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1、空间空间“距离距离”问题问题18 一月一月 2023【温故知新温故知新】平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量为法向量的平面是完全确定的的平面是完全确定的.lA注意：注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;向量法向量法求法向
2、量的步骤：求法向量的步骤：用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向
3、量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）【新知学习新知学习】空间空间“距离距离”问题问题1.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求一个向量模长问题转化为求一个向量模长问题 例例1：如图如图1，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？为端
4、点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。思考思考：教材教材P106（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？（2 2）如果一个四棱柱的各条棱）如果一个四棱柱的各条棱长长都相等，都相等，并且以某一并且以某一顶顶点点为为端点的各棱端点的各棱间间的的夹夹角都等角都等于于 ,那么有这个四棱柱的对角线的长可以那
5、么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析分析:分析分析:这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设设AB=1 AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离点面距离点面距离解：解：所求的距离是所求的距离是2、向量法求点到平面的距离、向量法求点到平面的距离：DABCGFExyz分析分析:用几何法做相
6、当困难用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得注意到坐标系建立后各点坐标容易得出出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可而法向量总是可以快速算出以快速算出.例例2:如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，E、F分别是分别是AB、AD的中点，的中点，GC平面平面ABCD，且，且GC2，求点，求点B到平面到平面EFG的距离的距离.EabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为CD的方向向量的方向向量3.异面直线间的距离异面直线
7、间的距离 即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，zxyABCC1即即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1APDCBMNzxy解：如图解：如图,以以D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则，则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)小结小结 1、E为平面为平面外一点外一点,F为为内任意一内任意一 点点,为平面为平面的法向量的法向量,则点则点E到平面的到平面的 距离为距离为:2、a,b是异面直线是异面直线,E,F分别是直线分别是直线a,b上的点上的点,是是a,b公垂线的方向向量公垂线的方向向量,则则a,b间距离为间距离为2013年全国新课标年全国新课标卷卷 18题题当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号当当d等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理”=-（或（或），），