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1、线性控制系统的计算机辅助分析线性控制系统的计算机辅助分析1/16/20231控制系统的数学描述与建模1/16/20232n n在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：n n系统的外部模型系统的外部模型n n微分方程模型微分方程模型n n传递函数模型传递函数模型n n零极点增益模型零极点增益模型n n部分分式模型部分分式模型n n系统的内部模型系统的内部模型n n状态方程模型状态方程模型,系统仿真中常常使用此类模型系统仿真中常常使用此类模型n n这些模型之间有内在的联系，可以相互进行转换。1/16/20233线性定常连续系统的微分方程模型n n微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械
2、学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。n n如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。1/16/20234线性定常连续系统的微分方程模型n n通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程n n解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。n nMATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。1/16/20235控制系统的数学模型时域模型时域
3、模型时域模型时域模型 微分方程微分方程微分方程微分方程复域模型复域模型复域模型复域模型 传递函数传递函数传递函数传递函数1/16/20236线性部件的微分方程线性部件的微分方程n n先建立部件（环节）的微分方程n n然后建立控制系统的微分方程n n微分方程是系统所遵循的运动规律直接得出的时域由各变量的关系式。n n建立模型的方法l l 根据不同系统（电、力、热等）所遵循的运动或变化规律列写方程。1/16/20237线性定常连续系统的微分方程模型举例 exp3_1.mn n电路图如下，电路图如下，R=1.4R=1.4欧，欧，L=2L=2亨，亨，C=0.32C=0.32法，初法，初始状态：电感电流
4、为零，电容电压为始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V0.5V，t=0t=0时刻接入时刻接入1V1V的电压，求的电压，求0t15s0t=tot=to时输入的时间时输入的时间函数，那么，系统在函数，那么，系统在t=tot=to的任何瞬间的行为的任何瞬间的行为就完全确定了就完全确定了。2 2、状态向量：、状态向量：以状态变量为元所组成的向量以状态变量为元所组成的向量,称称为状态向量。如为状态向量。如x x1 1(t)(t)、x x2 2(t)(t)x xn n(t(t)是系统是系统一组状态变量。则状态向量为：一组状态变量。则状态向量为：1/16/2023213 3、状态空间：、状态空间：以状态变
5、量以状态变量x x1 1,x,x2 2,x xn n为坐标轴为坐标轴,组成的组成的n n维空间称为维空间称为状态空间状态空间。状态空间中的。状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一组值。组值。状态随时间的变化过程，则构成了状态状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹状态轨迹。4 4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。与状态变量间的关系。5
6、5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如，前例中，若取系。例如，前例中，若取 为输出，则有为输出，则有 写出矩阵形式：写出矩阵形式：1/16/202322若若指定指定i i为输出，则为输出，则若指定若指定 均为输出，则均为输出，则二、状态空间表达式：二、状态空间表达式：系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式，或称状态空间描述。态空间表达式，或称状态空间描述。对于前例，其状态空间描述为：对于前例，其状态空间描述为：1/16/202323一般，多输入多输出系统的状态空间表达式为：一般，多输入
7、多输出系统的状态空间表达式为：其中：其中：N维向量系统矩阵nn方阵输入矩阵控制矩阵nr维r维输入向量1/16/202324m维输出向量输出矩阵mr维直接传递矩阵mr维1/16/202325状态空间描述n n状态方程与输出方程的组合称为状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式状态空间表达式，又，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。对系统性能的影响
