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1、第七章静第七章静第七章静第七章静态动态测试态动态测试数据数据数据数据处处理理理理第1页，本讲稿共39页 第一节 静态测试数据处理 一、试验数据处理方法一、试验数据处理方法 1.1.表格法表格法用表格来表示函数的方法。用表格来表示函数的方法。特点：特点：简单方便，但不能给出所有的函数关系，简单方便，但不能给出所有的函数关系，不易看出函数的变化规律。不易看出函数的变化规律。2.2.图示法图示法根据试验结果作出的尽可能反映真根据试验结果作出的尽可能反映真实情况的曲线。实情况的曲线。特点：特点：直观看出函数变化规律，但图示仅有函数直观看出函数变化规律，但图示仅有函数变化关系而不能进行数学分析。变化关系
2、而不能进行数学分析。3.3.经验公式法经验公式法用回归分析的方法确定经验公用回归分析的方法确定经验公式的函数类型及其参数的方法。式的函数类型及其参数的方法。特点：特点：可对公式进行数学分析。可对公式进行数学分析。第2页，本讲稿共39页 二、回归分析与曲线拟合二、回归分析与曲线拟合 为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之间的规律，在静态测量数据处理中，寻求用简便的经间的规律，在静态测量数据处理中，寻求用简便的经验公式表达各变量之间的关系是很重要的。根据最小验公式表达各变量之间的关系是很重要的。根据最小二乘法原理确定经验公式的数理统计方法称为回归分二乘
3、法原理确定经验公式的数理统计方法称为回归分析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。第3页，本讲稿共39页1.一元线性回归分析一元线性回归分析 如如果果对对两两个个变变量量x 和和y 分分别别进进行行了了n次次测测定定，得得到到n对对测测定定值值（，），(i1，2，n)，将将其其描描在在直直角角坐坐标标图图上上，就就得得到到n个个坐坐标标点点。若若各各点点都都分分布布在在一一条条直直线线附附近近，则则可可用用一一条条直直线线来来代代表变量表变量x与之间的关系。与之间的关系。式中：式中：回归直线上的理论计算值；回归直线上的理论计算值；a,b 线性回归
4、系数。线性回归系数。第4页，本讲稿共39页用实例介绍一元线性回归分析的方法和步骤用实例介绍一元线性回归分析的方法和步骤 例：某车辆在水平道路上行驶，测得车辆行驶的距离和时间的例：某车辆在水平道路上行驶，测得车辆行驶的距离和时间的数值如表数值如表7-1所示。求距离与时间的函数关系。所示。求距离与时间的函数关系。表表7-1 解：解：1）回归方程的确定）回归方程的确定 将表将表7-1中的数据画在坐标纸上中的数据画在坐标纸上,如图如图7-1所示。所示。图图7-1 某车行驶时时间某车行驶时时间距离关系距离关系距离(m)700900116011901270149016202130时间(s)3.84.24.
5、74.84.95.45.65.7第5页，本讲稿共39页 从图从图7-1看出，这些点近似于一条直线，于是可以利用一条直看出，这些点近似于一条直线，于是可以利用一条直线来代表变量之间的关系线来代表变量之间的关系 式中：式中：公式中算出的值；公式中算出的值；x 距离距离L的值；的值；a,b 线性回归系数。线性回归系数。2）确定函数中的各参数）确定函数中的各参数 用用这这条条直直线线算算出出的的 值值，代代表表测测定定数数据据的的平平均均值值，实实测测值值与与平平均均值值之之差差代代表表残残差差，残残差差值值越越小小说说明明回回归归直直线线越越接接近近理理想想直直线线。因因此此确确定定回回归归直直线线
6、的的原原则则是是找找出出一一条条直直线线使使其其与与实实测测数数据据之之间间的的误误差差比比任任何何其其他他直直线线与与实实测测数数据据之之间间的的误误差差都都小小，即即残残差的平方和最小，这就是最小二乘法的基本思想。记差的平方和最小，这就是最小二乘法的基本思想。记 第6页，本讲稿共39页 回回归归方方程程的的确确定定就就是是确确定定系系数数a、b，据据数数学学分分析析知知，使使Q取最小的取最小的a、b必须满足如下方程组：必须满足如下方程组：即即 第7页，本讲稿共39页解得：或 式中：第8页，本讲稿共39页3 3）对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验）对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验 尽管
7、最小二乘法反映的是误差最小原则，但所求得的经验公式尽管最小二乘法反映的是误差最小原则，但所求得的经验公式的精度并非一定可以满足要求。因为，由前面的分析过程不难看的精度并非一定可以满足要求。因为，由前面的分析过程不难看出，前面计算中的误差最小只是测试结果与我们所选定曲线类型出，前面计算中的误差最小只是测试结果与我们所选定曲线类型之间的误差最小，或许实测结果的规律原本就与选定曲线的类型之间的误差最小，或许实测结果的规律原本就与选定曲线的类型不符。我们需对曲线拟合的精度进行检验。关于不符。我们需对曲线拟合的精度进行检验。关于“精度精度”检验，检验，人们提出过多种方法，在此仅介绍一种在工程上最常用的方
