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1、信用风险度量第六章信用风险度量第六章KMVKMV模型模型第六章第六章 KMV模型模型期权理论期权理论KMV模型建模的基本思想模型建模的基本思想KMV模型的理论框架及计算步骤模型的理论框架及计算步骤知识结构图2023/1/173KMV模型模型期期权权理理论论KMV模型的理模型的理论论框架及框架及计计算算步步骤骤KMV模型建模模型建模的基本思想的基本思想期期权权的定的定义义及构成要素及构成要素期期权发权发展展历历史史简简介介期期权权交易盈交易盈亏亏分析分析期期权权的定价的定价KMV模型的理模型的理论论框架框架期期权权定价定价理理论论KMV模型的模型的计计算算步步骤骤理理论违约论违约概率概率的的计计
2、算算修正修正违约违约概率概率的的计计算算期权（Option）是一种选择权。现代金融市场上，期权是一种合约，它规定合约的持有人在未来的确定时间，按确定价格，有权向该合约的出售方购买（或出售）一定数量和质量的原生资产，但该持有人不承担必须履行该合约的义务。期权的种类有很多，常见的一种分类为看涨期权与看跌期权。看涨期权（CallOptions）是指在期权合约的有效期内，期权的持有人拥有按事先约定的价格向期权出售方买入一定数量的特定商品的权利，但不承担必须买进的义务。而期权出售方有义务在期权规定的有效期内，在期权持有人行权的前提下，以期权合约事先规定的价格卖出特定商品。一、期权的定义及构成要素一、期权
3、的定义及构成要素第一节第一节 期权理论期权理论2023/1/174看跌期权（PutOptions）是指在期权合约的有效期内，期权的持有人按事先约定的价格向期权出售方卖出一定数量的特定商品的权利，但不承担必须卖出的义务。而期权出售方有义务在期权规定的有效期内，在期权持有人行权的前提下，以期权合约事先规定的价格买入特定商品。另外一种常见的分类为欧式期权与美式期权。欧式期权是指期权的持有人只有在期权合约规定的到期日方可行使权利，而在合约到期日之前不能行使权利。美式期权是指在期权合约规定的有效期内期权的持有人在任何时候都可以行使权利。但是，无论是欧式期权还是美式期权，期权到期后，没有任何价值。一、期权
4、的定义及构成要素一、期权的定义及构成要素2023/1/175期权合约主要有三要素：权利金、执行价格和合约到期日。（一）权利金（一）权利金权利金（Premium）又称作期权费、期权金，是期权的价格，是期权的持有人为获得期权所赋予的权利（买权或卖权）而向期权的出售方所支付的费用。欧式看涨、看跌期权的权利金分别用c、p表示，对应的美式看涨看跌期权用C、P表示。（二）执行价格（二）执行价格执行价格是指合约规定的期权持有人行使权利时的买卖价格。执行价格确定后，在期权合约规定的期限内，无论价格怎样波动，只要期权的持有人要求执行该期权，期权的出售方就必须以此价格履行义务。执行价格通常用K表示。（三）合约到期
5、日（三）合约到期日合约到期日是指期权合约可以履行的最后日期，其中欧式期权只有在合约到期日才能选择是否执行期权，美式期权则规定在合约到期日之前的任何一个交易日，持有人均可选择是否执行期权。一、期权的定义及构成要素一、期权的定义及构成要素2023/1/176期权交易起始于十八世纪后期的美国和欧洲市场，但由于制度的原因期权市场发展一直受限，无法迅速吸引更多的参与者。1973年4月6日，由芝加哥期权交易所（CBOE）开始将标准化的期权合约挂牌交易，而且美国商品期货交易委员会逐步放松了对期权交易的限制，此后，期权发展的障碍才彻底被扫清，迎来了繁荣发展的时代。1983年1月，芝加哥商业交易所推出S&P50
6、0股票指数期权，纽约期货交易所也推出了纽约股票交易所股票指数期货期权，随着这些产品的成功，世界各大交易所将期权交易迅速扩展至其它金融期货上。目前，期权交易现在已经遍布全世界，与期货交易一道，各占据着金融衍生品交易的半壁江山。二、期权发展历史简介二、期权发展历史简介2023/1/177三、期权交易盈亏分析三、期权交易盈亏分析2023/1/178（一一）看涨看涨期权持有人与出售方期权持有人与出售方交易者买进看涨期权，若标的资产市场价格上涨，且升至执行价格之上，则持有人方可执行期权从而获利。从理论上说，价格可以无限上涨，所以买入看涨期权的盈利理论上是无限大。若标的资产未升至执行价格之上，则持有人方可