8、。n n在在MATLABMATLAB中，系统状态空间用中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组矩阵组表示表示.1/16/202326状态空间描述举例举例 系统为一个两输入两输出系统系统为一个两输入两输出系统A=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;A=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;B=4 6;2 4;2 2;1 0;B=4 6;2 4;2 2;1 0;C=0 0 2 1;8 0 2 2;C=0 0 2 1;8 0 2 2;D=zeros(2,2);D=zeros(2,2);1/16/202327模型的转换一、
9、模型的转换n n在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。n n模型转换的函数包括：模型转换的函数包括：residueresidue：传递函数模型与部分分式模型互换：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tfss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型状态空间模型转换为传递函数模型ss2zpss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型状态空间模型转换为零极点增益模型tf2sstf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型传递函数模型转换为状态空间模型(可控标准型
10、可控标准型)tf2zptf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型传递函数模型转换为零极点增益模型zp2sszp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tfzp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型零极点增益模型转换为传递函数模型1/16/202328模型的转换举例举例1 1）已知系统状态空间模型为：）已知系统状态空间模型为：A=0 1;1-2;B=0;1;A=0 1;1-2;B=0;1;C=1,3;D=1;C=1,3;D=1;num,dennum,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)=ss2tf(A,B,C,D,iu)iuiu用来指定第用来指定第
11、n n个输入，当只有一个输入时可忽略。个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1 5 2;den=1 2 1;num=1 5 2;den=1 2 1;z,p,kz,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)=ss2zp(A,B,C,D,iu)z=-4.5616 p=-1 k=1z=-4.5616 p=-1 k=1 -0.4384 -1 -0.4384 -11/16/202329模型的转换2 2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=0 0-2;0-1-5;1 2 0;den=1 6 11 6;num=0 0-2;0-1-5;1 2 0;d
12、en=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A,B,C,D=tf2ss(num,den)A=-6 -11 -6 B=1 C=0 0 -2 D=0A=-6 -11 -6 B=1 C=0 0 -2 D=0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1/16/2023303 3）系统的零极点增益模型：）系统的零极点增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,dennum,den=zp2tf(z,p,k)=zp2tf(z,p,k)n
13、um=0 0 6 18 den=1 8 17 10num=0 0 6 18 den=1 8 17 10 a,b,c,da,b,c,d=zp2ss(z,p,k)=zp2ss(z,p,k)a=-1.0000 0 0 b=1 a=-1.0000 0 0 b=1 2.0000-7.0000-3.1623 1 2.0000-7.0000-3.1623 1 0 3.1623 0 0 0 3.1623 0 0 c=0 0 1.8974 d=0 c=0 0 1.8974 d=0 n n注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。1/16/202331
14、4 4）已知部分分式：）已知部分分式：r=-0.25i,0.25i,-2;r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,dennum,den=residue(r,p,kresidue(r,p,k)num=num=2 0 9 1 2 0 9 1den=den=1 1 4 4 1 1 4 4n n注意余式一定要与极点相对应。注意余式一定要与极点相对应。1/16/202332并联输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，所示，G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)G
