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1、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能二、二、线性规划的图解法线性规划的图解法 解的几何表示解的几何表示 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1什么是图解法？什么是图解法？线线性性规规划划的的图图解解法法就就是是用用几几何何作作图图的的方法方法分析并求出其最优解分析并求出其最优解的过程。的过程。求求解解的的思思路路是是：先先将将约约束束条条件件加加以以图图解解，求求得得满满足足约约束束条条件件的的解解的的集集合合（即即可可行行域域），然然后后结结合合
2、目目标标函函数数的的要要求求从从可可行行域中找出最优解。域中找出最优解。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.图解法举例图解法举例 实施图解法，以求出实施图解法，以求出最优最优生产计划生产计划（最优解最优解）。例例11为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 由于线性规划模型中只有两个决策变量，因由于线性规划模型中只有两个决策变量，因此只需建立平面直角坐标系就可进行图解了。此只需建立平面直角坐标系就可进行图解了。第第第第一一一一步步步步：建建立立平平
3、面面直直角角坐坐标标系系，标标出出坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点,坐标轴的指向坐标轴的指向坐标轴的指向坐标轴的指向和和单位长度单位长度单位长度单位长度。用用x1轴轴表表示示产产品品A的的产产量量，用用x2轴轴表表示示产产品品B的产量。的产量。第二步：第二步：第二步：第二步：对约束条件加以图解。对约束条件加以图解。第三步：第三步：第三步：第三步：画出目标函数等值线，结合目标画出目标函数等值线，结合目标函数的要求求出最优解最优生产方案。函数的要求求出最优解最优生产方案。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 约束条件的图解约
4、束条件的图解:每一个约束不等式在平面直角坐标系中都每一个约束不等式在平面直角坐标系中都代表一个半平面，只要代表一个半平面，只要先画出该半平面的边先画出该半平面的边先画出该半平面的边先画出该半平面的边界界界界，然后，然后确定是哪个半平面确定是哪个半平面确定是哪个半平面确定是哪个半平面。?以第一个约束条件以第一个约束条件 1/3 x1+1/3 x2 1 为例为例 说明约束条件的图解过程。说明约束条件的图解过程。怎么画边界怎么画边界怎么画边界怎么画边界 怎么确定怎么确定怎么确定怎么确定 半平面半平面半平面半平面为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥
5、中小学图书室育人功能 如如果果全全部部的的劳劳动动工工时时都都用用来来生生产产A 产产品品而而不不生生产产B产产品品，那那么么A产产品品的的最最大大可可能能产产量量为为3吨吨，计计算算过过程为：程为：1/3x1+1/30 1 x1 3 这这个个结结果果对对应应着着右右图图中中的的点点A(3,0),同同样样我我们们可可以以找找到到B产产品品最最大大可可能能产产量量对对应应的的点点B(0,3)。连连接接A、B两点得到约束两点得到约束 1/3 x1+1/3 x2 1 所代表的半平面所代表的半平面 的边界的边界:1/3 x1+1/3 x2 1，即直线即直线AB。12345678912345(1/3)x
6、1+(4/3)x2=3(1/3)x1+(1/3)x2=1l1l2最优点ABCDEX1X20为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能象限象限象限象限象限象限象限象限如何确定是哪如何确定是哪个半平面？个半平面？为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 两个约束条件两个约束条件及非负条件及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分所代表的公共部分图中黄色区域，就是满足所有约束条图中黄色区域，就是满足所有约束条件和非负条件的点的集合，即件和非负条件的点的集合，即可行域
