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1、2022-2023 学年（上）学期北京师范大学广州实验学校学年（上）学期北京师范大学广州实验学校期末试卷（高一数学）期末试卷（高一数学）试卷满分：试卷满分：150 分分答题时长：答题时长：120 分钟分钟一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合13,5A,，3,4B，则AB（）A.3B.5C.3,4,5D.1,3,4,52.函数1lg 21yxx的定义域是（）A.,2B.0,2C.,11,2D.,10,23.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正
2、半轴重合，终边经过单位圆上的点00,xy，若43，则0y的值为（）A.12B.12C.32D.324.ycos()4x在0，上的单调递减区间为（）A.3,44B.0,4C.3,4D.,45.函数 28lnf xxx 的零点所在区间为（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,46.若1.112a，2log2b，sin149c，则（）A.cabB.cbaC.bcaD.abc7.已知1sin33x，且02x，则2cos3x（）A.2 23B.13C.13D.2 238.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于 0.8 毫克/毫升的
3、情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上 6 点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1 毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时 10%的速度减少，则他次日上午最早点（结果取整数）开车才不构成酒驾.（参考数据：lg20.30，lg30.48）（）A.10B.11C.12D.13二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分分.在每小题有多项符合题目要求）在每小题有多项符合题目要求）9.关于函数 sin3fxx，说法正确的是（）A.函数 sing xx的图象沿x轴向左平
4、移3个单位可以得到函数 f x的图象B.函数 sin4g xx沿x轴向左平移12个单位，可以得到 f x的图象C.函数 sin 23g xx图象的横坐标伸长到原来的 2 倍，可以得到 f x的图象D.函数 sin 23g xx图象的横坐标缩小到原来的12倍，可以得到 f x的图象10.下列说法正确的是（）A.“22acbc”是“ab”的充分不必要条件B.“ab”是“11ab”的必要不充分条件C.x R，使sin3cos2xx成立D.命题“x R，210 x ”的否定是“x R，210 x ”11.函数 sinf xAx（其中0A，0，2）的部分图象如图所示，则（）A.03f B.函数 f x的
5、最小正周期是C.23是函数 f x的一个零点D.函数 f x的图象关于直线3x 对称12.如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）A.野生水葫芦的面积每月增长率为 1B.野生水葫芦从26m蔓延到218m历时至少需要 1.5 个月C.设野生水葫芦蔓延到210m，220m，240m所需的时间分别为1t，2t，3t，则有1322tttD.野生水葫芦在第 1 个月到第 3 个月之间蔓延的平均速度小于在第 2 个月到第 4 个月之间蔓延的平均速度三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分
6、）13.若关于x的不等式20 xmxn的解集是32xx，则mn_.14.若扇形的面积为 5，圆心角为 2 弧度，则该扇形的弧长为_.15.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点3,4P，则cos2_.16.已知函数 lnf xxa有两个零点分别为12,x x，则1212xxxx的取值范围是_.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求解下列问题：（1）求值：12091elglg25sin15 cos15164；（2）已知tan2，化简并
7、求值：sin 2sin2cos 2sin.18.已知函数 244sincoscossin1fxxxxx，xR.（1）求 f x的最小正周期；（2）求 f x的单调递增区间；（3）当0,6x时，求 f x的最大值和最小值.19.已知函数 xf xab（a，b为常数，0a 且1a）的图象经过点1,8A，2,14B.（1）求函数 f x的解析式；（2）若关于x不等式0 xxab对2,2x 都成立，求实数的取值范围.20.在两个相邻对称中心的距离为2，两个相邻最高点的由距离为，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解.问 题：函 数 sin0,02f xx的 图 象 过 点10,2，且 满
8、足 _，当,26 时，123f，求sin的值.21.已知函数 1fxxx.（1）根据函数单调性的定义，证明 f x在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增；（2）若对121,32x x，都有12f xf xM成立，求实数M的取值范围.22.已知函数 221f xxaxa，其中Ra.（1）若函数 f x在,1上单调递减，求a的取值范围；（2）若函数 f x在0,1的最小值是 3，求实数a的值.2022-2023 学年（上）学期北京师范大学广州实验学校学年（上）学期北京师范大学广州实验学校期末试卷（高一数学）期末试卷（高一数学）试卷满分：试卷满分：150 分分答题时长：答题时长：120 分钟分