15、 G3 3(s)(s)C C2 2(s)(s)C C3 3(s)(s)+-C(s)C(s)R(s)R(s)C C1 1(s)(s)模型的连接1/16/202333控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用1.1.并联：并联：并联：并联：parallelparallel a,b,c,da,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)n n并联连接两个状态空间系统。并联连接两个状态空间系统。a,b,c,da,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1
16、,inp2,=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)out1,out2)n ninp1inp1和和inp2inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,unu1,u2,un依次编号为依次编号为1,2,n1,2,n；out1out1和和out2out2分别指定要作相加的输分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。出端编号，编号方式与输入类似。inp1inp1和和inp2inp2既可以是标量也可以既可以是标量也可以是向量。是向量。out1out1和和out2ou
17、t2用法与之相同。如用法与之相同。如inp1=1,inp2=3inp1=1,inp2=3表示系统表示系统1 1的第的第一个输入端与系统一个输入端与系统2 2的第三个输入端相连接。的第三个输入端相连接。n n若若inp1=1 3,inp2=2 1inp1=1 3,inp2=2 1则表示系统则表示系统1 1的第一个输入与系统的第一个输入与系统2 2的第二个的第二个输入连接，以及系统输入连接，以及系统1 1的第三个输入与系统的第三个输入与系统2 2的第一个输入连接。的第一个输入连接。num,dennum,den=parallel(num1,den1,num2,den2)=parallel(num1,
18、den1,num2,den2)n n将并联连接的传递函数进行相加。将并联连接的传递函数进行相加。1/16/202334串联 前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如环节的串联。如下图下图所示，所示，G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)G G3 3(s)(s)R R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)R R3 3(s)(s)R R4 4(s)(s)1/16/202335控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用2.串联：series a,b,c,da,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,
19、c2,d2)=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)n n串联连接两个状态空间系统。串联连接两个状态空间系统。a,b,c,da,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2)in2)n nout1out1和和in2in2分别指定系统分别指定系统1 1的部分输出和系统的部分输出和系统2 2的部分输入进行连的部分输入进行连接。接。num,dennum,den=series(num1,den1,num2,den2)=series(num1,den1,num2
20、,den2)n n将串联连接的传递函数进行相乘。将串联连接的传递函数进行相乘。1/16/202336反馈反馈G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)B(s)B(s)-+-+R(s)R(s)C(s)C(s)1/16/2023373.3.反馈：反馈：反馈：反馈：feedbackfeedback a,b,c,da,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)n n将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1 1为对象，系统为对象，系统2 2为反为反馈控制
21、器。馈控制器。a,b,c,da,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,signsign)n n系统系统1 1的所有输出连接到系统的所有输出连接到系统2 2的输入，系统的输入，系统2 2的所有输出连接到系的所有输出连接到系统统1 1的输入，的输入，signsign用来指示系统用来指示系统2 2输出到系统输出到系统1 1输入的连接符号，输入的连接符号，signsign缺省时，默认为负，即缺省时，默认为负，即sign=-1sign=-1。总系统的输入。总系统的输入/输出数等同于系统输出数等同于
