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1、合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二章有限元法的力学基础第二章有限元法的力学基础-弹性力学基本理论弹性力学基本理论第二节第二节 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题第三节第三节 平衡微分方程平衡微分方程第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移第五节第五节 物理方程物理方程第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定第七节第七节 边界条件边界条件第八节第八节 圣维南原理圣维南原理第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 弹性力学（弹性力学（Th
2、eory of Elasticity）:研究研究载荷载荷作用下作用下弹性体弹性体中中内力和变形内力和变形的一门学科。的一门学科。第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论载荷：载荷：机械力，温度，边界约束机械力，温度，边界约束 -原因原因弹性体：弹性体：缷载后完全缷载后完全 恢复到初始状态和尺寸恢复到初始状态和尺寸-研究对象研究对象1.什么是弹性力学？什么是弹性力学？内力和变形：内力和变形：应力，应变，位移应力，应变，位移 -研究目标研究目标一一.弹性力学内容弹性力学内容合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论2.弹性力学与其它力学分支的对比理论力学材料力学结
3、构力学弹性力学研究研究对象对象目标目标刚体静力学运动学动力学杆、梁拉压剪切扭转弯曲桁架、刚架（杆系结构）应力形变位移弹性体应力形变位移合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论2.弹性力学与其它力学分支的对比研究研究方法方法 材料力学材料力学:借助于直观和实验现象作一些假定，如借助于直观和实验现象作一些假定，如平面截平面截面假设面假设 等，然后由等，然后由静力学、几何关系、物理方静力学、几何关系、物理方程程三方面进行分析。三方面进行分析。弹性力学弹性力学:仅由仅由静力平衡、几何方程、物理方程静力平衡、几何方程、物理方程三方面分三方面分析，放弃了材力中的简化假
4、定。析，放弃了材力中的简化假定。近似解法近似解法：变分法、：变分法、差分法、有限单元法差分法、有限单元法等。等。一维数学一维数学问题，求解问题，求解常微分方程常微分方程。三维数学三维数学问题，求解问题，求解偏微分方程偏微分方程。近似解近似解解析法解析法合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲问题 材料力学材料力学当当 l h 时，两者误差很小时，两者误差很小如：混凝土深梁如：混凝土深梁 弹性力学以弹性力学以微元体微元体为研为研究对象，建立方程求解，得究对象，建立方程求解，得到到弹性体变形的一般规律弹性体变形的一般规律。所得结果更
5、符合实际。所得结果更符合实际。弹性力学弹性力学合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论1.连续性假定连续性假定 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。空隙。该假定在研究物体的该假定在研究物体的宏观力学特性宏观力学特性时，与工程实际吻时，与工程实际吻合较好；研究物体的合较好；研究物体的微观力学性质微观力学性质时不适用。时不适用。作用：作用：所有物理量都可以表示成空间坐标的连续函数。所有物理量都可以表示成空间坐标的连续函数。如：如：可以应用数学分析工具可以应用数学分析工具二二.弹性力学基本假设弹性
6、力学基本假设合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论2.完全弹性假定完全弹性假定 物体在外力拆除之后，能完全恢复原形，没有任何剩物体在外力拆除之后，能完全恢复原形，没有任何剩余变形。余变形。脆性材料脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。比例阶段，可视为线弹性的。作用：作用：E，u 等材料常数为常量，不随应力、应变的等材料常数为常量，不随应力、应变的 变化变化 而变化而变化 物理方程线性化物理方程线性化完全弹性完全弹性线弹性线弹性 弹性力学弹性力学 非线性非线性 非线性弹性力
7、学非线性弹性力学合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论3.均匀性假定均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性的，各部分材料性质相同。质相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。4.各向同性假定各向同性假定 假定物体内一点的假定物体内一点的弹性性质弹性性质在所有在所有各个方向都相同各个方向都相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化；符合上述符合上述4个假
8、定个假定的物体，称为的物体，称为理想弹性体理想弹性体。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 弹性力学概论弹性力学概论5.小变形假定小变形假定 假定假定位移和形变是微小位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸位移远远小于物体的原来的尺寸，且，且应变和转角远小于应变和转角远小于1。作用：作用：建立方程时，可略去高阶无穷小量；建立方程时，可略去高阶无穷小量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程使求解的方程线性化线性化。两层含义：两层含义：位移是微小的：位移是微小的：各点位移各点位移 另
9、两个方向的尺寸另两个方向的尺寸外力外力 平行于横截面，沿平行于横截面，沿z 向不变化向不变化如：水坝，充气圆筒，隧道如：水坝，充气圆筒，隧道几何特征与受力特征为外在特征，是充分而非必要条件几何特征与受力特征为外在特征，是充分而非必要条件注意：注意：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析平面位移问题平面位移问题第二节第二节 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题无限长无限长(3)形变特征形变特征任一横截面均任一横截面均可视为对称面可视为对称面任一点的位移矢量任一点的位移矢量都平行于都平行于 xoy 平面。平面。设设 z方向为无限长，则应力，应变，位移等沿方向为无限长，则应力，应变
10、，位移等沿 z 方向都不变化，与方向都不变化，与z 坐标无关坐标无关仅为仅为 x，y 的函数。的函数。平面应变问题只有三个独立应变分量：平面应变问题只有三个独立应变分量：结结论论：注意：注意：1）形变特征为内在特征，是形变特征为内在特征，是充要条件充要条件 2）平面应变问题的实质平面应变问题的实质：只有平面应变分量：只有平面应变分量且仅为且仅为x,y 的函数的弹性力学问题。的函数的弹性力学问题。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题3.平面问题的求解平面问题的求解问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力
