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1、（1）形如形如 的的 式子叫做式子叫做二次根式二次根式.（即一个（即一个 的算术平方根叫做的算术平方根叫做二次根式二次根式）本章知识本章知识本章知识本章知识非负数非负数1.1.二次根式的有关概念：二次根式的有关概念：（1）二次根式（）二次根式（2）最简二次根式（）最简二次根式（3）同类二次根式）同类二次根式注意：注意：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零被开方数大于或等于零被开方数不含分母；被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；或因式；（2 2）满足下列两个条件的二次根式，）满足下列两个条件的二次根式，叫做叫做最简二次根
2、式最简二次根式：（3）几个二次根式化成最简二次根）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做几个二次根式叫做同类二次根式同类二次根式。若若 则则 ;注：若注：若 则则 ;2.2.二次根式的性质二次根式的性质(1)(1)：（1）双重非负性双重非负性：2.2.二次根式的性质二次根式的性质(2)(2)：3.3.二次根式的运算：二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式除法法则二次根式的加减：二次根式的加减：类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。二次根式的混合运算
3、：二次根式的混合运算：原来学原来学习习的运算律（的运算律（结结合律、交合律、交换换律、分配律）仍然适用，律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如原来所学的乘法公式（如 ,）仍然适用。）仍然适用。1.当当x取何值时，下列二次根式有意义：取何值时，下列二次根式有意义：题型题型1:二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件3.(2005.3.(2005.青岛青岛)有意义的条件是有意义的条件是_2.2.（20200505.吉林）当吉林）当 _时，时，有意义。有意义。4.4.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围解：解：33a=4a=4说明：说明：二次根式被开方二次根式被开方数大
4、于等于数大于等于0 0，所以求二，所以求二次根式中字母的取值范次根式中字母的取值范围常转化为不等式围常转化为不等式(组组)解得解得?2.(2005.2.(2005.湖北黄冈市湖北黄冈市)已知已知x,yx,y为实数为实数,且且 ,则则 的值为的值为()()A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-1题型题型2:2:二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用D1.1.已知：已知：,求求 的值的值.解得解得解：由题意，得解：由题意，得题型题型3:3:化简化简把下列二次根化为最简二次根式把下列二次根化为最简二次根式变式变式应用应用1.1.式子式子 成立的条件是（成立的条件是
5、（）D化简下列各式化简下列各式题型题型4:4:同类二次根式同类二次根式1.下列与是同类二次根式的有:()B.C.D.A.2.下列与不是同类二次根式的有:()B.C.D.A.（题中 ）BD 2（）（）（）当时，（）当时，（），（），则的取值范围是则的取值范围是（）若，（）若，则的取值范围是则的取值范围是 3若，则化简若，则化简的结果是的结果是4设设a,b,c为为 ABC的三边，化简的三边，化简5若，则若，则a的取值范围是（）的取值范围是（）为任意数为任意数6若若求的值求的值7 求下列各式的值求下列各式的值（）（）（）（）（）（）（）（）8计算计算（）（）（）（）9在实数范围内分解因式在实数范围内
6、分解因式（）（）（）（）（）（）（）（）10.10.一个台阶如图，阶梯每一层高一个台阶如图，阶梯每一层高15cm15cm，宽，宽25cm25cm，长，长60cm.60cm.一只蚂蚁从一只蚂蚁从A A点爬到点爬到B B点最短路程是多少？点最短路程是多少？251515256060AB解：解：B151525256060A题型题型5:5:计算计算五、二次根式的混合运算五、二次根式的混合运算例例1、计算、计算例例2、计算、计算变式变式应用应用1、比较、比较 的大小。的大小。2、已知、已知求求 的值。的值。细心观察图形细心观察图形,认真分析认真分析,思考下列问题思考下列问题.11111111S1S2S3S
7、4S5S6OA2A3A4A5A6A7A1（1）你能求出哪些线段的长？）你能求出哪些线段的长？OA2=_OA3=_OAn=_S1=_S2=_Sn=_拓展拓展21111111S1S2S3S4S5S6OA2A3A4A5A6A7A1（2）请计算）请计算S1=S2=Sn=ABPDC若点P为线段CD上动点。拓展拓展题题3：已知已知 ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，则AD=_ BC=_12（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 ABPDC若点P为线段CD上动点。拓展题拓展题：已知已知
8、ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，则AD=_ BC=_12（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 ABPDC拓展题拓展题3:已知已知 ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点。则AD=_ BC=_（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 12ABPDC拓展题拓展题3:已知已知 ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于
9、D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点。则AD=_ BC=_（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 12ABPDC拓展题拓展题3:已知已知 ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点。则AD=_ BC=_（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 12ABPDC拓展题拓展题:已知已知 ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点
10、。则AD=_ BC=_（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 12ABPDC拓展题拓展题:已知已知 ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点。则AD=_ BC=_（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 12ABPDC拓展题拓展题:已知已知 ABP的一边的一边AB=（2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点。则AD=_ BC=_（1）在如图所示的）在
11、如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 12ABPDC 已知已知ABP的一边的一边AB=拓展题拓展题:（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 （2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点。则AD=_ BC=_12ABPDC 已知已知ABP的一边的一边AB=（1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为，使三角形的三边为 （2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，若点P为线段CD上动点。设设DP=a，请用含，请用含a的代数式的代数式 表示表示AP，BP。AP=_，BP=_ 。当当a=3,则则PA+PB=_拓展题拓展题:则AD=_ BC=_12当当a=1 时，时，则则PA+PB=_,拓展题拓展题:PA+PB是否存在一个最小值？是否存在一个最小值？二二次次根根式式性质性质运算运算概念概念二次根式二次根式最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式