7、放弃行权，其最大损失是起初投入的权利金。交易者卖出看涨期权，与第一种情况相反，若标的资产未升至执行价格之上，此时作为看涨期权持有人将会放弃行权，看涨期权出售方会得到其起初投入的权利金。而在看涨期权持有人要求行权的情况下，期权的出售方将支付标的资产市场价格与执行价格之间的差额，由于资产价格可能无限上涨，看涨期权出售方的损失可能是无限的。若记欧式期权敲定价格为K，到期日为T，标的资产在t时刻的价格为，合约在t时刻的价值为，则到期日欧式看跌期权的价值为：（一）看涨期权持有人与出售方（一）看涨期权持有人与出售方假设现在为1月1日，有一份标的物为铁矿石期货，执行价格为1550美元/吨，次年1月1日到期的
8、欧式看涨期权。A买入期权付出5美元；B卖出期权收入5美元。次年，铁矿石期货价上涨至1605美元/吨，高于执行价格。A此时可以行使权利，即A有权按1550美元/吨的价格从B手中买入铁矿石期货；B在A提出这个行使期权的要求后，必须予以满足，因此A可以以1605美元/吨的市价在期货市场上抛出，获利50美元/吨（1605-1550-5），B则损失50美元/吨（1550-1605+5）。若期货市价低于执行价格1550元/吨，A不行权损失5美元权利金，B则净赚5美元。三、期权交易盈亏分析三、期权交易盈亏分析2023/1/179图图6-1欧式看欧式看涨涨期期权权持有人与持有人与出售方到期收益出售方到期收益图
9、图（一一）看涨看涨期权持有人与出售方期权持有人与出售方若记初始权利金为，欧式看涨期权持有人和出售方到期盈余分别表示如图6-2。对欧式看涨期权的持有人而言，到期最多损失购买期权花费的权利金，而可能的盈利则无限。对欧式看涨期权的出售方而言，到期最多赢利是持有人买期权花费的权利金，而其潜在的损失则无限大。三、期权交易盈亏分析三、期权交易盈亏分析2023/1/1710图图6-2 欧式看涨期权持有人与出售方欧式看涨期权持有人与出售方到期盈余图到期盈余图三、期权交易盈亏分析三、期权交易盈亏分析2023/1/1711（二）看跌期权持有人与出售方（二）看跌期权持有人与出售方交易者买进看跌期权，若标的资产市场价
10、格下跌至执行价格之下，则交易者可行权而获利，由于资产价格非负，所以看跌期权持有人最大盈利为执行价格减去期权费之差。若标的资产未跌至执行价格，则交易者可放弃行权，最大损失为起初投入的权利金。交易者卖出看跌期权，若标的资产未跌至执行价格之下，看跌期权持有人会放弃行权，看跌期权出售方会取得权利金作为收入。反之，看跌期权被执行，看跌期权出售方将支付执行价格与市场价格的差额。若记欧式期权敲定价格为K，到期日为T，标的资产在t时刻的价格为，合约在t时刻的价值为，则到期日欧式看跌期权的价值为：（二）看跌期权持有人与出售方（二）看跌期权持有人与出售方假设现在为1月1日，有一份标的物是铁矿石期货，执行价格为16
11、05美元/吨，次年1月1日到期的欧式看跌期权。A买入期权付出5美元；B卖出期权收入5美元。次年，铁矿石期货价下跌至1550美元/吨，低于执行价格。A此时可以行使权利A有权按1605美元/吨的价格向B卖出铁矿石期货；B必须予以满足，此时，A可以以1550美元/吨的市场价格买入铁矿石期货，再以1605美元/吨的价格卖给B，即可获利50美元/吨（1605-1550-5），B则相应地损失50美元/吨（1550-1605+5）。若期货市价高于执行价格1605元/吨，A放弃行权损失5美元权利金，B则净赚5美元。三、期权交易盈亏分析三、期权交易盈亏分析2023/1/1712图图6-3欧式看跌期欧式看跌期权权
12、持有人与持有人与出售方到期收益出售方到期收益图图（二）看跌期权持有人与出售方（二）看跌期权持有人与出售方若记初始权利金为，欧式看跌期权持有人和出售方到期盈余分别表示如图6-4。对欧式看跌期权的持有人而言，到期最多损失购买期权花费的权利金，而可能的最大盈利是对欧式看跌期权的出售方而言，到期最多赢利是持有人买期权花费的权利金，而其潜在的最大损失为。三、期权交易盈亏分析三、期权交易盈亏分析2023/1/1713图图6-4欧式看跌期欧式看跌期权权持有人与出售方持有人与出售方到期盈余到期盈余图图期权的定价方法主要分为期权解析定价方法和期权数值定价方法两大类。期权解析定价方法始于1973年，美国芝加哥大学