9、钟一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合13,5A,，3,4B，则AB（）A.3B.5C.3,4,5D.1,3,4,5【答案】D【解析】【分析】根据并集运算求解即可.【详解】因为13,5A,，3,4B，所以1,3,4,5AB，故选：D2.函数1lg 21yxx的定义域是（）A.,2B.0,2C.,11,2D.,10,2【答案】C【解析】【分析】利用题给条件列出不等式组，解之即可求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，必须2010 xx，解之得2x 且1x 则
10、函数的定义域为,11,2故选：C3.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过单位圆上的点00,xy，若43，则0y的值为（）A.12B.12C.32D.32【答案】C【解析】【分析】根据终边经过点00,xy，且43，利用三角函数的定义求解.【详解】因为角终边经过点00,xy，且43，且终边经过单位圆上的点00,xy，22001rxy，故000220043sinsin()sin33312yyyxy ，解得032y 故选：C4.ycos()4x在0，上的单调递减区间为（）A.3,44B.0,4C.3,4D.,4【答案】D【解析】【分析】先通过cosx的单减区间求出4
11、x整体的范围，再结合已知解出x的范围即可.【详解】由cosx的单调递减区间为2,2()kkkZ，可得224kxk，解得52244kxk，又0,x，0k时，4x.故选：D.5.函数 28lnf xxx 的零点所在区间为（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理确定正确答案.【详解】f x的定义域是0,，图象是连续不断的且 f x在0,上递增，3ln320,4ln 40ff，所以 f x零点所在区间为3,4.故选：D6.若1.112a，2log2b，sin149c，则（）A.cabB.cbaC.bcaD.abc【答案】B【解析】【分析】根
12、据对数运算知12b，再由指数函数单调性比较得ab，由正弦函数的单调性比较c与12的大小即可.【详解】2211log2log 222b，由12xy为减函数知，1.11122ba，又1sin149sin1502c ，abc，故选：B7.已知1sin33x，且02x，则2cos3x（）A.2 23B.13C.13D.2 23【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式求2sin3x，再利用同角三角函数关系式求2cos3x的值.【详解】21sinsinsin3333xxx，02xQ，227336x，2222 2cos1 sin333xx .故选：D8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶
13、人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于 0.8 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上 6 点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1 毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时 10%的速度减少，则他次日上午最早点（结果取整数）开车才不构成酒驾.（参考数据：lg20.30，lg30.48）（）A.10B.11C.12D.13【答案】C【解析】【分析】根据题意可得不等式11 10%0.2x，解不等式可求得17.5x，由此可得结论.【详解】假设经过*Nx x小时后，驾驶员开
14、车才不构成酒驾，则11 10%0.2x，即0.90.2x，lg0.9lg0.2x，则1lglg0.2lg51 lg2517.59lg0.92lg3 11 2lg3lg10 x，min18x，次日上午最早12点，该驾驶员开车才不构成酒驾.故选：C.二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分分.在每小题有多项符合题目要求）在每小题有多项符合题目要求）9.关于函数 sin3fxx，说法正确的是（）A.函数 sing xx的图象沿x轴向左平移3个单位可以得到函数 f x的图象B.函数 sin4g xx沿x轴向左平移12个单位，可以得到 f x的图象C.函数 sin 2
15、3g xx图象的横坐标伸长到原来的 2 倍，可以得到 f x的图象D.函数 sin 23g xx图象的横坐标缩小到原来的12倍，可以得到 f x的图象【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数图象的平移与伸缩变换，逐项分析即可得解.【详解】对 A，函数 sing xx的图象沿x轴向左平移3个单位可以得到sin()3yx图象，即 f x的图象，故 A 正确；对 B，函数 sin4g xx沿x轴向左平移12个单位得到sin()sin()1246yxx的图象，故B 错误；对 C，函数 sin 23g xx图象的横坐标伸长到原来的 2 倍可以得到sin()3yx图象，即 f x的图象，故 C 正确；对
16、D，函数 sin 23g xx图象的横坐标缩小到原来的12倍可以得到sin(4)3yx的图象，故 D 错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.“22acbc”是“ab”的充分不必要条件B.“ab”是“11ab”的必要不充分条件C.x R，使sin3cos2xx成立D.命题“x R，210 x ”的否定是“x R，210 x ”【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断 A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断 B 选项；利用特殊值法可判断 C 选项；利用存在量词命题的否定可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，若22