22、系统1 1。a,b,c,da,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)n n部分反馈连接，将系统部分反馈连接，将系统1 1的指定输出的指定输出out1out1连接到系统连接到系统2 2的输入，系统的输入，系统2 2的输出连接到系统的输出连接到系统1 1的指定输入的指定输入inp1inp1，以此构成，以此构成 闭环系统。闭环系统。num,dennum,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)=feedback(num
23、1,den1,num2,den2,sign)n n可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。表示。signsign的含义与前述相同。的含义与前述相同。1/16/202338单位反馈单位反馈G(s)G(s)E(s)E(s)C(sC(s)-R(s)R(s)C(s)C(s)1/16/2023394.4.闭环：闭环：闭环：闭环：cloopcloop（单位反馈）（单位反馈）ac,bc,cc,dcac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,signcloop(a,b,c,d,sign)n n通过将所有的输出反馈到输入，
24、从而产生闭环系统的状态空间通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间模型。当模型。当sign=1sign=1时采用正反馈；当时采用正反馈；当sign=-1sign=-1时采用负反馈；时采用负反馈；signsign缺省时，默认为负反馈。缺省时，默认为负反馈。ac,bc,cc,dcac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputscloop(a,b,c,d,outputs,inputs)n n表示将指定的输出表示将指定的输出outputsoutputs反馈到指定的输入反馈到指定的输入inputsinputs，以此构成，以此构成闭环系统的状态空间模型。一般为
25、正反馈，形成负反馈时应在闭环系统的状态空间模型。一般为正反馈，形成负反馈时应在inputsinputs中采用负值。中采用负值。numc,dencnumc,denc=cloop(num,den,signcloop(num,den,sign)n n表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，signsign意义与上意义与上述相同。述相同。1/16/202340举例举例举例举例1 1）exp3_2.m exp3_2.m n n系统系统1 1为：为：n n系统系统2 2为：为：n n求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程求按串联、并联、正反馈、负反馈
26、连接时的系统状态方程及系统及系统1 1按单位负反馈连接时的状态方程。按单位负反馈连接时的状态方程。1/16/2023412 2）exp3_3.mexp3_3.mn n系统系统1 1、系统、系统2 2方程如下所示。方程如下所示。求部分并联后的状态空间，求部分并联后的状态空间，要求要求u11u11与与u22u22连接，连接，u13u13与与u23u23连接，连接，y11y11与与y21y21连接。连接。1/16/202342本节主要内容本节主要内容n n线性系统定性分析线性系统定性分析n n线性系统时域响应解析解法线性系统时域响应解析解法n n线性系统的数字仿真分析线性系统的数字仿真分析n n根轨
27、迹分析根轨迹分析n n线性系统频域分析线性系统频域分析1/16/202343线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析n n给定线性系统模型，如何分析稳定性？n n由控制理论可知，用Routh 表格可以判定该系统稳定性。n nEdward John Routh(1831-1907)n n历史局限性1/16/202344状态方程系统的稳定性状态方程系统的稳定性n n连续线性状态方程n n解析解n n稳定性：矩阵的特征根均有负实部1/16/202345离散系统的稳定性离散系统的稳定性n n离散系统状态方程n n离散系统时域响应解析阶n n稳定性判定：所有特征根均在单位圆内1/16/202346Rou
28、th 判据的历史局限性判据的历史局限性n nRouth判据提出时，没有求多项式根的方法n n现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的根轻而易举，无需间接方法n nRouth判据只能得出是否稳定，进一步信息得不出来，如系统是否振荡n n离散系统无法由Routh方法直接判定，得借助于Jury判据，更复杂n n稳定性分析方法不统一1/16/202347基于基于 MATLAB 的稳定性判定方法的稳定性判定方法n n直接判定n n状态方程模型状态方程模型n n由由 可以求出所有特征根可以求出所有特征根n n离散系统：离散系统：n n传递函数模型：完全同样方法传递函数模型：完全同样方法n n图解判定法n n连