7、可行域。在。在这个区域中的每一个点都对应着一个可行这个区域中的每一个点都对应着一个可行的生产方案。的生产方案。第第二二个个约约束束条条件件的边界的边界 直线直线CD:1/3x1+4/3 x2=312345678912345(1/3)x1+(4/3)x2=3(1/3)x1+(1/3)x2=1l1l2最优点ABCDEX1X20为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 令令 Z=2x1+3x2=c,其其中中c c为为为为任任任任选选选选的的的的一一一一个个个个常常常常数数数数，在在图图中中画画出出直直线线 2x1+3x2=c,这这
8、条条直直线线上上的的点点即即对对应应着着一一个个可可行的生产方案，即使两种产品的总利润达到行的生产方案，即使两种产品的总利润达到c。这这样样的的直直线线有有无无数数条条，而而且且相相互互平平行行，称称这这样样的的直直线线为为目目目目标标标标函函函函数数数数等等等等值值值值线线线线。只只只只要要要要画画出出两两两两条条条条目目目目标标标标函函函函数数数数等等等等值值值值线线线线，比如令比如令c0和和c=6，就能看出，就能看出 目标函数值递增的方向目标函数值递增的方向目标函数值递增的方向目标函数值递增的方向，用用箭头标出箭头标出箭头标出箭头标出这个方向。这个方向。图中两条虚线图中两条虚线 l1和和
9、l2就就分别代表分别代表 目标函数等值线目标函数等值线 2x1+3x2=0 和和 2x1+3x2=6,箭头表示使两种产品的总利润递增的方向。箭头表示使两种产品的总利润递增的方向。12345678912345(1/3)x1+(4/3)x2=3(1/3)x1+(1/3)x2=1l1l2最优点ABCDEX1X20为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 沿着箭头沿着箭头沿着箭头沿着箭头的方向的方向平移平移平移平移目标函数等值线，使其目标函数等值线，使其达到达到达到达到可行域中的最远点可行域中的最远点可行域中的最远点可行域中的最远点
10、E E,E点就是要求的最优点，它对应点就是要求的最优点，它对应的相应坐标的相应坐标 x1=1,x2=2 就是最有利的产品组合，即生就是最有利的产品组合，即生产产A产品产品1吨，吨，B产品产品2吨能使两种产品的总利润达到最吨能使两种产品的总利润达到最大值大值 Zmax=2 1+3 2=8（千元），（千元），x x1 1=1,x=1,x2 2=2=2就是线就是线性规划模型的性规划模型的最优解最优解最优解最优解，Zmax=8Zmax=8就是相应的目标函数就是相应的目标函数就是相应的目标函数就是相应的目标函数最优值最优值最优值最优值。12345678912345(1/3)x1+(4/3)x2=3(1/
11、3)x1+(1/3)x2=1l1l2最优点ABCDEX1X20为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 尽尽尽尽管管管管最最最最优优优优点点点点的的的的对对对对应应应应坐坐坐坐标标标标可可可可以以以以直直直直接接接接从从从从图图图图中中中中给给给给出出出出，但但但但是是是是在在在在大大大大多多多多数数数数情情情情况况况况下下下下，对对对对实实实实际际际际问问问问题题题题精精精精确确确确地地地地看看看看出出出出一一一一个个个个解解解解答答答答是是是是比比比比较较较较困困困困难难难难的的的的。所所所所以以以以，通通通通常常常常总
12、总总总是是是是用用用用解解解解联联联联立立立立方方方方程程程程的的的的方方方方法法法法求求求求出出出出最最最最优优优优解解解解的的的的精精精精确值。确值。确值。确值。比比比比如如如如E E点点点点对对对对应应应应的的的的坐坐坐坐标标标标值值值值我我我我们们们们可可可可以以以以通通通通过过过过求求求求解解解解下下下下面面面面的的的的联联联联立立立立方方方方程程程程，即即即即求求求求直直直直线线线线ABAB和和和和CDCD的的的的交交交交点来求得。点来求得。点来求得。点来求得。直线直线直线直线AB:1/3xAB:1/3x1 1+1/3x+1/3x2 2=1=1 直线直线直线直线CD:1/3xCD:
13、1/3x1 1+4/3x+4/3x2 2=3=3为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 5 4 3 2 1x2（3，0）C=6（9，0）（0，9/4）E E（1 1，2 2）C=0（0，3）为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例1-2 用图解法求解下面的用图解法求解下面的线性规划问题：线性规划问题：复习直线方程：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中
