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1、事故树习题课一、顶上事件发生的概率一、顶上事件发生的概率1如如果果事事故故树树中中不不含含有有重重复复的的或或相相同同的的基基本本事事件件，各各基基本本事事件件又又都都是是相相互互独独立立的的，顶顶上上事事件件发发生生的的概概率率可可根根据据事事故故树树的的结结构构，用用下下列列公公式式求得。求得。用用“与门与门”连接的顶事件的发生概率为：连接的顶事件的发生概率为：用用“或门或门”连接的顶事件的发生概率为：连接的顶事件的发生概率为：式中：式中：qi第第i个基本事件的发生概率（个基本事件的发生概率（i=1，2，n）。）。例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X
2、2，E2=X2，X3，X4。已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.5；q2=0.2；q3=0.5；q4=0.5；求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？2但但当当事事故故树树含含有有重重复复出出现现的的基基本本事事件件时时，或或基基本本事事件件可可能能在在几几个个最最小小割割集集中中重重复复出出现现时时，最最小小割割集集之之间间是是相相交交的的，这这时时，应按以下几种方法计算。应按以下几种方法计算。最小割集法最小割集法事事故故树树可可以以用用其其最最小小割割集集的的等等效效树树来来表表示示。这这时，顶上事件等于最小割集的并集。时，顶上事件等于最小割集的并集。设设某某
3、事事故故树树有有K个个最最小小割割集集：E1、E2、Er、Ek，则有：，则有：顶上事件发生概率为：顶上事件发生概率为：化简，顶上事件的发生概率为：化简，顶上事件的发生概率为：式中：式中：r、s、k最小割集的序号，最小割集的序号，rsk；i 基本事件的序号，基本事件的序号，1rskk个最小割集中第个最小割集中第r、s两个割集的组合两个割集的组合顺序；顺序；属于第属于第r个最小割集的第个最小割集的第i个基本事件；个基本事件；属于第属于第r个或第个或第s个最小割集的第个最小割集的第i个基本个基本事件。事件。在第三项第三项“加上每三个最小割集同时发生的概率”（将每三个最小割集并集的基本事件的概率积 相
4、加）；以此类推，加减号交替，直到最后一项“计算所有最小割集同时发生的概率”公式中的第一项第一项“求各最小割集E的发生概率的和”（将各最小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况，因此，在第二项第二项中“减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每两个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计算的情况，例如：某事故树共有例如：某事故树共有3个最小割集：个最小割集：试用最试用最小割集法计算顶事件的发生的概率。小割集法计算顶事件的发生的概率。E1=X1，X2，X3，E2=X1，X4E3=X3，X5已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.01；q2=0.02；
5、q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？E1=X1，X2，X3，E2=X1，X4E3=X3，X51、列出顶上事件、列出顶上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中、展开，消除每个概率积中的重复的概率因子的重复的概率因子qi qi=qi3、将各基本事件的概率值带、将各基本事件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，计算顶上事件的发生概率如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事件，可省略第件，可省略第2步步最小径集法最小径集法根根据据最最小小径径集集与与最最小小割割集集的的对对偶偶性性，利利
6、用用最最小小径径集集同同样样可可求求出出顶顶事事件件发发生生的的概概率。率。设设某某事事故故树树有有k个个最最小小径径集集：P1、P2、Pr、Pk。用用Dr（r=1，2，k）表表示示最最小小径径集集不不发发生生的的事事件件，用用表表示示顶顶上事件不发生。上事件不发生。由由最最小小径径集集定定义义可可知知，只只要要k个个最最小小径径集集中中有有一一个个不不发发生生，顶顶事事件件就就不不会会发发生生，则：则：故顶上事件发生的概率：故顶上事件发生的概率：式中：Pr最小径集（最小径集（r=1，2，k）；）；r、s最小径集的序数，最小径集的序数，rs；k最小径集数；最小径集数；（1-qr）第第i个基本事