11、、面力）、边界条件，求：求：仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1 1）静力学关系：）静力学关系：（2 2）几何学关系：）几何学关系：（3 3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件：平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1 1）应力边界条件；）应力边界条件；（2 2）位移边界条件；）位移边界条件；求解：求解：数学问题：偏微分方程的边值问题解析法：逆法，半逆法，三角级数 法，复变函数法，
12、特殊函数法 近似法：差分法，变分法，有限元法合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题课堂讨论：课堂讨论：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析主要内容复习：主要内容复习：两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征受力特征受力特征应力应力特征特征几何特征几何特征;受力特征受力特
13、征;应变应变特征。特征。外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。基本假定：基本假定：（1）连续性假设；连续性假设；（2）完全弹性假设；完全弹性假设；（3）均匀性假设；均匀性假设；（4）各向同性假设；各向同性假设；（5）小变形假设。）小变形假设。（注意：注意：各分量正负号规定各分量正负号规定）（掌握这些假设的作用掌握这些假设的作用）基本概念：基本概念：理想弹性体理想弹性体合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题讨论：1。平面应力问题中，是否为0？2。平面应变问题中，是否为0？1。平面应力中z向变形不受限制，由于泊松效应，x
14、,y方向上的应力变在z向必然引起应变。2。由于泊松效应，x,y方向上的应变 在z向必然引起z向应变，但平面应变中z向变形受限制，必然产生z向应力。课后作业：习题2-14合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面问题的求解平面问题的求解问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1 1）静力学关系：）静力学关系：（2 2）几何学关系：）几何学关系：（3 3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的
15、关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件：平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1 1）应力边界条件；）应力边界条件；（2 2）位移边界条件；）位移边界条件；求解：求解：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第三节第三节 平衡微分方程平衡微分方程合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第三节第三节 平衡微分方程平衡微分方程PBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近）Z 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：单元内体力：单元内体力：AC面：面
16、：BC面：面：注：注：1)应用了连续性假设应用了连续性假设 2）用了小变形假定，以变形前的）用了小变形假定，以变形前的 尺寸代替变形后尺寸。尺寸代替变形后尺寸。知识点回顾D合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第三节第三节 平衡微分方程平衡微分方程由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得整理得：整理得：当当时，有时，有 切应力互等定理切应力互等定理PBACxyOD合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第三节第三节 平衡微分方程平衡微分方程两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：PBACxyOD合 肥 工 业 大 学有 限
17、元 分 析第三节第三节 平衡微分方程平衡微分方程平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平方向自成平衡，上述方程衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。PBACxyO
18、D合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第三节第三节 平衡微分方程平衡微分方程比较：比较：理论力学考虑理论力学考虑整体平衡整体平衡，只能用来确定物体是运动还，只能用来确定物体是运动还 是静止状态；是静止状态；材料力学考虑的是材料力学考虑的是有限部分的平衡有限部分的平衡（V）；）；弹性力学考虑的是弹性力学考虑的是微分体的平衡微分体的平衡（dV），每个微分平衡），每个微分平衡 必然保证有限部分平衡和整体平衡，弹性力学对平衡的必然保证有限部分平衡和整体平衡，弹性力学对平衡的 考虑是严格的、精确的。考虑是严格的、精确的。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移
19、刚体位移合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移建立平面问题中建立平面问题中应变应变与与位移位移的关系的关系1.几何方程几何方程一点的变形一点的变形线段的线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；xyO考察考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：uv变形前变形前变形后变形后PABu(x,y)v(x,y)注：注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。这里略去了二阶以上高阶无穷小量。AdxBdyP合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移PA的正应变：的正应变：PB的正应变：的正应
20、变：P点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化xyOuvAdxBdyP合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移整理得：整理得：几何方程几何方程说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关系，适用于满足连续性假间的关系，适用于满足连续性假设和小变形假设的弹性体；设和小变形假设的弹性体；（2）当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；可完全确定；反之，已知反之，已知 ，u、v 能否确定能否确定（3）xyOuvAdxBdyP合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 第四节第四节 几何方程