29、续系统：连续系统：n n离散系统：离散系统：，同时画出单位圆，同时画出单位圆1/16/202348例4-1 高阶系统稳定性判定n n直接分析方法example1example11/16/202349例4-2 高阶离散单位负反馈系统模型n nMATLAB 求解example2example21/16/202350 线性反馈系统的内部稳定性线性反馈系统的内部稳定性n n输入、输出稳定是不够的，因为若内部信号可能过大，对系统作硬件破坏n n应该引入内部稳定性概念，保证内部信号也是稳定的。1/16/202351n n由给定稳定输入 到内部信号 都稳定的系统称为内部稳定系统n n传递函数矩阵 其中n n
30、逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐n n内部稳定性定理1/16/202352内部稳定性定理内部稳定性定理n n闭环系统内部稳定的充要条件为n n 没有不稳定极点没有不稳定极点n n 没有不稳定零极点对消没有不稳定零极点对消n n第一个条件等效于输入输出稳定性n n判定第2条件即可n n可以编写编写MATLAB函数判定内部稳定性1/16/202353n n判定的 MATLAB 函数闭环系统输入输出不稳定返回闭环系统输入输出不稳定返回1 1，内部不稳定返回，内部不稳定返回2 2，否则，否则0 01/16/202354 线性系统的线性相似变换线性系统的线性相似变换n n系统的状态方程表示称为系统实
31、现n n不同状态选择下，状态方程不惟一n n相似变换n n非奇异矩阵非奇异矩阵n n状态变换状态变换n n新状态方程模型新状态方程模型1/16/202355n n状态变换公式n nMATLAB 求解方法1/16/202356例4-3 已知系统和转换矩阵n nMATLAB 求解1/16/202357n n变换结果n n可见，相似变换能改变系统的结构n n引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换成其他的形式1/16/2023584.1.4 线性系统的可控性分析线性系统的可控性分析n n可控性定义可控性定义n n n n系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外系统的可控性就是指系统内部的状态是不是
32、可以由外部输出信号控制的性质，部输出信号控制的性质，1/16/202359比如一个系统的状态空间描述为：比如一个系统的状态空间描述为：写成标量方程组的形式为：写成标量方程组的形式为：可以直观地看出，可以直观地看出，受受u u的控制，即可以通过选择的控制，即可以通过选择u u，使，使 取任意值，而取任意值，而 则不受则不受u u的控制，不的控制，不能通过能通过u u的选择，使的选择，使 取我们所需的值。取我们所需的值。1/16/202360线性系统的可控性判定线性系统的可控性判定n n可控性判定矩阵n n n n基于 MATLAB 的判定方法n n构造可控性判定矩阵1/16/202361例4-4
33、 离散状态方程的可控性n nMATLAB 求解1/16/202362n n判定矩阵n n判定矩阵构造方法n n这样的判定方法同样适合于连续系统和离散系统。也适用于多变量模型1/16/202363 线性系统时域响应解析解法线性系统时域响应解析解法n n给线性系统一个激励信号，输出是什么？n n有两大类方法n n解析解方法解析解方法n n求解微分方程、差分方程解析解求解微分方程、差分方程解析解n n数值解方法数值解方法n n主要内容n n基于状态方程的解析解方法基于状态方程的解析解方法n n基于传递函数部分方式展开的解析解方法基于传递函数部分方式展开的解析解方法n n二阶系统的解析解方法二阶系统的
34、解析解方法1/16/202364 基于状态方程的解析解方法基于状态方程的解析解方法n n状态方程模型n n解析解n n求解难点1/16/202365 基于部分分式展开方法求解基于部分分式展开方法求解n n连续系统的解析解法n n n n n n无重根时部分方式展开1/16/202366n n由 Laplace 反变换求解析解n n有重根时n n相应项的解析解为1/16/202367n n部分分式的 MATLAB 求解例4-11 输入信号为阶跃信号n n输出信号计算1/16/202368n nMATLAB 求解n n解析解n n解析解精确值example3example31/16/202369例
35、4-12 带有复数极点的系统n n阶跃响应解析解n n解析解example4example41/16/202370解析解的进一步化简解析解的进一步化简(自编自编)n n基于基于 Euler Euler 公式的化简公式的化简其中其中n n新新 MATLAB MATLAB 函数函数n n n n 1/16/202371新新 MATLAB 函数清单函数清单1/16/202372例4-13 仍考虑n nMATLAB 求解n n解析解1/16/202373基于基于 Laplace 变换的求解变换的求解n n步骤：n n定义符号变量定义符号变量n n描述原函数表达式描述原函数表达式n n调用调用 lapl
