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1、变分法与边值问题第1页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题6.1 边值问题与算子方程6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理 考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能为 其中，T 表示张力，F(x,y)表示外力面密度，u(x,y)表示薄膜在点(x,y)出垂直于平面方向的位移。由于薄膜边缘固定,故 可见,(6.1.1)是定义在容许函数类上的泛函。第2页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题 类似于5.2.5小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函（6.1.1）的
2、极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题 的解；反之边值问题（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的极小函数,即 于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注意的是,为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大.此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解.第3页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题6.1.2 正算子与算子方程 我们称满足等式（Au,v)=(Av,u)的算子 A 为对称算子。设 A 是定义在 Hilbert 空间 H 的某一线性稠密子集 上的线性算子，若对 中的任意元素 u，有 且等号成立当且仅当 u=0,则
3、称 A 是正算子。第4页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题应用 取 Hilbet 空间为第5页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题 可以验证，它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算子 的定义域分别为第6页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题6.1.3 正定算子 弱解存在性 设 A 是 上的线性算子，若存在常数 对任意 有 则称算子 A 是 上的正算子。在 上引入新内积 由此内积诱导的新范数记为第7页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题第8页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题第9页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题6.2 Laplace 算子的特征值问题 本节考虑如下的Laplace 算子特征值问题：第10页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题6.2.1 特征值与特征函数的存在性第11页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题第12页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题6.2.2 特征值与特征函数的性质第13页，共14页，编辑于2022年，星期六第6章 变分法与边值问题第14页，共14页，编辑于2022年，星期六