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1、九年级数学（上册）第一章 证明(二)3.线段的垂直平分线（2）三角形的垂心驶向胜利的彼岸线段的垂直平分线的作法l已知:线段AB,如图.l求作:线段AB的垂直平分线.l作法:l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.l1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.ABCDl2.作直线CD.l则直线CD就是线段AB的垂直平分线.请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.老师提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.回顾 思考驶向胜利的彼岸线段的垂直平分线的性质w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
2、点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMNw如图如图,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一点意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).回顾 思考驶向胜利的彼岸线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上.ACBPMNw如图如图,wPA=PB(PA=
3、PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条到一条线段两个端点距离相等的点线段两个端点距离相等的点,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上).).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?回顾 思考驶向胜利的彼岸亲历知识的发生和发展w剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?w观察这三条垂直平分线,你发现了什么?做一做做一做1 1驶向胜利的彼岸亲历知识的发生和发
4、展利用尺规作出三角形利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线三条边的垂直平分线.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?做一做做一做1 1w再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?与同伴交流.驶向胜利的彼岸思考分析命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.如图,在ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP.点P在线段AB的垂直平分线上,PA=PB(或AB的中点,).同理,PB=PC.PA=PC.点P在线段AB的垂直平分线上,AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.想一想想一想:若作出若作出P P的角
5、平分线的角平分线,结论是否也结论是否也可以得征可以得征?咋证三条直线交于一点咋证三条直线交于一点w基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.ABCP驶向胜利的彼岸定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.如图,在ABC中,c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).老师提示老师提示:这是一个证明三条直线交于一点的证明根据这是
6、一个证明三条直线交于一点的证明根据.几何的几何的三种语言三种语言 做一做做一做1 1ABCPabc挑战自我挑战自我驶向胜利的彼岸l已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?老师期望:你能亲自探索出结果并能用尺规作出图形.议一议议一议l如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?l已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?梦想成真 做一做做一做P312 21.已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.已知:线段a,h(如图).ah h求作:ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.老师期望:你能亲自写出作法.作法:驶向胜利的彼岸回味无穷w定理定理 三角
7、形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.如图,在ABC中,c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).小结 拓展ABCPabc尺规作图的解题格式尺规作图的解题格式(六步骤六步骤):):已知已知:求作求作:分析分析:作法作法:证明证明:讨论讨论:驶向胜利的彼岸习题1.7 独立作业独立作业1 1驶向胜利的彼岸w1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征?w老师提示:w先分析,作出示意图形,再按要求去作图.w这个等腰
8、三角形有什么特征?习题1.7 独立作业独立作业2 2驶向胜利的彼岸w2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等.老师期望:养成用数学解释生活的习惯.PQRPQR(1)(2)w(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置;w(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,RPQ是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置?w(3).你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!