8、法，人们提出过多种方法，在此仅介绍一种在工程上最常用的方法，即相对误差法。即相对误差法。所谓所谓“精度精度”，事实上就是相对误差的大小。若能将经验公式，事实上就是相对误差的大小。若能将经验公式的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围内，显然的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围内，显然是符合工程上的要求的，即：是符合工程上的要求的，即：式中：式中：允许的相对误差。允许的相对误差。第9页，本讲稿共39页 2.一元非线性回归一元非线性回归 一元线性回归是工程实际中最简单的一种形式，但更多的是一些非线性一元线性回归是工程实际中最简单的一种形式，但更多的是一些非线性的问题。下面介绍如
9、何利用线性回归方法解决非线性问题。的问题。下面介绍如何利用线性回归方法解决非线性问题。1）确定经验公式类型）确定经验公式类型 将测试结果描在坐标图上，并用光滑曲线将其连起来。江实验曲线与将测试结果描在坐标图上，并用光滑曲线将其连起来。江实验曲线与数学手册上的典型曲线进行比较，选取与试验曲线最接近的曲线方程作数学手册上的典型曲线进行比较，选取与试验曲线最接近的曲线方程作为经验公式的类型。为经验公式的类型。2）将曲线进行直线化变换）将曲线进行直线化变换 如：如：双曲线方程双曲线方程 令令 则：则：变为：变为：第10页，本讲稿共39页 对数曲线对数曲线 令：令：则：则：指数曲线指数曲线 对上式两边取
10、对数得：对上式两边取对数得：令：令：，则：则：3）按照前面所介绍的直线（一元线性）拟合的方法进行计算。）按照前面所介绍的直线（一元线性）拟合的方法进行计算。4）检验其曲线拟合的精度）检验其曲线拟合的精度，若达不到所需精度的要求，则应重，若达不到所需精度的要求，则应重新选择曲线类型进行拟合，直至满足精度要求为止。新选择曲线类型进行拟合，直至满足精度要求为止。5）再将直线方程变换为原曲线方程）再将直线方程变换为原曲线方程。第11页，本讲稿共39页 a)a)双曲线双曲线 b)b)指数曲线指数曲线 c)c)幂函数曲线幂函数曲线 d)d)对数曲线对数曲线 e)e)指数曲线指数曲线 f)S f)S型曲线型
11、曲线 图图7-2 几种常见的典型函数曲线几种常见的典型函数曲线第12页，本讲稿共39页3.将试验结果拟合成多项式将试验结果拟合成多项式 前面所讲的典型曲线往往是有限的，当试验结果与任何一条典型曲线都不相符时，前面所讲的典型曲线往往是有限的，当试验结果与任何一条典型曲线都不相符时，就要寻找新的曲线，显然那就是多项式。就要寻找新的曲线，显然那就是多项式。1）多多项项式式次次数数的的确确定定 多多项项式式次次数数的的确确定定一一般般采采用用差差分分法法。设设自自变变量量的的取取值值是是等等间距的，即：间距的，即：计算出因变量计算出因变量 的相邻值之间的差值，即一阶差值的相邻值之间的差值，即一阶差值
12、，二阶差值二阶差值 为为 ，三阶差值三阶差值 为为 ，n阶差值阶差值 为为 ，第13页，本讲稿共39页 当某阶差值满足下列关系式时，当某阶差值满足下列关系式时，式中：式中：y y 的测量误差。的测量误差。2）确定多项式的系数）确定多项式的系数 同样用最小二乘法，即：同样用最小二乘法，即：令令 ，即可求出，即可求出 a0，a1，am的数值的数值第14页，本讲稿共39页 3）经验公式精度的检验）经验公式精度的检验 多项式的曲线拟合，其拟合精度的检验方法与一元线性回归相同。多项式的曲线拟合，其拟合精度的检验方法与一元线性回归相同。第15页，本讲稿共39页第二节第二节 动态测试数据处理动态测试数据处理
13、一、动态测试数据处理概述一、动态测试数据处理概述1）动态测试与静态测试）动态测试与静态测试静态测试：静态测试：被测量静止不变被测量静止不变 测量误差基本相互独立测量误差基本相互独立动态测试：动态测试：被测量随时间或空间而变化被测量随时间或空间而变化 测量系统处于动态情况下测量系统处于动态情况下 测量误差具有相关性测量误差具有相关性2）动态测量误差特点）动态测量误差特点时空性；随机性；相关性；动态性时空性；随机性；相关性；动态性1.动态测试动态测试第16页，本讲稿共39页2.动态测试数据的分类动态测试数据的分类确定性数据确定性数据动态测试数据动态测试数据随机过程数据随机过程数据周期数据周期数据非
14、周期数据非周期数据非平稳过程非平稳过程平稳过程平稳过程正正弦弦周周期期复复杂杂周周期期准准周周期期各各态态历历经经瞬瞬态态数数据据非非各各态态历历经经第17页，本讲稿共39页确定性数据：能够用明确的数学关系式表达确定性数据：能够用明确的数学关系式表达）周期数据）周期数据 正弦周期数据正弦周期数据 复杂周期数据复杂周期数据0000第18页，本讲稿共39页）非周期数据）非周期数据 准周期数据准周期数据0（不全为有理数）（不全为有理数）瞬态数据瞬态数据0第19页，本讲稿共39页二、时域内研究随机变量之间的关系二、时域内研究随机变量之间的关系1.两随机变量的相关系数两随机变量的相关系数两变量两变量x,
