的价格是由需求曲价格是由需求曲线线决定的，决定的，即即随着随着
10、,Mt将将趋趋于平衡点于平衡点M*,即商品量将即商品量将趋趋于平衡于平衡 量量x*,价价格将格将趋趋于平衡价于平衡价 格格P*。图图中的箭中的箭线线反映了在市反映了在市场经济场经济下下该该商品的商品的供供应应量与价格的量与价格的发发展展趋势趋势。xoPP0P2P*P1xx1x2x0 x*需求曲线需求曲线供应曲线供应曲线M0M2M1M*PoM3M2M1但是，如果供应曲线和需求曲线但是，如果供应曲线和需求曲线呈图呈图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不是不稳定的，稳定的，Mt将越来越远离平衡点。将越来越远离平衡点。第9页，共25页，编辑于2022年，星期六图图和图和图的区别在哪里，的区别在
11、哪里，如何判定平衡点的稳定如何判定平衡点的稳定性呢？性呢？但是，如果供应曲线和需求曲线呈但是，如果供应曲线和需求曲线呈图图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的的讨论在经济学中被称为市场经济的蛛网模型蛛网模型。不难看出，在不难看出，在图图中平衡点中平衡点M*
12、处供应曲线的切线斜率大于处供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，需求曲线切线斜率的绝对值，而在图而在图中情况恰好相反。中情况恰好相反。第10页，共25页，编辑于2022年，星期六现在利用差现在利用差分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡正确。我们知道，平衡点点M*是否稳定取决于是否稳定取决于在在M*附近供、需曲附近供、需曲线的局部性态。为此，线的局部性态。为此，用用M*处供、需曲线的线性近似来代替它们，处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型并讨论此线性近似模型中中M*的稳定性。的稳定性。设设供供应应
13、曲曲线线与需求曲与需求曲线线的的线线性近似分性近似分别为别为 和和 式中，式中，a、b分分别为别为供供应应曲曲线线在在M*处处的切的切线线斜率与需求曲斜率与需求曲线线 在在M*处处切切线线斜率的斜率的绝对值绝对值。根据市根据市场经济场经济的的规规律，当供律，当供应应量量 为为xt时时，现时现时段的价格段的价格，又，又对对价格价格，由供，由供应应曲曲线线解得下一解得下一时时段的商品量段的商品量第11页，共25页，编辑于2022年，星期六由此由此导导出一出一阶阶差分方程：差分方程：（4.18）此差分方程的解在此差分方程的解在(b/a)b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产时，顾客需求对价格的敏
14、感度较小（小于生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳定；反之，稳定；反之，若若ab（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品供售市场易造成混乱供售市场易造成混乱.如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可以根据本时段与前一时段价格的
15、平均值来确定生产量。此时，以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，若若t 时段的商品量为时段的商品量为xt 时，仍有时，仍有第12页，共25页，编辑于2022年，星期六 （4.21）将（将（4.19）式、（）式、（4.21）式代入（）式代入（4.20）式，整理得）式，整理得 （4.19）但但t+1时时段的商品量段的商品量则则不再不再为为而被修正而被修正为为（4.20）由（由（4.19）式得）式得（4.22）（4.22）式是一个常系数二）式是一个常系数二阶线阶线性差分方程，特征方程性差分方程，特征方程为为其特征根为其特征根为第13页，共25页，编辑于2022年，星期六记记。若。若，
16、则则此此时时差分方程（差分方程（4.22）是不）是不稳稳定的。定的。，若若，此，此时时特征根特征根为为一一对对共共轭轭复数，复数，。由线性差分方程稳定的条件，由线性差分方程稳定的条件，当当r2即即b2a时（时（4.22）式是稳定）式是稳定的，从的，从而而M*是稳定的平衡点。是稳定的平衡点。不难发现，生产者管理方式的不难发现，生产者管理方式的这一更动不仅使自己减少了因这一更动不仅使自己减少了因价格波动而带来的损失，而且价格波动而带来的损失，而且大大消除了市场的不稳定性。大大消除了市场的不稳定性。生产者在采取上述方式来确定生产者在采取上述方式来确定各时段的生产量后，如发现市各时段的生产量后，如发现
17、市场仍不稳定（场仍不稳定（b2a），可按类），可按类似方法试图再改变确定生产量似方法试图再改变确定生产量的方式，此时可得到更高阶的的方式，此时可得到更高阶的差分方程。对这些方程稳定性差分方程。对这些方程稳定性条件的研究很可能会导出进一条件的研究很可能会导出进一步稳定市场经济的新措施。步稳定市场经济的新措施。第14页，共25页，编辑于2022年，星期六例例4.15国民经济的稳定性国民经济的稳定性国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。现在金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施
18、的开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析一下国我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析一下国民经济的稳定性问题。民经济的稳定性问题。再生再生产产的投的投资资水平水平It取决于消取决于消费费水平的水平的变变化量，化量，设设政府用于公共政府用于公共设设施的开支在一个不太大的施的开支在一个不太大的时时期内期内变动变动不大，不大，设设为为常数常数G。故由。故由可得出可得出。将。将及及代入代入。记记yt为为第第t周期的国民收入，周期的国民收入，Ct为为第第t周期的消周期的消费资费资金。金。Ct的的值值决决定于前一周期的国民收入，定于前一周期的国民收入，设设第15页，共25页，
19、编辑于2022年，星期六 （4.23）（4.23）式是一个二）式是一个二阶阶常系数差分方程，其特征方程常系数差分方程，其特征方程为为，相，相应应特征根特征根为为 （4.24）成立成立时时才是才是稳稳定的。定的。（4.24）式可用于）式可用于预报经济发预报经济发展展趋势趋势。现现用待定系数法求方程用待定系数法求方程（4.23）的一个特解）的一个特解令令代入（代入（4.23）式，得）式，得故当（故当（4.24）式成立）式成立时时，差分方程，差分方程（4.23）的通解）的通解为为其中其中为为的模，的模，为为其幅角。其幅角。第16页，共25页，编辑于2022年，星期六例如，若取例如，若取，易易见见，此
