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1、2023年立体几何证明的向量公式和定理证明（最终定稿） 第一篇：立体几何证明的向量公式和定理证明 高考数学专题立体几何 遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。留意考查转化与化归的思想。 立体几何证明的向量公式和定理证明 附表2 其次篇：浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理 浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理 15号 海南华侨中学570206王亚顺 摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在中学数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很简洁证明这些定理。
2、关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何 在中学阶段我们学习了平面对量与空间向量的基本学问，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的学问，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量学问及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。 立体几何是我们中学学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵敏运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在中学人教A版的其次章点、直线、平面之间的位置关系中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探
3、究说明，让学生体会而得到。假如能给出证明，就能够很好地表达定理的严密性，在此可以用向量法来证明。 下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量学问及相关 定理。 定义1rr两个向量a与b的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积 ururrrrrr称为a与b的数量积。记为ab=bcosq。特别地，若非零向量a与 ururrrr b垂直，即ab，则ab=0 定义2 rrrr空间随便两个向量a与b的向量积是一个向量，记为ab rrrrrrrr。它的模为ab=bsinq，其中q为向量a与b之间的或a,brrrrrr夹角，它的方向与a和b都垂直，并且按向量a、b、ab这个依次 构成右手坐标系。如图 1图1
4、定理1两个向量a与b共线的充分必要条件是ab=0。rrrrr 定义3rrrr给定空间的三个向量a、b、g，假如先做前两个向量arrrr与b的向量积ab，再做所得向量与第三个向量g的数量积，最终得 rrrrr 到的这个数叫做三个向量的混合积。记作ab,g或者a,b,g。(r)() 定理2轮换混合积的三个因子，并不变更的它的值，对调任何两个因子要变更混合积的符号，即 (rrrrrrrrrrrrrrrrrr a,b,g=g,a,b=b,g,a=-b,a,g=-g,b,a=-a,g,b。)()()()()() 下面我们用以上的向量学问证明立体几何的几个定理。 直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此
5、平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 已知：如图2，aa,ba,且aPb,证明：aPa。 图2图 3rrr分析：在平面a内找到始终线c，证明a,bc=0即可。() 证明：如图3，在平面a内的直线b上取一点o，过o点作始终 rr线c与直线b交于o点；设直线a、b、c上分别有非零向量a、b、rc。 rrrrrQaPba与b共线即ab=0.rrrrrrrrr 根据定理2，有a,bc=c,ab=0，即a与bc垂直。()() 直线a与平面a的垂线垂直，又直线a在平面a外，aPa。证毕 平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。 已知：如图4，ab,bb,a
6、Ib=P,aPa,bPa,证明：aPb。 图4图 5分析：证明平面b内任一条直线都平面a平行即可。 证明：如图5，设直线m为平面b内任一条直线，在平面a内取两条相交直线c与d，又设直线a、b、c、d、m上分别有非零向 rrrrrrr量a、b、c、d、m。由于a、b是平面内两条不共线的向量，则 rrr由平面对量基本定理可知，m=la+mb。 QaPa,bParrrrrra,cd=b,cd=0 ()() rrrrrrrrrrrrrm,cd=la+mb,cd=la,cd+mb,cd=0 ()()()() 即直线m与平面a平行，又直线m为平面b内任一条直线。 aPb。证毕 直线与平面垂直的判定定理一条
7、直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 已知：如图6，l 证明：la。 a,lb,aa,ba,aIb=P 分析：由线面垂直定义，直线l垂直于平面a内任一条直线。证明：如图7，设直线c为平面a内任一条直线，又设直线a、b、rrrrrrc、l上分别有非零向量a、b、c、l。由于a与b是平面内两个不 rrr共线的向量，由平面对量基本定理，有c=l1a+l2b。 rrrrQla,lbal=bl=0 rrrrrrrrrcl=l1a+l2bl=l1al+l2bl=0 () rrcl即直线l与直线c垂直，又直线c为平面a内任一条 直线，由线面垂直定义可知la。证毕 用向量法证明立体几何中
8、的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，表达了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在确定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生供应全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。 参考文献： 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范高校出 版社，1999年9月，107； 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范高校出 版社，1999年9月，110； 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范高校出 版社，1999年9月，110； 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范高校出 版社，1
9、999年9月，116； 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范高校出 版社，1999年9月，117； 第三篇：向量证明正弦定理 向量证明正弦定理 表述：设三面角p-ABC的三个面角BpC，CpA，ApB所对的二面角依次为pA，pB，pC，则SinpA/SinBpC=SinpB/SinCpA=SinpC/SinApB。 书目 1证明2全向量证明 证明 过A做OA平面BpC于O。过O分别做OMBp于M与ONpC于N。连结AM、AN。明显，pB=AMO，SinpB=AO/AM;pC=ANO，SinpC=AO/AN。另外，SinCpA=AN/Ap，SinApB=AM/Ap。则SinpB/SinCpA=A
10、OAp/(AMAN)=SinpC/SinApB。同理可证SinpA/SinBpC=SinpB/SinCpA。即可得证三面角正弦定理。 全向量证明 如图1，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90-A，j与向量CB的夹角为90-C 由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得 jAC+CB=jAB jACcos90+jCBcos(90-C) =jABcos(90-A) asinC=csinA a/sinA=c/sinC 同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得 c/sinC=b/sinB a/sinA=b/sinB=c/s
11、inC 2步骤 1记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+b0+ccos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D
12、.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB =absinC=bcsinA(这部可以干脆出来哈哈，不过为了符合向量的做法) =a/sinA=c/sinC 2023-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：随便三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(
13、1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90-B，向量AC与向量AD的夹角为90-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的确定值*向量AD的确定值*COS(90-B)=向量的AC确定值*向量AD的确定值*cos(90-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得 第四篇：中学数学立体几何证明公式 线线平行线面平行 假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行线线平行 假如一条直线和一个平面平行，经过这条
14、直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 线面平行面面平行 假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行线线平行 假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线线垂直线面垂直 假如一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直线线平行 假如连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 线面垂直面面垂直 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 线面垂直线线垂直 线面垂直定义：假如一条直线a与一个平面内的随便一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面。 面面垂直线面垂直 假如两个
15、平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理 假如平面内的一条直线垂直于平面的血如今平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。 第五篇：向量法证明正弦定理 向量法证明正弦定理 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 2如图1，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90-A，j与向量CB的夹角为90-C 由图1，AC+
16、CB=AB(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得 jAC+CB=jAB jACcos90+jCBcos(90-C) =jABcos(90-A) asinC=csinA a/sinA=c/sinC 同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得 c/sinC=b/sinB a/sinA=b/sinB=c/sinC 2步骤 1记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+b0+ccos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角AB
17、C中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB =absinC=bcsinA(这部可以干脆出来哈哈，不过为了符
18、合向量的做法) =a/sinA=c/sinC 2023-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：随便三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90-B，向量AC与向量AD的夹角为90-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的确定值*向量AD的确定值*COS(90-B)=向量的AC确定值*向量AD的确定值*cos(90-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得