14、小学图书室育人功能12345643215OX2X1X1-x2=2-x1+2x2=2x1+x2=4BCFADZ=0Z=10Z=14为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能对偶规划对偶规划 顺便提及，每一个线性规划都有一个顺便提及，每一个线性规划都有一个“影像影像”（一个伴生的线性规划），称之为线性规划的（一个伴生的线性规划），称之为线性规划的对对对对偶规划偶规划偶规划偶规划。当建立一个线性规划并达到最优目标值时，。当建立一个线性规划并达到最优目标值时，同时也就解出了对偶规划并达到了另一个不同意义同时也就解出了对偶规划并达到了另
15、一个不同意义的目标。的目标。如例如例1-1是寻求一个生产计划方案，使得在劳动是寻求一个生产计划方案，使得在劳动力和原材料可能供应的范围内，产品的总利润最大，力和原材料可能供应的范围内，产品的总利润最大，它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最具力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力。有竞争力。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例1-1的对偶规划如下的对偶规划如下：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九
16、大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 它它的的图图解解见见右右图图。其其中中L1和和L2分分别别为为两两个个约约束束半半平平面面的的边边界界，虚虚线线为为目目标标函函数数等等值值线线，可可行行域域为为图图中中阴阴影影部部分分，沿沿着着与与箭箭头头（目目标标函函数数值值递递减减的的方方向向）的方向的方向平移目标函数等值线平移目标函数等值线（注意：对偶规划中（注意：对偶规划中 要求对目标函数极小化）要求对目标函数极小化）得得最优点为最优点为最优点为最优点为E E,其其对应坐标为对应坐标为对应坐标为对应坐标为 y y1 1=5,y=5,y2 2=1=1 Wmin=5+31=83
17、(1/3)y1+(4/3)y2=3(1/3)y1+(1/3)y2=2ECDAB1234567891245最优点y1y20L2L1为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 其其经经济济意意义义：对对包包工工工工时时及及原原材材料料的的单单位位定定价价（影影子子价价格格），若若工工厂厂自自己己不不生生产产产产品品A和和B，将将现现有有的的工工时时及及原原材材料料转转而而接接受受外外来来加加工工时时，那那么么上上述述的的价价格格系系统统能能保保证证不不亏亏本本又又最最富富有有竞竞争争力力（包包工工及及原原材材料料的的总总价价格格最
18、最低低）。可可以以看看到到，当当原原问问题题和和对对偶偶问问题题都都取取得得最最优优解解时时，这这对对线线性性规划对应的目标函数值是相等的：规划对应的目标函数值是相等的：Zmax=Wmin=8 考考察察原原问问题题和和对对偶偶问问题题的的解解，给给做做决决策策的的管管理理者者另另一一个个自自由由度度，比比如如除除了了研研究究怎怎样样利利用用已已有有的的资资源源以以取取得得最最大大利利润润的的同同时时，还还可可以以进进一一步步探探讨讨怎怎样样通通过过增增加加更更多多的的资资源源或或使使用用不不同同类类型型的的资资源来增加利润源来增加利润。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神
19、,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能将例将例1-1稍作改动形成案例稍作改动形成案例1，仍使用图解法来求解。，仍使用图解法来求解。（案例（案例（案例（案例1 1）某工厂生产）某工厂生产）某工厂生产）某工厂生产A A、B B、C C三种产品，三种产品，三种产品，三种产品，每吨的利润分别为每吨的利润分别为每吨的利润分别为每吨的利润分别为20002000元、元、元、元、30003000元、元、元、元、10001000元，元，元，元，生产单位产品所需的工时及原材料如表生产单位产品所需的工时及原材料如表生产单位产品所需的工时及原材料如表生产单位产品所需的工时及原材料如表1 12 2所所所所