20、，此时时关系式关系式（4.12）成立，又若）成立，又若 取取y0=1600，y1=1700，G=550，则则由迭代公式由迭代公式求得求得y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,。易见易见第17页，共25页，编辑于2022年，星期六例例4.16商品销售量预测商品销售量预测(实例实例)某商品前某商品前5年的销售量见表年的销售量见表。现希望根据。现希望根据前前5年的统计年的统计数据预测数据预测第第6年起该商品在各季度中的销售量。年起该商品在各季度中的销售量。从表中可以看出，该商
21、品在从表中可以看出，该商品在前前5年相同季节里的销售量呈增长趋势，而年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应用用最小二乘法最小二乘法建建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售
22、量大体按线性增长，可设销售量售量大体按线性增长，可设销售量由由15253217152430151320271512182614111625121234第五年第五年第四年第四年第三年第三年第二年第二年第一年第一年销销售量售量季度季度 年份年份第18页，共25页，编辑于2022年，星期六求得求得a=1.3，b=9.5。根据根据预测第六年起第一季度的销售量为预测第六年起第一季度的销售量为=17.3，=18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以售量的一定比例增长的，则可建立
23、相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第第t年第一年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：或或等等。等等。上述差分方程中的系数不一定能使所有上述差分方程中的系数不一定能使所有统计统计数据吻合，数据吻合，较为较为合合理的理的办办法是用最小二乘法求一法是用最小二乘法求一组总组总体吻合体吻合较较好的数据。以建立好的数据。以建立二二阶阶差分方程差分方程 为为例，例，为选为选取取a0,a1,a2使使最小，解最小，解线线性方程性方程组组：第19页，共25页，编辑于2022年，星期六即求解
24、即求解得得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二。即所求二阶阶差分方程差分方程为为 第20页，共25页，编辑于2022年，星期六虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值y6=21，y7=19，等。等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前系数与前5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事年第一季度的统计数据完全吻合，
25、但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。方程。为为此，将季度此，将季度编编号号 为为t=1,2,20，令，令或或 等
26、，利用全体等，利用全体数数 据来据来拟拟合，求合，求拟拟合得最好的系数。以二合得最好的系数。以二阶阶差分方程差分方程为为例，例，为为 求求a0、a1、a2使得使得最小最小第21页，共25页，编辑于2022年，星期六求解求解线线性方程性方程组组即求解三元一次方程即求解三元一次方程组组解得解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程故求得二阶差分方程（t21）根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。还是较为可信的。第22页，共25页
27、，编辑于2022年，星期六例例4.16人口问题的差分方程模型人口问题的差分方程模型在在3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型Malthus模型模型和和Verhulst模型模型（又称（又称Logistic模型）。前者模型）。前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时效果较效果较好。好。1、离散时间离散时间的的Logistic模型模型在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为
28、固定的的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。分自然地提了出来。第23页，共25页，编辑于2022年，星期六建立离散模型的一条直接途径是建立离散模型的一条
29、直接途径是 用用差分代替微分差分代替微分。从人口。从人口问问题题的的Logistic模型模型可可导导出一出一阶阶差分方程差分方程（4.25）(4.25)式中右端的因子式中右端的因子常被称为常被称为阻尼因子阻尼因子。当当PtN时，种群增长接时，种群增长接近近Malthus模型；当模型；当Pt接近接近N时，这一因子时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，将越来越明显地发挥阻尼作用，若若PtN，它将使种群增长，它将使种群增长速度速度在在Pt接近接近N时变得越来越慢，若时变得越来越慢，若PN，它将使种群呈负，它将使种群呈负增长。增长。（4.25）式可改写）式可改写为为（4.26）记记,于是于是(4.2
30、6)式又可改写式又可改写为为（4.27）第24页，共25页，编辑于2022年，星期六虽然，（虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的，其后的x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（差分方程（4.27）有两个平衡点，）有两个平衡点，即即x*=0和和。类似。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（时不能确定除外）。例如，对时不能确定除外）。例如，对，讨论，讨论在在x*处的线性近似方程处的线性近似方程可知，当可知，当（即（即）时时平衡点平衡点是是稳稳定的，此定的，此时时 （）若当若当，则平稳点，则平稳点是不稳定的，（这与对是不稳定的，（这与对一切一切a，p*=N均为均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。方程的稳定平衡点不同）。第25页，共25页，编辑于2022年，星期六