17、acbc，则20c，由不等式的性质可得ab，即“22acbc”“ab”，若ab，取0c=，则22acbc，即“ab”推不出“22acbc”，故“22acbc”是“ab”的充分不必要条件，A 对；对于 B 选项，若ab，取0,1ab，但推不出11ab，即“ab”推不出“11ab”，若11ab，取1a=，2b，则ab，即“11ab”推不出“ab”，所以，“ab”是“11ab”的既不充分也不必要条件，B错；对于 C 选项，取6x，则sin3cos2xx成立，C 对；对于 D 选项，命题“Rx，210 x ”的否定是“Rx，210 x ”，D 对.故选：ACD.11.函数 sinf xAx（其中0A，
18、0，2）的部分图象如图所示，则（）A.03f B.函数 f x的最小正周期是C.23是函数 f x的一个零点D.函数 f x的图象关于直线3x 对称【答案】BD【解析】【分析】根据三角函数的图象求得 f x的解析式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由图可知2A，3732,241264TT，B 选项正确.2sin 2f xx，2sin2,sin1633f ，由于5,22636，所以,326 ，所以 2sin 26fxx.02sin16f，A 选项错误.242sin2sin 2sin133666f ，所以 C 选项错误.22sin2sin23362f，所以 D 选项正确.故选：BD1
19、2.如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）A.野生水葫芦的面积每月增长率为 1B.野生水葫芦从26m蔓延到218m历时至少需要 1.5 个月C.设野生水葫芦蔓延到210m，220m，240m所需的时间分别为1t，2t，3t，则有1322tttD.野生水葫芦在第 1 个月到第 3 个月之间蔓延的平均速度小于在第 2 个月到第 4 个月之间蔓延的平均速度【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求出指数函数的解析式，再根据解析式、增长率的定义、平均速度的定义以及对数知识可得答案.【详解】因为函数关系为指数函数，所以设函数
20、为()xf xa，由图可知，(1)2f，所以2a，所以()2xf x，设野生水葫芦的面积每月增长率为r，则第n个月的面积()f n2n，第1n个月的面积为(1)f n12n，则(1)(1)()f nr f n，得12(1)2nnr，得1r，所以野生水葫芦的面积每月增长率为 1，故 A 正确；由()6f x，得26x，得2log 6x，由()18f x，得218x，得2log 18x，所以野生水葫芦从26m蔓延到218m的时间为222log 18log 6log 3，因为3232，所以32223log 3log 22，所以 B 不正确；因为1210t，2220t，3240t，所以12log 10
21、t，22log 20t，32log 40t，所以13222log 10log 40log 400tt，2222222log 20log 20log 400t，所以1322ttt，故 C 正确；野生水葫芦在第 1 个月到第 3 个月之间蔓延的平均速度为8233 12(m/月)，野生水葫芦在第 2 个月到第 4 个月之间蔓延的平均速度为1646422(m/月)，故 D 正确；故选：ACD三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分）13.若关于x的不等式20 xmxn的解集是32xx，则mn_.【答案】7【解析】【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关
22、系结合二次方程根于系数的关系求解即可.【详解】由题意知，3,2是20 xmxn的两个根，则3232mn ，解得16mn.故7.mn故答案为：7.14.若扇形的面积为 5，圆心角为 2 弧度，则该扇形的弧长为_.【答案】2 5【解析】【分析】求出半径，然后根据扇形的面积公式列方程求解.【详解】设该扇形的弧长为l，则该扇形的半径为2l1522ll，解得2 5l 故答案为：2 515.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点3,4P，则cos2_.【答案】725【解析】【分析】利用三角函数定义求出sin，再利用倍角公式计算cos2即可.【详解】由三角函数的定义可得22
23、44sin534，2247cos212sin12525 故答案为：725.16.已知函数 lnf xxa有两个零点分别为12,x x，则1212xxxx的取值范围是_.【答案】(3,)【解析】【分析】根据函数零点及对数函数的性质可得121xx，再由对勾函数求范围即可.【详解】由题意，ln0f xxa有两个不等实根，即|ln|xa有 2 个实根，即|ln|,yxya图象有 2 个交点，如图，不妨设1201xx，则12lnlnxx-=，即2112lnlnln0 xxxx，解得121xx，22122111xxxxxx，（21x）1yxx在(1,)x上为增函数，12122211123xxxxxx 故答
24、案为：(3,)四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求解下列问题：（1）求值：12091elglg25sin15 cos15164；（2）已知tan2，化简并求值：sin 2sin2cos 2sin.【答案】（1）0（2）4【解析】【分析】（1）根据指数、对数、三角函数的知识进行化简求值.（2）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【小问 1 详解】12091elglg25sin15 cos1516431111lgsin3044252 23111 lg1