13、教授费雪布莱克（FisherBlack）和梅隆舒尔斯（MyronScholes）发表了期权与公司负债定价一文，提出了著名的布莱克-舒尔斯定价公式，用于计算股票期权价格，在学术界产生巨大影响。随后，罗伯特默顿（RobertMerton）独立地提出了一个相似却更为一般化的模型，后来人们便把这种定价方法称为BSM模型。1997年，舒尔斯和默顿由此获得了当年的诺贝尔经济学奖。期权定价的数值方法，是在无法得到期权价值解析解的情况下，对期权进行定价的方法，主要包括二叉树方法，蒙特卡洛模拟和有限差分方法。四、期权的定价四、期权的定价2023/1/1714KMV公司所发展的违约风险衡模型（CreditMoni
14、torModel是以期权定价理论（TheOptionPriceTheory）为基础建立起来的。该模型用财务报表及资本市场相关资，最终得出预期违约概率（EDF）来度量信用风险。KMV模型的基本思想是：将公司的股东权益看作是对公司资产的看涨期权，该公司的股价为期权价格，公司资产为标的资产，将公司的举债视为股东向债权人买入期权，期权的到期执价格是公司负债的账面价值。到期时，公司资产的市场价值低于负债价值，即标的资产价值低于执行价格，股东将不会从债权人手中买回公司资产，也就是说公司将发生违约的风险。第二节第二节 KMV模型建模的基本思想模型建模的基本思想2023/1/1715假设公司资产价值为A、股东
15、权益为E，负债为OB，如图5-1所示。负债到期时，资产价值OA大于或等于负债OB，此时股东一定会选择去清偿负债而取得公司资产的剩余部分即OA-OB。负债到期时，资产价值OA小于负债OB时，则公司会去选择偿还负债，因此公司就会破产，公司进破产清算后并将剩余资产转手给债权人处。由于现代公司制度规定下，股东具有有限责任，股东的损失会超过期初投入的权利金OC。2023/1/1716盈利=股权价值资产价值A股权价值CCBDO图图6-5KMV模型基本思想模型基本思想对比之前的期权损益图，可以发现公司的股权收益状况和欧式看涨期权持有人的损益状况一致，此时该看涨期权执行价格为B。在时间T后，如果该公司的资产价
16、值大于OB，则该买权得到执行，债务人（持有人）所得收益为OA-OB；否则不行权，期权价值为0，这说明了可将公司的股权看作是以公司资产为标的、执行价格为公司债务的欧式看涨期权。对于债权人而言，可将其视为欧式看涨期权出售方，如果该公司的资产价值大于OB，其最大获益是OC，如果该公司的资产价值小于OB，则损失为OA-OB。在计算公司预期违约概率（EDF）时，公司的资产价值及其波动性成为了最重要的因素。但由于公司资产价值及其波动性是一个抽象的概念，无法直接取得，因此KMV模型借助期权定价公式解决这个问题，反向导出公司资产及其波动性。延伸阅读延伸阅读KMV模型在我国商业银行中信用风险管理中的应用前景20
17、23/1/1717期权定价理论的4个基本假设条件：1.金融交易无摩擦，无交易成本，市场可以卖空；2.存在无风险利率r，且在到期日T前保持不变；3.标的资产的交易连续进行，可交易任何比率的标的资产；4.标的资产的价格变化服从Ito过程，即。在风险中性下，欧式看涨期权在任意t时刻的价格可以表示为：其中，为标的资产在t时刻的价格，为标的资产价格的波动率，K为期权合约的执行价格，T为合约到期日，r为无风险利率，为标准正态累积分布函数。一、一、KMV模型的理论框架模型的理论框架期权定价理论期权定价理论第三节第三节 KMV模型的理论框架及计算步骤模型的理论框架及计算步骤2023/1/1718由于在KMV模
18、型中，股东持有的股权被看作为看涨期权，因此，以股权价值替代期权价值，以公司资产价值代替标的资产价值，以公司负债的账面价值代替执行价格，得到如下的表达式：(6-4)(6-5)(6-6)其中，E为公司股票当前市值；B为公司债务的账面价值；为公司资产价值；为公司资产价值的波动率，为公司债务期限，r为无风险利率，为标准正态累积分布函数。一、一、KMV模型的理论框架模型的理论框架期权定价理论期权定价理论2023/1/1719（一）理论违约概率的计算（一）理论违约概率的计算基于资产价值服从正态分布假设基于资产价值服从正态分布假设当公司资产价值服从正态分布时，KMV模型在期权定价模型的基础上，通过以下3步计