36、acelaplace()()函数或函数或 ilaplaceilaplace()()函数求解函数求解n n结果化简，如结果化简，如 simple()simple()函数函数n n求解举例1/16/202374n n例1n nMATLAB 求解n n解析解1/16/202375n n例2n nMATLAB 求解n n解析解example5example51/16/202376 二阶系统的阶跃响应及二阶系统的阶跃响应及 阶跃响应指标阶跃响应指标n n二阶系统模型n n闭环模型n n记 则1/16/202377阶跃响应的解析解阶跃响应的解析解n n无阻尼振荡n n欠阻尼振荡n n临界阻尼振荡n n过阻
37、尼振荡1/16/202378n n二阶系统阶跃响应曲线1/16/202379利用图形绘制功能，从新角度研究利用图形绘制功能，从新角度研究同样的问题同样的问题n n三维曲面绘制erjiexiangyingerjiexiangying1/16/202380阶跃响应指标阶跃响应指标n n超调量超调量n n稳态值稳态值n n上升时间上升时间n n调节时间调节时间n n好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节时间短等性能间短、调节时间短等性能1/16/202381 线性系统的
38、数字仿真分析线性系统的数字仿真分析n n线性系统的解析解可以求解的条件n n4 阶以上的系统需要求解 4 阶以上的多项式方程，根据 Abel 定理，无解析解。n n解析解和数值解结合n n实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线n n主要内容主要内容n n线性系统的阶跃响应与脉冲响应线性系统的阶跃响应与脉冲响应n n任意输入下系统的响应任意输入下系统的响应n n降阶模型的时域分析及比较降阶模型的时域分析及比较1/16/202382 线性系统的阶跃响应与脉冲响应线性系统的阶跃响应与脉冲响应n n阶跃响应曲线绘制函数n n多系统曲线绘制1/16/202383例4-17 延迟系统n nMATLAB 语句
39、n n利用 MATLAB 提供的功能，可以从曲线上得到更多的信息，如超调量等(右键、左键)Example 7Example 71/16/202384n nMATLAB 求解解析解n n解析解n n数值解精度比较example8example81/16/202385例例4-18 4-18 离散化离散化采样周期采样周期n n求解求解n n得出的曲线可以比较得出的曲线可以比较,仍然可以用左右键查看具体仍然可以用左右键查看具体信息信息example9example91/16/202386n nZOH 变换n nTustin 变换，不同采样周期1/16/202387例4-19 多变量系统，阶跃响应 n
40、nMATLAB 求解语句example10example101/16/202388n n系统耦合的概念n n静态前置补偿矩阵n n不能直接乘法运算n nPade 近似example11example111/16/202389n n补偿后系统的模型n n解耦效果还可以(在矩阵补偿下，两路输出耦合明显降低，在矩阵补偿下，两路输出耦合明显降低，在矩阵补偿下，两路输出耦合明显降低，在矩阵补偿下，两路输出耦合明显降低，从而使得控制器的单独设计成为可能从而使得控制器的单独设计成为可能从而使得控制器的单独设计成为可能从而使得控制器的单独设计成为可能)n n使得多变量系统能直接设计，在设计前必须解耦合。1/1
41、6/202390系统的脉冲响应曲线系统的脉冲响应曲线n nMATLAB 下的 impulse()函数与 step()函数调用结构完全一致n nMATLAB 求解n n可以容易地研究系统的脉冲响应曲线example12example121/16/202391任意输入下系统的响应任意输入下系统的响应n n可以利用 step()和 impulse()函数求解n n输出信号计算输出信号计算n n如如 R(s)R(s)已知，则可以直接求解已知，则可以直接求解例4-20 斜坡响应1/16/202392n n n n n n n nMATLAB 求解n n其他输入的响应可以由 lsim()函数求取1/16/
42、202393例4-21 多变量系统输入信号n nMATLAB 求解1/16/202394n n多变量系统的时域响应可以这样求解n n比较容易n n理解曲线含义,每幅图有两个输入一个输出每幅图有两个输入一个输出每幅图有两个输入一个输出每幅图有两个输入一个输出example13example131/16/202395 根轨迹分析根轨迹分析n n n n n n 单位负反馈n n 闭环系统特征方程n n 对 K 的不同取值，则可能绘制出每个特征 根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。n n 根轨迹用开环信息研究闭环特性1/16/202396n nMATLAB 求解n n该函数可以用于单变量不含有