25、0220422.【小问 2 详解】sin 2sin2cos 2sin sin2coscossintan22241 tan1 2.18.已知函数 244sincoscossin1fxxxxx，xR.（1）求 f x的最小正周期；（2）求 f x的单调递增区间；（3）当0,6x时，求 f x的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）3,88kk，kZ；（3）2，1.【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简后由周期公式直接可得；（2）利用正弦函数的单调区间解不等式可得；（3）先根据 x 的范围求出24x的范围，然后由正弦函数的性质可得.【小问 1 详解】244sincoscossin1f xxxxx2
26、2221 sin2(cossin)(cossin)1xxxxx sin2cos2xx2sin(2)4x，()fx的最小正周期22T【小问 2 详解】由2 22 242kxk，kZ，得388kxk，kZ所以函数 f x的单调递增区间为3,88kk，kZ【小问 3 详解】06x，724412x当242x，即8x 时，max2sin22fx当244x，即0 x 时，min2sin14fx.19.已知函数 xf xab（a，b为常数，0a 且1a）的图象经过点1,8A，2,14B.（1）求函数 f x的解析式；（2）若关于x不等式0 xxab对2,2x 都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）35xf
27、 x；（2）34,.【解析】【分析】（1）将1,8A，2,14B，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；（2）转化为max35xx，2,2x，再由函数单调性求解即可.【小问 1 详解】函数 xf xab的图象经过点1,8A，2,14B，18214ff，即2814baba，又0a，3a，5b，35xf x.【小问 2 详解】由（1）知3a，5b，350 xx对2,2x 都成立，即35xx对2,2x 都成立，max35xx，2,2x，35xxy 在2,2x 上为增函数，22max3534y，34，的取值区间为34,20.在两个相邻对称中心的距离为2，两个相邻最高点的由距离为，这两个条件中任选一个，
28、补充在下面问题中，并对其求解.问 题：函 数 sin0,02f xx的 图 象 过 点10,2，且 满 足 _，当,26 时，123f，求sin的值.【答案】2 236【解析】【分析】选得到函数周期，求出，再由图象过点求出，得出函数解析式，再利用角的变换()66求解即可；选可得函数周期为，解法下同.【详解】选，由题意可知函数周期22T，所以22T，又 sin0,02f xx图象过点10,2，所以1sin2，又02，所以6，所以()sin(2)6f xx，1sin()263f，036，12 2cos()1693，132 212 23()sin()coscos()sin666666326sinsi
29、n32 选，由题意知函数周期T，下同的解法.21.已知函数 1fxxx.（1）根据函数单调性的定义，证明 f x在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增；（2）若对121,32x x，都有12f xf xM成立，求实数M的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）43M.【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义法证明即可；（2）问题可转化为12maxfxfxM，由函数单调性求出12maxfxfx即可.【小问 1 详解】设12,(0,)x x且12xx，则121212121212111()()()()()()x xf xf xxxxxxxx x当1201xx时，120 xx，1201x x
30、1210 x x，12()()0f xf x，即12()()f xf x，()fx在区间0,1上单调递减.当121xx时，120 xx，121x x，1210 x x，12()()0f xf x，即12()()f xf x，()fx在区间1,上单调递增.【小问 2 详解】由（1）知，当1,32x时，()f x在1,12上单调递减，在1,3上单调递增，又1510(),(3)223ff，(1)2f，minmax10()2,()3f xf x，因为121,32x x，都有12f xf xM，所以12maxfxfxM，因为当1,32x时，minmax10()2,()3f xf x，所以12max104
31、233f xf x，故43M，所以实数M的取值范围为43M.22.已知函数 221f xxaxa，其中Ra.（1）若函数 f x在,1上单调递减，求a的取值范围；（2）若函数 f x在0,1的最小值是 3，求实数a的值.【答案】（1）4a；（2）2.【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即得；（2）分2a，24a，4a 讨论，根据二次函数的图象和性结合条件即得.【小问 1 详解】因为 221f xxaxa在,1上单调递减，所以212a，所以4a；【小问 2 详解】因为 222282124aaafxxaxax，当202a，即2a 时，函数 f x在0,1上单调递增，所以 min013f xfa，即2a(舍去)；当2012a，即24a时，2min28324aaaf xf，解得2a 或6a(舍去)；当212a，即4a 时，函数 f x在0,1上单调递减，所以 min143f xf，不合题意；综上，实数a的值为 2.