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1、数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法统计与概率思想统计与概率思想概率思想概率思想概率思想的概念：概率思想的概念：生活中的事件可以分为两类：一类生活中的事件可以分为两类：一类是确定事件，在一定条件下一定发生的是确定事件，在一定条件下一定发生的和一定不会发生的，这些事件都是确定和一定不会发生的，这些事件都是确定事件；事件；如每天日出日落、四季轮回是一定如每天日出日落、四季轮回是一定发生的，而掷两枚骰子朝上的两个数字发生的，而掷两枚骰子朝上的两个数字的和是的和是13是不可能发生的。是不可能发生的。概率思想概率思想概率思想的概念：概率思想的概念：另一类是随机事件，就
2、是在一定条另一类是随机事件，就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；件下可能发生也可能不发生的事件；如一个产妇生男婴还是生女婴、某如一个产妇生男婴还是生女婴、某种子的发芽率都是随机事件。这些随机种子的发芽率都是随机事件。这些随机事件表面上看杂乱无章，但是大量地重事件表面上看杂乱无章，但是大量地重复观察这些事件时，这些随机事件会呈复观察这些事件时，这些随机事件会呈现规律性，这种规律叫统计规律，概率现规律性，这种规律叫统计规律，概率论是研究随机现象的统计规律性的一门论是研究随机现象的统计规律性的一门科学学科，统计与概率有着密切的联系。科学学科，统计与概率有着密切的联系。频率与概率的区别和联系：
3、频率与概率的区别和联系：随机事件发生的可能性的大小是概随机事件发生的可能性的大小是概率论研究的主要内容，通过试验来观察率论研究的主要内容，通过试验来观察随机事件发生的可能性的大小是常用的随机事件发生的可能性的大小是常用的方法。在相同的条件下，重复进行方法。在相同的条件下，重复进行n次次试验，某一事件试验，某一事件A出现的次数出现的次数m就是频就是频数，数，m/n就是事件就是事件A出现的频率。如果出现的频率。如果试验的次数不断增加，事件试验的次数不断增加，事件A发生的频发生的频率稳定在某个数上，就把这个常数记作率稳定在某个数上，就把这个常数记作P（A），称为事件），称为事件A的概率。的概率。概率
4、思想概率思想频率与概率的区别和联系：频率与概率的区别和联系：事件的概率是确定的、不变的常事件的概率是确定的、不变的常数，是理论上的精确值；而频率是某数，是理论上的精确值；而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化可能性非常的化的数，尽管这种变化可能性非常的小。小。概率思想概率思想 这里的概率是用频率来界定的，这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和概率的相关性非常的强。认为频率和概率的相关性非常的强。也就是说，在一次试
5、验中，事件也就是说，在一次试验中，事件A出出现的频率越大、事件现的频率越大、事件A的概率就越大；的概率就越大；事件事件A出现的频率越小、事件出现的频率越小、事件A的概率的概率就越小。反之亦然。就越小。反之亦然。概率思想概率思想两种概率模型：两种概率模型：v古典概模：试验中所有可能出现的基古典概模：试验中所有可能出现的基本事件是有限的，每个基本事件出现本事件是有限的，每个基本事件出现的可能性相等。如比较经典的投硬币的可能性相等。如比较经典的投硬币和掷骰子试验，都属于这种概率模型。和掷骰子试验，都属于这种概率模型。v几何概型：试验中每个基本事件发生几何概型：试验中每个基本事件发生的概率只与构成该事
6、件区域的长度的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。如比较常见（面积、体积）成比例。如比较常见的转盘游戏，就是几何概率模型。的转盘游戏，就是几何概率模型。概率思想概率思想概率思想的重要意义：概率思想的重要意义：生活中的很多现象都是随机现象，生活中的很多现象都是随机现象，如气候变化、物价变化、体育比赛、汽如气候变化、物价变化、体育比赛、汽车流量、彩票中奖等等。这些随机事件，车流量、彩票中奖等等。这些随机事件，如果能够比较准确地预测它发生的可能如果能够比较准确地预测它发生的可能性的大小，就会为我们的工作和生活带性的大小，就会为我们的工作和生活带来很多方便、解决很多问题。来很多方便、解决
