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1、多媒体教学课件复变函数论第四章第四章 解析函数的级数理论解析函数的级数理论 函数项级数是研究解析函数的又一重要工具本章给出解析函数的级数表示泰勒(Taylor)级数和罗朗(Laurent)级数.然后，用它们研究解析函数在零点及奇点附近的性质.4.1 一般理论一般理论1.复函数项级数的逐项积分和逐项求导复函数项级数的逐项积分和逐项求导 与数学分析一样，这也是复级数理论中的重要问题.从1.3,2复函数项级数一致收敛的概念出发，我们有逐项积分定理：定理定理4.1 设 在简单逐段光滑曲线 上连续，且 在 上一致收敛于 则 本定理的证明与数学分析中相应定理完全一样，在此不再重复.至于逐项求导定理，数学分
2、析中的相应定理要求的条件比较复杂，而对于解析函数项级数，我们从1.3,2内闭一致收敛的概念出发，可知条件简单而结果却深刻得多，这就是著名的魏斯特拉斯(Weierstrass)定理.定理定理4.2(魏斯特拉斯定理)设 在区域 内解析，并且级数 在 内闭一致收敛于函数 则 在 内解析，并且在 内 内闭一致收敛于 证证 为证(4.2)在 内闭一致地成立，我们任取一点 取充分小的 作 的一个邻域使 由1.3,2,知，在 内连续.任取简单光滑闭曲线 由定理4.1,有由莫瑞勒定理，在 内解析，从而 在 解析，由 的任意性，在 内解析.为证(4.2)在 内闭一致地成立，我们任取一有界区域 使 一定存在一有界
3、区域 使 的边界为光滑曲线，且 从而有 令 则 在 内解析，且由 在 上一致收敛于 任给 存在一个自然数 当 时，对所有的 有 成立.从而，对所有 有成立.这里 表示 的长.因此，在 上一致收敛于 由 的任意性.(4.2)式在 内闭一致地成立.证毕.2.幂级数及其和函数幂级数及其和函数 在复函数项级数中最简单而重要的是幂级数与数学分析一样，首先应搞清楚(4.6)收敛域的构造.阿贝尔阿贝尔(Abel)引理引理 设(4.6)在 处收敛,则当 时，(4.6)为绝对收敛；若(4.6)在 发散，则当 时,(4.6)也发散.证明方法与数学分析中的相同(从略).用 表示使(4.6)收敛的点集.显然 (因在
4、收敛)，令则 关于(4.6)收敛域的构造与数学分析中实幂级数的叙述和证明一样，即 定理定理4.3 幂级数 或者处处绝对收敛，即 或者除 外处处发散，即 或者存在 当 时绝对收敛，而当 时发散，当 时可能收敛(绝对收敛或条件收敛)，也可能发散.我们称(4.7)所确定的 为幂级数(4.6)收敛收敛半半径径，称 为(4.6)的收敛圆收敛圆(盘盘).与实幂级数一样，收敛半径可由下列公式给出.定理定理4.4 若下列条件之一成立：或者，一般地，令 则当 时，幂级数(4.6)的收敛半径当 时，当 时，例4.1 幂级数的收敛半径 当 时绝对收敛，其和函数为 当 时发散；当 时，因其一般项不趋于零故级数仍为发散.以下考虑级数(4.6)的和函数的性质，我们有如下定理：定理定理4.5 幂级数(4.6)不仅在 (为收敛半径，)内绝对收敛，而且内闭一致收敛，其和函数在 内解析，因而(4.12)在收敛圆内可以逐项积分或逐项微分，其收敛半径不变.特别地，证证 对 内任一有界闭域 必存在域 使 当 时，由定理4.3，收敛.从而(4.6)在 上绝对一致收敛，亦即在 内一致收敛.又由定理4.2，在 内解析，且(4.13)成立.其余结论的证明是显然的.证毕.