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1、第第8章章 测量误差理论测量误差理论滁州学院国土信息工程系第1页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系内容提要（内容提要（Outline）测量误差的概念测量误差的概念1偶然误差的特性偶然误差的特性2评定精度的标准评定精度的标准3 误差传播定律误差传播定律4不同精度观测值的直接平差不同精度观测值的直接平差5第2页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系88-1 测量误差的概念测量误差的概念一、测量误差的来源一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性、观测者感官的局限性3、外界环境的影响、外界环境的影响第3页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系一一.产生产生测量
2、测量误差的误差的原因原因一一.产生产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限仪器精度的局限,轴系残余误差轴系残余误差,等。等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制,经验经验,等。等。外界影响外界影响 气象因素气象因素(温度变化温度变化,风风,大气折光大气折光)结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外)有关名词有关名词：观测条件观测条件:上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件观测条件等精度观测等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为
3、次观测，称为等精度观测等精度观测。第4页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按出现在符号和数值相同，或按一定的规律一定的规律变化。变化。例：例：误差误差 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 D Dk k 钢尺温度误差钢尺温度误差 D Dt t 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 处理方法处理方法计算改正计算改正计算改正计算改正 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取
4、平均盘左盘右取平均)第5页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策 一般可采用下列方法消除或减弱系统误差影响。（1 1）测量系统误差大小，并对观测值进行改正。（2）采用对称测量方法。（3）检校仪器。使系统误差减低到最小，或减弱其影响第6页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类一）分类偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误差出在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有有任何规律性，但大量的误差有“统计规律统
5、计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）例例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。第7页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系（二）处理原则二）处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定限差多余观测，制定限差第8页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系如何处理含有偶然误差的数据？如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次观测值为 l1,l2,l3,.ln如何取值取值？如何评价数据的精度？第9页，本讲稿共54页滁州学院国土信
6、息工程系8-2 偶然误差的特性偶然误差的特性 1.1.偶然误差的定义：偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：(8-1-1)(8-1-1)真误差真值观测值第10页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180(i+i+I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。第11页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系-24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X=k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降
7、性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。第12页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差的特性的特性的特性的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。第13页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系一、方差和标准差（中误差）中误差？第14页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系8-3评定精度的标准评定精度的标准平均误差一、中误差一、中误差第15页，本讲稿共54页滁州学
8、院国土信息工程系按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差第16页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系正态分布正态分布第17页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系m m1 1较小较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；m m2 2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较两组观测值中误差图形的比较：m m1 1=2.72.7 m m2 2=3.63.6 第18页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：=？m=？寻找最接近真值的值x
9、第19页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系集中趋势的测度（最优值）集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉 lmax,lmin以后的平均数。算术平均数：满足最小二乘原则的最优解第20页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解第21页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系证明（证明（x是最或然值）是最或然值）将上列等式相加，并除以n,得到 第22页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系二、观测值的改正值二、观测值的改正值若被观测对象的真
10、值不知，则取平均数 为最优解x改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘第23页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系标准差可按下式计算中误差第24页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系证明证明证明证明将上列左右两式相减，得第25页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系分别取平方分别取平方分别取平方分别取平方第26页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系取和取和取和取和对代入前式代入前式第27页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系计算标准差例子计算标准差例子计算标准差例子计算标准差例子 第28页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系小结小结一、已知真值X，则真误差一、真值
11、不知，则二、中误差二、中误差第29页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化为分子为1的分数，即例 丈量两段距离，D1=100m，m1=1cm和D2=30m，m2=1cm，试计算两段距离的相对中误差。解mDDmmK1=100001m100m01.0111=DmmK30001m30m01.0222=DmmK二、相对中误差二、相对中误差8.3评定精度的标准评定精度的标准第30页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认
12、为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。m2P=m3P=三、极限误差三、极限误差8.3 评定精度的标准评定精度的标准第31页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系8-4误差传播定律误差传播定律已知：mx1,mx2,mxn求：my=?y=?第32页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系观测值函数的中误差 误差传播定律一一.观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数第33页，本讲稿共54页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和(差差)函数函数已知：mx,my,求：mz=?第34页，本讲稿共54页二、几种
13、常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和(差差)函数函数已知：mx,my,求：mz=?和和第35页，本讲稿共54页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数已知：mx,my,求：mz=?和和第36页，本讲稿共54页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数已知：mx,my,求：mz=?第37页，本讲稿共54页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数已知：mx,my,求：mz=?和和第38页，本讲稿共54页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数
14、（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方第39页，本讲稿共54页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?第40页，本讲稿共54页解：解：例例 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式第41页，本讲稿共54页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （三）线性函数三）线性函数已知：mxi,求：mz=?第42页，本讲稿共54页（三）线性函数三）线性函数特殊xi为独立独立观测值第43页，本讲稿共54页例例6 6距离误差距离误差例：例：对某距离用精密量距方法丈量六
15、次，求该距离的算术 平均值 ；观测值的中误差 ；算术平均值的中误 差 ；算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。第44页，本讲稿共54页一般函数形式的误差传播定律：一般函数形式的误差传播定律：设有一般函数设有一般函数:式中，式中，x1、x2、xn为互相独立的观测值，相应的中误差分别为互相独立的观测值，相应的中误差分别为为mx1、mx2、mxn；Z是各观测值的函数。经推导是各观测值的函数。经推导(教材教材P150），函数），函数Z的中误差计算式为：的中误差计算式为：式中，式中，是函数是函数Z对各观测值（变量）的偏导数，它们都是观测对各观测值（变量）的偏导数，它们都是
16、观测值的函数，将观测值代入后便都是常数。值的函数，将观测值代入后便都是常数。例如，例如，h=Ssin，则，则第45页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系中误差关系式：中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式(线性化)第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式系式。第46页，本讲稿共54页观测值函数中误差公观测值函数中误差公式汇总式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 第47页，本讲稿共54页滁州学院
17、国土信息工程系例例:对一个三角形，观测了A、B 两个角：A=642106 8.0 ，B=7035 40 6.0 。试求第三个角 C及其中误差。C=45o 03 1410 解：解：由题意可得:A+B+C=180 于是：C=180 AB=450314 根据误差传播律，有:第48页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系一般形式的函数一般形式的函数“关于关于误误差差传传播定律，要求大家一定掌握播定律，要求大家一定掌握。”通式通式“，因，因为为它是它是”中中误误差差计计算式算式需要指出的是，当函数与需要指出的是，当函数与观测值观测值的量的量纲纲不一致不一致时时，应应注意注意量量纲纲的的统统一。例如一。例
18、如函数函数h=Ssin，h与与的量的量纲纲不同，按不同，按误误差差传传播定律求播定律求h的的中中误误差差时时，需，需进进行行单单位位换换算：算：关键是角度中误差平方这一项须除以除以2 2。206265第49页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系例题例题已知 有求：错误第50页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系例题例题已知 有；求：第51页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系算例：用三角形闭合差求测角中误差算例：用三角形闭合差求测角中误差算例：用三角形闭合差求测角中误差算例：用三角形闭合差求测角中误差第52页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系本节内容回顾本节内容回顾1.一般函数形式的误差传播定律；2.独立观测值的概念。第53页，本讲稿共54页滁州学院国土信息工程系第54页，本讲稿共54页