7、很多问题。概率思想概率思想 随着科技的发展，气象部门已经能随着科技的发展，气象部门已经能够比较准确地预报天气变化，对气温、够比较准确地预报天气变化，对气温、降水量、风力、风向等的变化作出比较降水量、风力、风向等的变化作出比较准确地预测，帮助人们提早做出预防，准确地预测，帮助人们提早做出预防，从而减少灾害的发生。这些现象都离不从而减少灾害的发生。这些现象都离不开对数据的分析以及对事件发生可能性开对数据的分析以及对事件发生可能性大小的定量刻画，从而做出合理的预测大小的定量刻画，从而做出合理的预测和决策，这正是统计与概率研究的主要和决策，这正是统计与概率研究的主要内容。因而，统计与概率的思想方法既内
8、容。因而，统计与概率的思想方法既是进一步学习的基础，也是人们在生活是进一步学习的基础，也是人们在生活和工作中必须掌握的。和工作中必须掌握的。概率思想概率思想概率思想的具体应用：概率思想的具体应用：概率思想主要应用于统计与概率领概率思想主要应用于统计与概率领域。一是小学数学第一、第二学段都安域。一是小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容，如会求简单的等可排了可能性的内容，如会求简单的等可能性随机事件发生的可能性，根据等可能性随机事件发生的可能性，根据等可能性事件设计公平的游戏规则。二是统能性事件设计公平的游戏规则。二是统计推断中很多情况是根据对随机事件的计推断中很多情况是根据对随机事件的相关
9、数据进行分析后，再相关数据进行分析后，再对随机发生的对随机发生的可能性大小进行预测和决策可能性大小进行预测和决策。概率思想概率思想 例如例如2010年南非世界杯决赛西班牙年南非世界杯决赛西班牙对荷兰，有人预测西班牙夺冠，理由是对荷兰，有人预测西班牙夺冠，理由是西班牙是近年欧洲冠军、实力雄厚；还西班牙是近年欧洲冠军、实力雄厚；还有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰是无冕有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰是无冕之王、两次获得世界杯亚军。西班牙和之王、两次获得世界杯亚军。西班牙和荷兰两队历史上一共交手荷兰两队历史上一共交手9次，其中荷次，其中荷兰兰4盛盛1平平4负，实力不分上下。所以两负，实力不分上下。所以两队夺
10、冠的可能性各占一半。队夺冠的可能性各占一半。概率思想概率思想概率思想的教学：概率思想的教学：第一，随机事件的发生是有条件的，第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性有是在一定条件下，事件发生的可能性有大有小；条件变了，事件发生的可能性大有小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。如种子的发芽率与大小也可能会变化。如种子的发芽率与很多因素有关，如种子的质量、保存期很多因素有关，如种子的质量、保存期限、温度、水分、土壤、阳光、空气等限、温度、水分、土壤、阳光、空气等等。在各种条件都合适的情况下，发芽等。在各种条件都合适的情况下，发芽率可能高达率可能高达90%；条件不合
11、适发芽率；条件不合适发芽率可能降到可能降到50%甚至不发芽。甚至不发芽。概率思想概率思想 第二，避免把频率与概率混淆。如第二，避免把频率与概率混淆。如最经典的就是掷硬币试验去验证概率。最经典的就是掷硬币试验去验证概率。从概率的统计定义而言，做抛硬币试验从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，可以使学生参与实践活动、是可以的，可以使学生参与实践活动、经历知识的形成过程、提高学习的兴趣。经历知识的形成过程、提高学习的兴趣。概率思想概率思想 关键是广大教师心中要明白：试验关键是广大教师心中要明白：试验次数少的时候频率与概率的误差可能会次数少的时候频率与概率的误差可能会比较大，但是试验次数多，也不
