《2023年数学4-1《几何证明选讲》知识点总结（精选合集）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学4-1《几何证明选讲》知识点总结（精选合集）.docx（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年数学4-1几何证明选讲知识点总结（精选合集） 第一篇：数学4-1几何证明选讲学问点总结 中学数学选修4-1几何证明选讲 -学问点总结 1、平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理 2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线 段成比例。 3、相像三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两
2、个三角形叫做相像三角形。相像三角形对应边的比值叫做相像比或相像系数。 由于从定义动身推断两个三角形是否相像，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，明显比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形： 4、相像的简洁方法： 1两角对应相等，两三角形相像； 2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像；3三边对应成比例，两三角形相像。 5、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与三角形相像。 6、判定定理1：对于随便两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像。简述为：两角对应相等，两三角
3、形相像。 7、判定定理2：对于随便两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。 8、判定定理3：对于随便两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像。简述为：三边对应成比例，两三角形相像。 9、引理：假如一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 10、定理：1假如两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相像； 2假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相像。 11、定理：假如一个直角三
4、角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像。 12、相像三角形的性质： 1相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相像比； 2相像三角形周长的比等于相像比；3相像三角形面积的比等于相像比的平方。 相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比，外接圆的面积比等于相像比的 2 平方。 13、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 14、圆周定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1
5、：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理 16、定理1：圆的内接四边形的对角互补。 17、定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 18、圆内接四边形判定定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。 19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
6、20、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质 21、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线 段 22、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 23、割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 24、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 25、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 其次篇：几何证明选讲学问点 几何证明选讲 1.平行线等分线段定理:假如一组平行
7、线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段相等。 推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必平分另一腰。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例。 3相像三角形的判定 定理1：两角对应相等的两个三角形相像 定理2：三边对应成比例的两个三角形相像 定理3：两边对应成比例，并且夹角相等
8、的两个二角形相像 4相像三角形的性质定理 性质1：相像三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相像比 性质2：相像三角形的面积比等于相像比的平方 推论：相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比，外接圆的面积比等于相像比的平方 5射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 6直线与圆的位置关系 假如直线与圆没有公共点，就说直线与圆相离，这时圆心到直线的距离大于半径； 假如直线与圆有一个公共点，就说直线与圆相切，这时圆心到直线的距离等于半径； 假如直线与圆有两个公共点，就说直线与圆相交，这时圆心到直线的距离小
9、于半径 7圆周角定理 定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 o推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 8.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 9圆的切线的判定及性质 定理：过圆的半径的端点且与半径垂直的直线与圆相切 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 7相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两段线段的积相等 8.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这点到割线与圆交点的两条线段长的积相等。 9切割线定理 从圆外一点引圆的切线与割线，切线长是这点到割线与圆交点的
10、两条线段长的比例中项 10.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_;圆心和这点的连线平分_的夹角。 11圆的内接四边形 (1)判定1：假如一个四边形的对角互补，则这个四边形是圆内接四边形 判定2：假如直线AB同侧的两点C，D向线段AB张的角相等，则A，B，C，D四点共圆 (2)性质：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12平行投影的性质 (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线； (3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等 13圆锥面的截线、平面截圆锥面 在空间中，取直线l为轴，直线l与1相交于O点
11、，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面n，若它与轴l的夹角为，则： (1)，平面n与圆锥的交线为椭圆； (2)，平面n与圆锥的交线为抛物线； (3)，平面n与圆锥的交线为双曲线 椭圆、双曲线、抛物线都可以看成平面截圆锥面所得的截线，其本质是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同而产生这三种曲线的差异，因此这三种曲线可统一为“到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的动点的轨迹，当0e1，e1，e1时，分别表示椭圆、抛物线和双曲线 第三篇：几何证明选讲-学问点1 几 何 证 明 选 讲 1.平行线等分线段定理:假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线
12、上截得的线段_.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_。 推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_。 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的_成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段_。 3.相像三角形的性质定理：相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_；相像三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_； 相像三角形面积的比、外接圆的面积比都等于_； 4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是_的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上_与_的比例中项。 5.圆周角定理：圆上一条弧所
13、对的圆周角等于它所对的_的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于_的度数。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_。 o推论2：半圆或直径所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_。 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_。 6.圆内接四边形的性质定理与判定定理： 圆的内接四边形的对角_；圆内接四边形的外角等于它的内角的_。 假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_； 假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_。 7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_。 推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_；经过切点且垂直于切线的
