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1、第6讲 解析函数与调和函数1第1页，本讲稿共23页 (在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念)注：1）f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点的某邻域内解析。2）f(z)在闭区域 上解析，也就是指f(z)在包含 的某邻域内解析。A (1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。2第2页，本讲稿共23页例 讨论函数的解析性 1）f(x)=的解析性 2）f(x)=的解析性3第3页，本讲稿共23页2、函数解析的充要条件定理2.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D
2、内解析的充要条件是：u,v在D内可微，且满足柯西黎曼方程。例2.19 讨论下列函数的解析性1）f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y)2)f(z)=3)f(z)=zRe(z)=(x+iy)x问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？A 记忆记忆4第4页，本讲稿共23页5第5页，本讲稿共23页6第6页，本讲稿共23页例2.20 证明若函数f(z)在某区域内任意点均解析且导数为零，则该函数在此区域上为常数。证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)7第7页，本讲稿共23页3、初等函数的解析性定理定理1 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析
3、函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。定理定理 2 设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。8第8页，本讲稿共23页40 三角函数和双曲函数在其定义域内解析，反三角函数和反双曲函数要具体讨论。30 幂函数 :1)为正整数和零时，在整个复平面解析。2）为负整数时，在除原点外整个复平面解析。3）为既约分数、无
4、理数、复数时，在除去原点和负实轴外的复平面解析。10 指数函数ez在整个复平面上解析。20 对数函数Lnz的主值及各分支函数在除去原点和负实轴外处处解析。9第9页，本讲稿共23页2.5 调和函数 调和函数：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方程：，则称h(x,y)其为D内的调和函数。10第10页，本讲稿共23页共轭调和函数 设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它们满足柯西黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。定理定理上面定理说明：上面定理说明：11第11页，本讲稿共23页注：一般地，若v为u在D内的共轭调和函数，则
5、-u为v在D内的共轭调和函数，u是-v的共轭调和函数 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)在D内解析 在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析f(z)=-v(x,y)+iu(x,y)在区域D内亦解析12第12页，本讲稿共23页现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：13第13页，本讲稿共23页三、已知实部或虚部求解析函数表达式 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数1、方法一：例 已知解析函数f(z)的实部 求其虚部v.对于已知v，求u的情况，可采取同样的方法。14第14页，本讲稿共23页例2.22 已
6、知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv1)u=shxsiny 2)v=x2-y2+2y15第15页，本讲稿共23页16第16页，本讲稿共23页方法二定理4-6 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0)为D内任意取定的点，则存在由确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：17第17页，本讲稿共23页类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，18第18页，本讲稿共23页例 2.23 已知调和函数u(x,y)=求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。19第19页，本
7、讲稿共23页例 2.24 已知f(z)的虚部为 v(x,y)=求解析函数f(z)=u+iv，且f(0)=0.20第20页，本讲稿共23页四、本章总结本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、调和函数的概念，给出了各自的充要条件。要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数和调和函数。五、作业：2.4.7 a.d 2.4.9 b 2.4.13.c f 2.5.5 2.5.9 d 2.5.10 d i 它们之间的关系：21第21页，本讲稿共23页习题订正2.4.8 22第22页，本讲稿共23页2.4.9 b 若函数f(z)在区域D内解析，且满足 在D内为常数，则f(z)在D内必为常数。23第23页，本讲稿共23页