7、件不发生的概率；个基本事件不发生的概率；属于第属于第r个最小径集的第个最小径集的第i个基本事件；个基本事件；属于第属于第r个或第个或第s个最小径集的第个最小径集的第i个个基本事件基本事件第一项“减去各最小径集P实现的概率的和”（将各最小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重复计算的情况，因此，第二项“加上每两个最小径集同时实现的概率”（将每两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相加）；还有重复计算的情况，第三项“减去每三个最小径集同时实现的概率”（将每三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积 相加）；以此类推，加减号交替，直到最后一项“计算所有最小径集同时实现的概率”例如：某事
8、故树共有例如：某事故树共有4个最小径集，个最小径集，P1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P4=X2，X4，X5已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05试用试用最小径集法最小径集法求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？P1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P4=X2，X4，X50.0019048721、列出定上事件、列出定上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中的重、展开，消除每个概率积中的重复的概率因子复的概率因子(1-qi)(1-qi)=1
9、-qi3、将各基本事件的概率值带、将各基本事件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，计算顶上事件的发生概率如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事件，可省略第件，可省略第2步步例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小径集：个最小径集：P1=X1，X2，P2=X2，X3。已知各基本事件发生的概率为：。已知各基本事件发生的概率为：q1=0.5；q2=0.2；q3=0.5；求顶上事件发生概率？；求顶上事件发生概率？二、基本事件的概率重要度二、基本事件的概率重要度基基本本事事件件的的重重要要度度：一一个个基基本本事事件件对对顶顶上上事事件件发发生的影响大小
10、。生的影响大小。基基本本事事件件的的结结构构重重要要度度分分析析只只是是按按事事故故树树的的结结构构分分析析各各基基本本事事件件对对顶顶事事件件的的影影响响程程度度，所所以以，还还应应考考虑虑各各基基本本事事件件发发生生概概率率对对顶顶事事件件发发生生概概率率的的影响，即对事故树进行影响，即对事故树进行概率重要度分析概率重要度分析。事事故故树树的的概概率率重重要要度度分分析析是是依依靠靠各各基基本本事事件件的的概概率率重重要要度度系系数数大大小小进进行行定定量量分分析析。所所谓谓概概率率重重要要度度分分析析，它它表表示示第第i个个基基本本事事件件发发生生的的概概率率的变化引起的变化引起顶事件顶
11、事件发生概率变化的程度。发生概率变化的程度。由由于于顶顶上上事事件件发发生生概概率率函函数数是是n个个基基本本事事件件发发生生概概率率的的多多重重线线性性函函数数,对对自自变变量量qi求求一一次次偏偏导导，即可得到该基本事件的概率重要度系数。即可得到该基本事件的概率重要度系数。xi基本事件的基本事件的概率重要度系数概率重要度系数：式中：式中：P（T）顶事件发生的概率；顶事件发生的概率；qi第第i个基本事件的发生概率。个基本事件的发生概率。利用上式求出利用上式求出各基本事件各基本事件的概率重要度系数，的概率重要度系数，可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效
12、地降低顶上事件的发生概率。降低顶上事件的发生概率。例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3。已知各基本事件发生的概率为：。已知各基本事件发生的概率为：q1=0.4；q2=0.2；q3=0.3；排列各基本事件的概率重要度，；排列各基本事件的概率重要度，四、基本事件的四、基本事件的临界重要度（关键重要度）临界重要度（关键重要度）一一般般当当各各qi不不等等时时，改改变变qi大大的的Xi较较容容易易，但但概率重要度系数概率重要度系数并未反映并未反映qi变化。变化。考考虑虑从从本本质质上上反反映映Xi在在事事故故树树中中的的重重要要程程度度。临临
13、界界重重要要度度分分析析，它它表表示示第第i个个基基本本事事件件发发生生概概率率的的变变化化率率引引起起顶顶事事件件概概率率的的变变化率化率；相相比比概概率率重重要要度度，临临界界重重要要度度更更合合理理更更具有实际意义。具有实际意义。基本事件的基本事件的临界重要度临界重要度（关键重要度）：（关键重要度）：式中：式中：第第i个基本事件的个基本事件的临界重要度临界重要度；第第i个基本事件的概率重要度；个基本事件的概率重要度；P(T)顶事件发生的概率；顶事件发生的概率；qi第第i个基本事件发生概率。个基本事件发生概率。例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3。已知各基本事件发生的概率为：。已知各基本事件发生的概率为：q1=0.4；q2=0.2；q3=0.3；排列各基本事件的；排列各基本事件的临界重要度临界重要度，