21、几何方程 刚体位移刚体位移令：假设物体内没有形变，假设物体内没有形变，是否也没有位移？是否也没有位移？2.刚体位移刚体位移合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移讨论：讨论：（2）xyOPr说明：说明：P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 绕绕O点转过的角速度（刚性转动）点转过的角速度（刚性转动）（1）仅有平移。仅有平移。yx刚体位移刚体位移合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移结论：结论：1.当物体位移确定时，形变确定；弹性体位移：弹性体位移：形变产生的位移形变产生的位移与形变无关的刚体位移与
22、形变无关的刚体位移边界约束条件边界约束条件几何方程几何方程2.当物体形变确定时，位移不完全确定，这时:合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第五节第五节 物理方程物理方程合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析建立：建立：应力与应变的关系。应力与应变的关系。也称：本构方程、本构关系。也称：本构方程、本构关系。在理想弹性体条件下：物理方程即为在理想弹性体条件下：物理方程即为广义胡克定律广义胡克定律。E-拉压弹性模量；拉压弹性模量；G-剪切弹性模量，切变模量剪切弹性模量，切变模量 -泊松比。泊松比。第五节第五节 物理方程物理方程合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析应力的应变表示应力的应变表示
23、由于平面应力问题由于平面应力问题中中应变的应力表示应变的应力表示广义胡克定律广义胡克定律思考：平面应力问题中 平面应力平面应力平面应力平面应力问题物理方程问题物理方程问题物理方程问题物理方程第五节第五节 物理方程物理方程1.1.平面应力问题物理方程平面应力问题物理方程合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析由于平面应变问题由于平面应变问题中中广义胡克定律 平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程思考：思考：(2)平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式物理方程的另一形式?(1)平面应变问题中平面应变问题中，但，但第五节第五节 物理方程物理方程
24、2.2.平面应变问题物理方程：平面应变问题物理方程：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程 平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：第五节第五节 物理方程物理方程3.3.两类平面问题物理方程的转换：两类平面问题物理方程的转换：应用了应用了理想弹性体的四个假设理想弹性体的四个假设或者说物理方程
25、适用于或者说物理方程适用于理想弹性体理想弹性体合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题课堂作业：1。平面应力问题中，是否为0，为什么？2。平面应变问题中，是否为0，为什么？试从物理意义或物理方程解释下列两个问题：课后作业：P31:2-1,2-2,2-3,2-4,2-7合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析由微元体平衡：由微元体平衡：整理得：整理得：求：斜面求：斜面AB上的应力上的应力当当AB趋近于趋近于P点（极限状态），点（极限状态），p
26、xyOdxdydsPABfxfy斜面外法线斜面外法线 n 的方向余弦：的方向余弦：1.1.斜面上的应力：斜面上的应力：平面问题的独立应力分量：平面问题的独立应力分量：已知：已知：第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定一点的应力状态合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析整理得：整理得：同理：同理：斜面上应力在斜面上应力在 X,Y轴上应力分量：轴上应力分量：斜面上正应力，切应力：斜面上正应力，切应力：.(1).(2)将（将（1）式代入（）式代入（2）式：）式：xyOdxdydsPABp经过一点任一斜面经过一点任一斜面上应力分量与已知上应力分量与已知应力分量的关系应力分量的关系第六节第
27、六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析（1 1）一点的主应力：一点的主应力：若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力，则该斜面上的正应力 称为该点一个称为该点一个主应力主应力 xyOdxdydsPAB当当 时，有时，有则：则：代入（代入（1）式，得：）式，得：第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定2.2.一点的主应力与应力主向：一点的主应力与应力主向：平面应力状态平面应力状态应力第一不变量应力第一不变量合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析应力主面应力主面-主应力所在的面；主应力所在的面；应力主向应力主向-应力主面的法线方向。应力
28、主面的法线方向。令令:应力主向方向余弦为应力主向方向余弦为：为为 与与x轴正向夹角。轴正向夹角。令令:应力主向方向余弦为：应力主向方向余弦为：为为 与与x轴正向夹角。轴正向夹角。第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定（2）一点的应力主向：一点的应力主向：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析结论结论:任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 互相垂直的主应力互相垂直的主应力1 、21 与与 2 互相垂直。互相垂直。表明：表明：第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定（3）最大、最小正
29、应力、切应力最大、最小正应力、切应力dxdydsPABnxyOp由：由：令：令：则则时：时：结论结论:正应力最大、最小值即为主应力：正应力最大、最小值即为主应力：1 、2合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析由：由：显然，当显然，当时，时，为最大、最小值：为最大、最小值：由由得，得，的方向与的方向与 或或 成成45第六节第六节 一点的应力状态确定一点的应力状态确定合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第七节第七节 边界条件边界条件合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡微分方程：）平衡微分方程：（2）几何方程：）几何方程：8