20、示。若供应的原材料每天不超过示。若供应的原材料每天不超过示。若供应的原材料每天不超过示。若供应的原材料每天不超过3 3吨，所能利吨，所能利吨，所能利吨，所能利用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生产计划，使三种产品的总利润最大？产计划，使三种产品的总利润最大？产计划，使三种产品的总利润最大？产计划，使三种产品的总利润最大？为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 设三种产品的产量分别是设三种产品的产量分别
21、是x1、x2、x3吨，由于有三个决策变量，用图解吨，由于有三个决策变量，用图解法求解下面的线性规划时，必须首先法求解下面的线性规划时，必须首先建立空间直角坐标系。建立空间直角坐标系。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 B点对应着该线性规划的最优解：点对应着该线性规划的最优解：X*=(1,2,0)T 即即 x1=1（产品（产品A的产量）的产量）x2=2（产品（产品B的产量）的产量）x3=0（产品（产品C的产量）的
22、产量）此时可得产品最大总利润为：此时可得产品最大总利润为：Zmax=8 由右图可知，可行域为凸五面体由右图可知，可行域为凸五面体OABCDE,粗虚线所围平面为目标函数等值面，粗虚线所围平面为目标函数等值面，平移目标函数等值面得最优点为平移目标函数等值面得最优点为B点点。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能结结 论论 从从上上面面用用图图解解法法求求解解案案例例1的的过过程程中中明明显显感感觉觉到到对对具具有有三三个个决决策策变变量量的的线线性性规规划划进进行行图图解解就就麻麻烦烦得得多多了了。因因此此，尽尽管管图图解解法
23、法具具有有简简单单、直直观观的的优优点点，但但它它的的使使用用是是有有局局限限性性的的，对对仅仅含含有有两两个个至至多多不不超超过过三三个个决决策策变变量量的的线线性性规规划划才才适适于于使使用用图图解解法法，大大多多数数情情况况下下仅仅对对含含有有两两个个决决策策变变量量的的线线性性规规划划才才使使用用图图解解法法求求解解，而而对对含含有有三三个个及及三三个个以以上上决决策策变变量量的的线线性性规规划划则则应应考考虑虑使使用用更更加加有有效效的的通通用用算算法法单单纯纯形形法法来来进进行行求求解解，这这将将在在1-3节加以介绍。节加以介绍。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九
24、大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 例例1-1和和案案例例1所所描描述述的的都都是是有有唯唯一一最最优优解解且且可可行行域域是是一一个个非非空空有有界界区区域域的的情情况况。实实际际上上，可可行行域域不不仅仅仅仅只只有有这这一一种种可可能能，解解的的情况也是各种各样的。情况也是各种各样的。讨论讨论用图解法求解线性规划的各种可能的结果用图解法求解线性规划的各种可能的结果为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 无穷多个最优解无穷多个最优解(1/3)X1+(4/3)X2=3(1/3)X1+(1/3)X2=
25、1ABCD12345678912345X1X20为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 该该线线性性规规划划的的可可行行域域为为上上图图中中四四边边形形OAED（即即阴阴影影区区），虚虚线线为为目目标标函函数数等等值值线线，箭箭头头为为目目标标函函数数值值递递增增的的方方向向。沿沿着着箭箭头头的的方方向向平平移移目目标标函函数数等等值值线线，发发现现平平移移的的最最终终结结果果是是目目标标函函数数等等值值线线将将与与可可行行域域的的一一条条边边界界线线段段AE重重合合，这这个个结结果果表表明明，该该线线性性规规划划有有无无
26、穷穷多多个个最最优优解解线线段段AE上上的的所所有有点点都都是是最最优优点点，它它们们都都使使目目标标函函数数取取得得相相同的最大值同的最大值Zmax=3。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能唯一最优解唯一最优解 例例1-3 将例将例1-1中目标要求中目标要求改为极小化改为极小化，目标函数和约束条件均不变，则可行域与目标函数和约束条件均不变，则可行域与例例1-1相相同，目标函数等值线也完全相同，同，目标函数等值线也完全相同，只是在只是在求最优解求最优解时，应沿着时，应沿着与箭头相反的与箭头相反的方向方向平移平移目标函数等