12、能每次比较大，但是试验次数多，也不能每次都保证频率与概率相差很小，或者说试都保证频率与概率相差很小，或者说试验次数足够大的两次试验，也不能保证验次数足够大的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。试验次数多的比试验次数少的误差小。这是随机事件本身的特点决定的，教师这是随机事件本身的特点决定的，教师要通过通俗的语言使学生清楚这一点。要通过通俗的语言使学生清楚这一点。这样在抛硬币时出现什么情况都是正常这样在抛硬币时出现什么情况都是正常的。的。概率思想概率思想 第三，第三，创设联系学生生活的情境，创设联系学生生活的情境，要注意每个基本事件是否具有等可能性要注意每个基本事件是否具有等可能
13、性。如下面的题目就不合适：全班如下面的题目就不合适：全班50个学生，个学生，选一人代表全班参加科普知识竞赛，张选一人代表全班参加科普知识竞赛，张三被选中的可能性是多少？事实上参加三被选中的可能性是多少？事实上参加竞赛是有一定条件的，如需要学习好、竞赛是有一定条件的，如需要学习好、知识面宽等等，每个学生被选中的可能知识面宽等等，每个学生被选中的可能性是不相等的。性是不相等的。概率思想概率思想 第四，概率是理论上的精确值，但第四，概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中可能出现是随机事件在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概率有一定偏差。随机意外，即频率与概率有一定偏差。随机中有精确，
14、精确中有随机，这是对待概中有精确，精确中有随机，这是对待概率的一种科学态度。率的一种科学态度。概率思想概率思想案例案例1：连续两次掷一枚硬币，如果第：连续两次掷一枚硬币，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是反面一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上吗？朝上吗？分析：从概率角度分析，抛一枚硬分析：从概率角度分析，抛一枚硬币正面和反面朝上的可能性相等，都是币正面和反面朝上的可能性相等，都是二分之一；并不会因为第一次正面朝上二分之一；并不会因为第一次正面朝上而影响第二次正面和反面朝上的可能性而影响第二次正面和反面朝上的可能性相等的理论事实。因此，第二次正面和相等的理论事实。因此，第二次正面和反面朝上
15、的可能性仍然相等。反面朝上的可能性仍然相等。概率思想概率思想案例案例2：天气预报预测明天降水概率：天气预报预测明天降水概率是是90%，明天一定会下雨吗？，明天一定会下雨吗？分析：明天是否降水是一个随机分析：明天是否降水是一个随机事件，尽管降水概率高达事件，尽管降水概率高达90%，说，说明降水的可能性很大，但可能性大的明降水的可能性很大，但可能性大的事件也可能不发生，所以不能说明天事件也可能不发生，所以不能说明天一定下雨。一定下雨。概率思想概率思想例例1：一：一次数学竞赛共有次数学竞赛共有20道题道题.做对做对一道题得一道题得8分分,做错一题倒扣做错一题倒扣4分分,刘冬刘冬考了考了112分分,你
16、知道刘冬做对了几道你知道刘冬做对了几道题题？分析：假设刘冬全分析：假设刘冬全做对可得做对可得160分每分每错一题应扣错一题应扣8+4=12分（做对得的分（做对得的8分加上做错倒扣的分加上做错倒扣的4分分）做）做错了：错了：（160-112）12=4题，做对题，做对了：了：20-4=16题题鸡兔同笼鸡兔同笼例例2：52名同学去划船名同学去划船,一共乘坐一共乘坐11只船只船,其中每只大船坐其中每只大船坐6人人,每只小船坐每只小船坐4人人.求大船和小船各几只求大船和小船各几只?例例3：三年：三年一班一班30人共向北京奥运会人共向北京奥运会捐款捐款205元元,同学每人了捐了同学每人了捐了5元或元或10元元,你知道捐你知道捐5元和元和10元的同学各有多元的同学各有多少人吗少人吗?鸡兔同笼鸡兔同笼