30、个个未知量数：未知量数：方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。（3）物理方程）物理方程第七节第七节 边界条件边界条件合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析2.边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOP边界分类边界分类:（1）位移边界）位移边界（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界（1）位移边界条件）位移边界条件 平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说明：说明：称为固
31、定位移边界。称为固定位移边界。（位移已知的边界）（位移已知的边界）（给定面力的边界）（给定面力的边界）同一物体：同一物体：物体上同一边界物体上同一边界:令：位移分量的边界值为令：位移分量的边界值为给定了的已知约束位移分量为给定了的已知约束位移分量为第七节第七节 边界条件边界条件合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析（2）应力边界条件）应力边界条件上式中取：上式中取：得到：得到：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。轴的方向余弦。平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件设：给定已知的面力分量为设：给定已知的面力分量为边界
32、上应力分量为边界上应力分量为xyOdxdydsPABfxfyp第七节第七节 边界条件边界条件xyOdxdydsPABfxfy合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例例:写出图中各面上应力边界条件表达式写出图中各面上应力边界条件表达式abcd(负x面)：(正x面)：(负y面)：(正y面)：xyO第七节第七节 边界条件边界条件解：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条
33、件，另一为应力边界条件。一为应力边界条件。图图(a)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件第七节第七节 边界条件边界条件合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第八节第八节 圣维南原理圣维南原理合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析（1）平衡微分方程：）平衡微分方程：（2）几何方程：）几何方程：（3）物理方程）物理方程第七节第七节 边界条件边界条件（4）边界条件：）边界条件：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析问题的提出：问题的提出：边界条件难以满足！边界条件难以满足！1.1.静力等效概念静力等效概念 两个力系，
34、若它们的主矢量、主矩相两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为等，则两个力系为静力等效力系静力等效力系。这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。全正确，但对变形体而言一般是不等效的。第八节第八节 圣维南原理圣维南原理合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析2.2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)若把物体的若把物体的一小部分边界上一小部分边界上的外力用一个的外力用一个静力等效静力等效力系力系所替代，那么只导致所替代，那么只导致近处局部应力的改变近处局部应力的改变，
35、而在距，而在距离作用点离作用点远处远处，其影响可，其影响可忽略不计忽略不计PP第八节第八节 圣维南原理圣维南原理表述一：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析表述二：表述二：如果物体一小部分边界上作用一如果物体一小部分边界上作用一平衡力系平衡力系，则此平，则此平衡力系在物体内部产生的应力分布，仅局限于该力系作衡力系在物体内部产生的应力分布，仅局限于该力系作用的用的局部区域局部区域，在，在远处远处产生的应力可产生的应力可忽略不计忽略不计第八节第八节 圣维南原理圣维南原理表述二：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析3.3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1)(1)严格边界条件严格边界条件(
36、2)应用圣维南原理：使应用圣维南原理：使应力的主矢和主矩应力的主矢和主矩分别等于对应的分别等于对应的面力主矢与主矩面力主矢与主矩.(a).(b)第八节第八节 圣维南原理圣维南原理注意：注意：(a)(a)式精确，（式精确，（b b）式近似；）式近似；(a)(a)式为两个函数方程，（式为两个函数方程，（b b）式为三个代数方程；）式为三个代数方程；(a)(a)难以满足，（难以满足，（b b）式容易满足；）式容易满足；（b b）式小边界可用，大边界不可用。）式小边界可用，大边界不可用。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例例1如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(
37、1)(2)(3)(4)第八节第八节 圣维南原理圣维南原理合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例例2 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。件。左侧面：左侧面：右侧面：右侧面：上端面：上端面：为小边界，可由圣维南原理求解。为小边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：应按正向假设！应按正向假设！第八节第八节 圣维南原理圣维南原理合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析xy上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：应按正向假设！应按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，第八节第八节 圣维南原理圣维南原理合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析 图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作方向受均匀拉力作用，用，1=2。N1与与N2分别为分别为AC同和同和AB面面的外法线方向。的外法线方向。证明在板中间突出部分证明在板中间突出部分的尖点的尖点A处无应力存在。处无应力存在。课堂作业：课后作业：课后作业：P.31 习题：习题：2-8，2-9,2-10,2-11,2-12