27、值线目标函数等值线，求得的结果是，求得的结果是有有唯一最优解唯一最优解x1=0,x2=0,对应着图对应着图1-6中的中的坐标原点。坐标原点。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能无界解无界解-2X1+X2=1AB12345612345X1X20为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 本例中的可行域是一个无界区域，本例中的可行域是一个无界区域，如图中阴影区所示。虚线为目函数如图中阴影区所示。虚线为目函数 等值线，沿着箭头所指的方向平移可等值线，沿着箭头所
28、指的方向平移可 以使目标函数值无限制地增大，因此以使目标函数值无限制地增大，因此 找不到最优解。这种情况通常称为找不到最优解。这种情况通常称为无无无无“有限最优解有限最优解有限最优解有限最优解”或或或或“最最最最优优优优解解解解无无无无界界界界”。如如果果一一个个实实际际问问题题抽抽象象成成像像例例14这这样样的的线线性性规规划划模模型型，比比如如是是一一个个生生产产计计划划问问题题，其其经经济济含含义义就就是是某某些些资资源源是是无无限限的的，产产品品的的产产量量可可以以无无限限大大，解解释释不不合合理理。此此时应重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。时应重新检查和修改模型，否则就没有实际
29、意义。注注意意，对对对对于于于于无无无无界界界界可可可可行行行行域域域域的的的的情情情情况况况况，也也也也可可可可能能能能有有有有唯唯唯唯一一一一最最最最优优优优解解解解或或或或无无无无穷穷穷穷多个最优解多个最优解多个最优解多个最优解。比如目标要求为。比如目标要求为minZ=x1+2x2或或 maxZ=2x1+x2，而约束条件不变的例子。而约束条件不变的例子。x1x2为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 综上，用图解法求解线性规划时，综上，用图解法求解线性规划时，各种各种求解结果与各种类型的可行域之间的对应求解结果与各种
30、类型的可行域之间的对应关系关系可以用下图加以描述：可以用下图加以描述：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能用图解法求解下面的线性规划用图解法求解下面的线性规划 画画约约束束条条件件1,2；画画约约束束条条件件3并并标标明明可可行行域域；画画目目标标函函数数等等值值线线；说说明明如如何何得得到到最最优优解解,算算出出相相应应的的目目标函数最优值。标函数最优值。课堂练习课堂练习1-3为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(2,2)1 2 3 4 5 x1
31、X2 543210C=2C=10为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能a,b,c d,e 4、用图解法求解线性规划时需特别注意：、用图解法求解线性规划时需特别注意：第第一一、线线性性规规划划的的可可行行域域一一定定是是凸凸多多边边形形或或凸凸多多面面体体，所所以以下下图图中中 所所示示阴阴影影区区不不可可能能是是某某个个线线性性规规划划的的可可行行域域，而而 所示阴影区则有可能。所示阴影区则有可能。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能第二、第二、目标
32、函数目标函数 Z=ax1+bx2的值递增的方的值递增的方向与系数向与系数a、b有关有关 下图表示目标函数值递增方向与其系数下图表示目标函数值递增方向与其系数a、b的关系，其中箭头所指为目标函数值的关系，其中箭头所指为目标函数值递增的方向。递增的方向。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能图解法小结图解法小结 v使使用用条条件件：仅仅有有两两个个至至多多不不超超过过三三个个决决策策变变量的线性规划。量的线性规划。v基本步骤基本步骤：Z第一步第一步建立平面直角坐标系；建立平面直角坐标系；Z第二步第二步根据约束条件和非负条件画出可行域。根据约束条件和非负条件画出可行域。Z第第三三步步作作出出目目标标函函数数等等值值线线（至至少少两两条条），结结合合目目标标函函数数优优化化要要求求，平平移移目目标标函函数数等等值值线线求求出最优解。出最优解。v图解法的优缺点图解法的优缺点：简单、直观但有局限性。简单、直观但有局限性。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 第一次作业第一次作业 P47 习题习题1：4(1)；5(2);交作业时间：下周四交作业时间：下周四 (根据以往作业情况，可免根据以往作业情况，可免)