14、直线必经过_。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_。 8.相交弦定理：圆内两条相交弦，_的积相等。 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，_的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是_的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_;圆心和这点的连线平分_的夹角。 补充：垂径定理：垂直弦等价于平分弦 补充1 同一个线段对的两个角相等，则四点共圆 补充2 角的平分线分对边的比等于该角临边的比值 ABBD4在ABC中，AD为BAC的平分线，求证：.ACDC 第四篇：数学选修4-1几何证明选讲学问点总结(精简版) 中学数学选修4-1
15、学问点总结 数学选修4-1几何证明选讲学问点总结(精简版)平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线 段成比例。 相像三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形。相像三角形对应边的比值叫做相像比或相像系数。 由于从定义动身推断两个三角形是否
16、相像，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，明显比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形： 相像的简洁方法： 1两角对应相等，两三角形相像； 2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像； 3三边对应成比例，两三角形相像。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与三角形相像。 判定定理1：对于随便两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像。简述为：两角对应相等，两三角形相像。 判定定理2：对于随便两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么
17、这两个三角形相像。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。 判定定理3：对于随便两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像。简述为：三边对应成比例，两三角形相像。 引理：假如一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 定理：1假如两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相像； 2假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相像。定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像。 相像三角形的性质： 1相像三角形对应高的比、对应
18、中线的比和对应平分线的比都等于相像比； 2相像三角形周长的比等于相像比； 3相像三角形面积的比等于相像比的平方。 相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比，外接圆的面积比等于相像比的平方。 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定
19、定理 定理1：圆的内接四边形的对角互补。 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分
20、成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 第五篇：几何证明选讲专题) 几何证明选讲专题1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2.会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.一、基础学问填空： 1.平行线等分线段定理:假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其
21、他直线上截得的线段 推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的_成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_.3.相像三角形的性质定理：相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_；相像三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_； 相像三角形面积的比、外接圆的面积比都等于_； 4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是_的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_与_的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的
22、圆周角等于它所对的_的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_.推论2：半圆或直径所对的圆周角是_；90o的圆周角所对的弦是_.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理： 圆的内接四边形的对角_；圆内接四边形的外角等于它的内角的_.假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_；假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_；经过切点且垂直于切线的直线必经过_.切线的判
23、定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是_的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_；圆心和这点的连线平分_的夹角.二、经典试题： 1.(梅州一模文)如下图，在四边形ABCD中，EF/BC，FG/AD，则 EFBC+FG AD = D 2.(广州一模文、理)在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于 点F，若AEF的面积为6cm2，则ABC的面积为 2 B 第1页 3.(广
24、州一模文、理)如下图，圆O上 一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 4.(深圳二模文)如下图，从圆O外一点P 作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则CBD=_ 5.(广东文、理)已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=_.6.(广东文、理) 如下图，圆O的直径 AB=6，C圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线 AD，AD分别与直线l、圆交于点 D、E，则DAC，线段AE的长为 三、基础训练： 1.(韶关一模理)如下图，PC切O于 点C，割线
25、PAB经过圆心O，弦CDAB于 点E，PC=4，PB=8，则CD=_.2.(深圳调研文)如下图，从圆O外一点A 引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距 离为_.3.(东莞调研文、理)如下图,圆O上一 点C在直径AB上的射影为D，CD=4，则圆O的半径等于 4.(韶关调研理)如下图，圆O是 ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=AB=BC=3.则BD的长_，AC的长_ 5.(韶关二模理)如图，O和 O相交于A和B，PQ切O于P，交O于Q和M，交AB的延长线于N，MN=3，NQ=15，则 PN_ 6.(广州二模文、理)如下图, 圆的内
26、接 ABC的C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 N 7.湛江一模文如图，四边形ABCD内接 于O，BC是直径，MN切O于A，MAB=250，则D=_.8.(湛江一模理)如图，在ABC中，D 是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC D 于F，则 BFFC=.9.(惠州一模理)如图：EB、EC是O的两 条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，假如E460，DCF320，则A的度数是.C 10.(汕头一模理)如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，ADCE于D，若AD=1，ABC=300，则圆O的面积是_.11.(佛山一模理)如图，AB、C
27、D是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=2，则线段AC的长度为 C 12.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBCEF，E是AB的中点，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，则GH=_.BC 13.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2，AC= 2，则AB=_,CD=_.14.如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的第2页 割线，且PB=12BC，则PA PB的值是_.15.如图，O的割线PAB交O于A、B两点，割线 PCD经过圆心O，PE是O的切线。已知PA=6，AB=7，PO=12，则PE=_O 3的半径是_.答 案 二、经典试题： 1.