19、算公司的违约概率的理论值。1.第一步：估计当前公司资产价值及其波动率KMV模型以两种方式估计公司资产市场价值及其波动率：（1）通过股东股权与看涨期权的相似性，依照期权定价公式，建立股权价值的表达式：(6-7)（2）企业资产价值波动率与企业股价波动率的函数关系式(6-8)联立式（6-7）和（6-8）得到公司资产价值及其波动率。二、二、KMV模型的计算步骤模型的计算步骤2023/1/1720。资产价值时间违约距离预期违约概率资产价值的概率密度资产预期价值（一）理论违约概率的计算（一）理论违约概率的计算基于资产价值服从正态分布假设基于资产价值服从正态分布假设2.第二步：计算违约距离DD。违约事件通常
20、发生在公司资产价值低于负债总额（视为违约点）时，如果将资产价值与负债之间的距离由资产波动率来衡量并且标准化，可以推出公司的违约距离（见Crosbie，1999）。二、二、KMV模型的计算步骤模型的计算步骤2023/1/1721图图6-6违约违约距离距离说说明明图图违约距离是指公司资产预期价值在风险期限内与违约点（DPT）的相对距离，它是对企业进行评级的合适指标。违约距离越大说明公司资产价值距离违约点越远，即公司的违约概率越小。违约距离DD的公式如下：(6-9)（一）理论违约概率的计算（一）理论违约概率的计算基于资产价值服从正态分布假设基于资产价值服从正态分布假设3.计算违约概率违约概率即公司资
21、产价值低于负债总额的概率，可以表示为：(6-10)其中，为时刻 的违约概率，为公司资产价值，是负债的账面价值。又有：(6-11)其中，为资产的预期报酬率，为服从正态分布的随机误差项。将（6-11）式代入（6-10）式，可得：(6-12)移项整理得：(6-13)根据Crouhy和Galai的假设：，将上式计算出的违约概率称为理论违约概率。将由联立方程解出的和代入即可得到理论违约概率。二、二、KMV模型的计算步骤模型的计算步骤2023/1/1722（二）修正违约概率的计算（二）修正违约概率的计算基于资产价值不服从正态分基于资产价值不服从正态分布的假设布的假设KMV公司于1995年在原有的理论基础上
22、，修正了违约概率的计算，使得资产价值不需满足正态分布假设，由此计算出的违约概率更贴切实际，具有更好的现实意义。修正后的计算过程仍分为三步：1.第一步：估计当前公司资产价值及其波动率在计算公司资产价值及其波动率时，仍采用理论方法，由以下二式联立解出。二、二、KMV模型的计算步骤模型的计算步骤2023/1/1723（二）修正违约概率计算（二）修正违约概率计算基于资产价值不服从正态分布假设基于资产价值不服从正态分布假设2.第二步：根据公司资产现值计算预期价值及违约距离DD。利用资产预期收益和系统风险的关系，根据资产回报的历史数据得到资产预期收益，再由公司资产现值计算出预期价值。修正的KMV模型中违约
23、距离为：(6-14)违约距离DD的值越大，公司资产价值距离违约点的距离越大，公司的违约风险越小。此处的违约点在理论上为公司债务的账面价值，但KMV公司观测表明：当公司违约时，资产价值大约介于总负债与短期负债之间。因此，资产价值低于债务账面价值所计算的违约概率并不能精确反映出公司的预期违约概率EDF。KMV模型取违约点为公司的短期负债（STD）加上长期负债（LTD）的二分之一，即：二、二、KMV模型的计算步骤模型的计算步骤2023/1/1724（二）修正违约概率（二）修正违约概率的计算的计算基于资产价值不服从正态分基于资产价值不服从正态分布布的假设的假设3.第三步：通过违约距离与违约概率的函数对
24、应关系，得到公司的预期违约概率（EDF）KMV公司观察大量违约历史数据，计算得到在某违约距离水平的公司在一定时期内破产的比例，建立起违约距离与违约概率之间的映射关系（见表6-1），从而衡量任一违约距离下公司的违约概率。案例分析案例分析我国上市商业银行信用风险的实证分析DD=1DD=2DD=3DD=4DD=5DD=6企企业总业总数数90001500020000350004000042000违约违约企企业业数数7204502001502817期望期望违约违约概率概率8%3%1%0.43%0.07%0.04%2023/1/1725二、二、KMV模型的计算步骤模型的计算步骤表表6-1违约违约距离与距离与违约违约概率的映射关系表概率的映射关系表