43、时间延迟的连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨迹绘制。1/16/202397例4-24 开环系统n nMATLAB 求解n n如何求解临界增益？n n闭环系统稳定性如何变化example14example141/16/202398例4-25 n n根轨迹求解n n求出阻尼在 处的增益n n临界增益处阶跃响应example15example151/16/202399例4-26 离散系统根轨迹根轨迹绘制找到稳定的增益取值范围example16example161/16/2023100带延迟的离散系统根轨迹带延迟的离散系统根轨迹n n假设延迟为 6 步，则n n可
44、以求临界增益n n延迟系统临界增益减小example17example17G.ioDelayG.ioDelay=6;=6;rlocus(Grlocus(G),),gridgrid1/16/2023101线性系统频域分析线性系统频域分析n n频域分析n n NyquistNyquist 1932 1932n n Bode Bode，Nichols Nichols 提出的新图形方法提出的新图形方法n n主要内容n n单变量系统的频域分析单变量系统的频域分析n n利用频率特性分析系统的稳定性利用频率特性分析系统的稳定性n n系统的幅值裕度和相位裕度系统的幅值裕度和相位裕度n n多变量系统的频域分析多
45、变量系统的频域分析1/16/2023102 单变量系统的频域分析单变量系统的频域分析n n n n三种表示方法n n 实部与虚部关系曲线即为实部与虚部关系曲线即为 NyquistNyquist 图图 NyquistNyquist 图图的缺陷：无对应频率信息的缺陷：无对应频率信息n n 横轴对数坐标横轴对数坐标 rad/srad/s，纵轴分贝、度，纵轴分贝、度，Bode Bode 图图n n 幅值与相位关系，幅值与相位关系，Nichols Nichols 图，无频率信息图，无频率信息1/16/2023103n n Nyquist 曲线绘制n n grid 命令绘制等 M 和等 N 圆1/16/2
46、023104n nBode 图绘制n nNichols 图由 nichols()函数绘制n n可以同样处理连续、离散、延迟、多变量系统，格式不变1/16/2023105例4-30 开环传递函数n nNyquist 曲线绘制n nMATLAB 曲线特色n n 读取频率信息；频率范围读取频率信息；频率范围example18example181/16/2023106n nBode 图绘制n n快捷菜单读取特性快捷菜单读取特性n n Nichols 图的绘制n n用鼠标读取频率信息用鼠标读取频率信息n n弥补了传统弥补了传统 Nichols Nichols 图的不同图的不同其他频域响应曲线其他频域响应
47、曲线1/16/2023107例4-31 对下面模型离散化，n nMATLAB 求解n n不同采样周期的离散模型 Bode 图example19example191/16/2023108例4-32 离散系统n n Nyquist 图与 Nichols 图example20example201/16/2023109例4-33 延迟系统模型n nMATLAB 求解example21example211/16/2023110 利用频率特性分析系统利用频率特性分析系统的稳定性的稳定性n n n nNyquist 定理可以进一步解释为n n 1/16/2023111n n n n n n可以用开环的系统模
48、型，绘制 Nyquist 图并以此分析闭环系统的稳定性。1/16/2023112例4-34 n nNyquist 图n n闭环阶跃响应example22example221/16/2023113 系统的幅值裕度和相位裕度系统的幅值裕度和相位裕度n n幅值裕度和相位裕度 相位裕度 幅值裕度1/16/2023114稳定性裕度分析稳定性裕度分析n n如果系统的 Nyquist 图不与负实轴相交，则系统的幅值裕度为无穷大。n n n n如果系统的 Nyquist 图不与单位圆相交，则系统的相位裕度为无穷大。1/16/2023115n n如果系统的 Nyquist 图在第三象限与单位圆有若干个交点，则系
49、统的相位裕度以与离负实轴最近的为准。n nMATLAB 求解方法n n如果某个裕度为无穷大，则返回 Inf，相应的频率值为 NaN。1/16/2023116例4-35n nMATLAB 求解n n n n由于幅相裕度小，系统闭环响应有强振荡example23example231/16/2023117本章主要内容本章主要内容n n MATLAB 的使用为控制系统的分析提供了有力的工具，在控制系统发展初期，由于没有这样的强有力工具，出现了很多间接的方法，例如控制系统的稳定性分析以往的 Routh 判据可以完全由直接求根的方法取代，对控制系统来说，用 eig()就可以直接求出系统的特征根，并给出了反
50、馈控制系统的内部稳定性概念与判定方法。1/16/2023118n n利用 MATLAB 这样 的工具还可以直接对控制系统的可控性、可观测性等进行直接判定。n n本章介绍了线性系统的解析解算法，包括基于状本章介绍了线性系统的解析解算法，包括基于状态方程的解析解方法和基于部分分式展开技术的态方程的解析解方法和基于部分分式展开技术的解析解方法，分别就连续系统和离散系统等问题解析解方法，分别就连续系统和离散系统等问题进行了探讨，还介绍了改进的部分分式展开方法，进行了探讨，还介绍了改进的部分分式展开方法，从而可以得出更可读的解析解。从而可以得出更可读的解析解。n n由典型二阶系统的阶跃响应定义了系统的一