28、1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30，3.三、基础训练： 1.245.3.5.4.4，2.5.3.6.21 5.7.115o.8.12.9.99O.10.4p.11.30.12.1.13.10，4.14.3.15.4, 8.1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则DAC =()A.15B.30C.45D.60 2.在RtDABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角形与DABC相像,则x=()A.0B.1C.2 D.33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被
29、分为3:8,则另一弦的长为()A.11cmB.33cmC.66cmD.99cm 4.如图,在DABC和DDBE中,ABDB=BCBE=ACDE=53,若DABC与 DDBE的周长之差为10cm,则DABC的周长为()A.20cmB.254cmC.50 cm D.25cm E 第4题图 5.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知 PA=6,PO=12,AB=2 2,则O的半径为() A.4B .6C.612.如图,用与底面成30角的平面截圆柱得一椭圆截线, D.8 6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CDAB于点D, 且AD=3DB,设COD=q,则tan2q () A
30、.13 B.1C.4-D.3 7.在DABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE/BC,DADE的面积是2cm2,梯形 DBCE的面积为6 cm,则DE:BC的值为() A.B.1:2C.1:3D.1: 48.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作()个.A.2B.3C.4D.5 9.如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB/CD.由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD中A度数为() 第9题图 A.30B.45C.60D.75 10.如图,为测量金属材料的硬度,用确定压力 把一个高强度钢珠压向该种材料的外表,在材料外表 留下一个凹坑
31、,现测得凹坑直径为10mm,若所 用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为() A.1mmB.2 mmC.3mmD.4 mm 第10题图 11.如图,设P,Q为DABC内的两点,且AP=2AB+1 5AC,AQ 23AB1 AC,则 DABP的面积与DABQ的面积之比为() 1A.5B.45C.11 4D.3 第11题图 第3页 则该椭圆的离心率为()A1 B 23C2 D非上述结论 第12题图 13.一平面截球面产生的截面形态是_;它截圆柱面所产生的截面形态是 _ 14.如图,在ABC中,ABAC,C720,O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC O D 交于点D,连结BD,若BC5-1,则
32、ACB C 第 15.如图,14 题图 AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB=3,CD=1,则sinAPD=16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值是 第15题图 第16题图 17.如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是 O上两点,假如E=46, DCF=32,试求A的度数.18.如图,O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为O 上一点,AE=AC,DE交AB于点F,且AB=2BP=4,求PF的长度.E A FB O C D P 第18题图 第17题图 19.已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,ABDC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于
33、点E 求证：(1)ABCDCB(2)DEDCAEBD 20.如图,ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CFAB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PEPF E C 第19题图 第20题图 21.如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E，G 是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于 点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.C (1)求证:BF=EF；(2)求证:PA是O(3)若FG=BF,且O的半径长为求BD第21题图 第4页 22.如图1,点C将线段AB分成两 部分,假如ACAB=BC AC,那么称点C为线段AB
34、的黄金分割点.某探讨小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割 线，类似地给出“黄金分割线的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为SS11,S2,假如S=S2 S,那么称直线l为该图形的黄1 金分割线.(1)探讨小组猜测：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是ABC的黄金分割线你认为对吗?为什么? (2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ (3)探讨小组在进一步探究中觉察：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DFCE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是ABC的黄金分割线请你说明理由(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，明显直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.第22题图