15、y之间的相关程度：之间的相关程度：相关系数相关系数分析两个信号或一个信号分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系在一定时移前后之间的关系表示一变量随另一变量的增加而增或减。表示一变量随另一变量的增加而增或减。第20页，本讲稿共39页2.信号的自相关函数信号的自相关函数对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数第21页，本讲稿共39页自相关函数性质：自相关函数性质：1）2）自相关函数在自相关函数在时为最大值：时为最大值：3）当）当4）自相关函数为偶函数）自相关函数为偶函数 第22页，本讲稿共39页5 5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数）周
16、期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数,其幅值其幅值 与原周期信号的幅值有关与原周期信号的幅值有关,而丢失了原信号的相位信息而丢失了原信号的相位信息.第23页，本讲稿共39页例例7-1 求正弦函数求正弦函数的自相关函数的自相关函数.为一随机变量为一随机变量.解解:在一个周期内来研究在一个周期内来研究第24页，本讲稿共39页可见可见:正弦函数的自相关函数是一个余弦函数正弦函数的自相关函数是一个余弦函数,在在时具有最大值时具有最大值,但它不随但它不随的增加而而衰减至零的增加而而衰减至零.它它保留保留了原正弦信号的幅值和频率信息了原正弦信号的幅值和频率信息,而丢失了初始相位信息而丢失了初始相位信息.
17、自相关函数的应用自相关函数的应用:1)1)信号类型的判别信号类型的判别 2)2)实际分析中的应用实际分析中的应用 第25页，本讲稿共39页第26页，本讲稿共39页3.信号的互相关函数信号的互相关函数两个各态历经过程的随机信号两个各态历经过程的随机信号x(t)和和y(t)的互相关函数：的互相关函数：的性质的性质：第27页，本讲稿共39页1）2）同频相关，不同频不相关同频相关，不同频不相关3）互相关函数不是偶函数；互相关函数不是偶函数；x(t)和和y(t)之间的滞后时间之间的滞后时间当时移当时移足够大或足够大或时时,x(t)和和y(t)互不相关互不相关,第28页，本讲稿共39页随机过程是平稳的随机
18、过程是平稳的,在在t时刻时刻从样本计算的互相关函数应和从样本计算的互相关函数应和时刻时刻从样本采样计算的互相关函数是一致的从样本采样计算的互相关函数是一致的,即即:为非偶函数的证明：为非偶函数的证明：第29页，本讲稿共39页)()()(0)()sin()()sin()()()(2700tjqjqwqwxyRtytxttxtytytxtxtytx求其互相关函数的相位差；与时刻的相位角；相对于和设有两个周期信号例-=-+=+=-第30页，本讲稿共39页解：解：因为是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值因为是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值 代替其整个历程的平均值，代替其整个历程的平均值，故
19、：故：可见可见:两个均值为零且具有相同频率的周期信号两个均值为零且具有相同频率的周期信号,其互相关函数中保留了这两个信号的其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率圆频率,对应的对应的幅值幅值以及以及相位差值相位差值的信息的信息.第31页，本讲稿共39页解：解：因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，可见，可见，两个非同频的周期信号是不相关的两个非同频的周期信号是不相关的根据正余弦函数的正交性，可知根据正余弦函数的正交性，可知)()sin()()sin()(372010tjqwqwxyRtytytxtx求其互相关函数频率不等设有两个周期信号的圆例-+=+
20、=-第32页，本讲稿共39页三、试验数据的频域分析与处理三、试验数据的频域分析与处理1.1.自功率谱密度函数自功率谱密度函数 定义及其物理意义：定义及其物理意义：前提：前提：x(t)x(t)是零均值的随机过程，即是零均值的随机过程，即 又假定又假定x(t)x(t)中没有周期分量，则当中没有周期分量，则当第33页，本讲稿共39页第34页，本讲稿共39页第35页，本讲稿共39页应用应用1 1）信号的频域结构特征更为明显）信号的频域结构特征更为明显2 2）检测出信号中有无周期成分）检测出信号中有无周期成分3 3）求系统的幅频特性）求系统的幅频特性:对于一个线性系统，对于一个线性系统，若其输入为若其输入为x(t),x(t),输出为输出为y(t)y(t)，系统的频率响应函数为系统的频率响应函数为H(f),H(f),则：则：第36页，本讲稿共39页2.互功率谱密度函数互功率谱密度函数第37页，本讲稿共39页应用应用1）获得系统的频率响应函数）获得系统的频率响应函数:2）排除噪声的影响）排除噪声的影响输出输出:第38页，本讲稿共39页第39页，本讲稿共39页