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1、高三年级五校联考数学试卷第 1页（共 4 页）河北省“五个一”名校联盟2023 届高三年级联考（2022.12）数学试卷河北省“五个一”名校联盟2023 届高三年级联考（2022.12）数学试卷（满分：150 分，测试时间：120 分钟）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合122,xAxxR，集合21log2,BxxxR，则集合AB（）A.01xxB.1x x C.112xxD.4x x 2.已知(3)4i zi
2、，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A.1310B.110C.1310iD.110i3.已知:3p x 或7y，:21q xy，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，左、右焦点分别为12FF、，O为坐标原点，P为右支上一点,且OP=22ab,O到直线2PF的距离为b，则双曲线C的离心率为（）A.2B.5C.6D.2 25.已知0,0 xy，且1xy，则33241xyxy的最小值为（）A.22 2B.4C.42D.42 26.设异面直线,a b所成的角为50，经过空间一定点O有且只有四条直线与直
3、线,a b所成的角均为，则可以是下列选项中的（）A.6B.3C.512D.27.设1213a，7ln4b，4sin3c，那么以下正确的是（）A.abcB.cabC.acbD.cba高三年级五校联考数学试卷第 2页（共 4 页）8.已知点列nP在ABC内部，nABP的面积与nACP的面积比为13，在数列 na中，11a，若存在数列 n使得对*nN，13(43)nnnnnnAPa ABaAC 都成立，那么4a（）A.15B.31C.63D.127二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
4、部选对得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A：甲不在排头，事件B：乙不在排尾，那么7()9P B A；B.若随机变量服从二项分布(100,0.6)B，则(0)P1000.6；C.若随机变量服从正态分布(100,64)N，则100,8ED；D.(41)4()1EXE X，(41)16()1DXD X.10.已知函数()2sin(2)1(0)f xx，其一个对称中心为点(,1)6，那么以下正确的是（）A.函数()f x的图像向右平移12个单位后，关于
5、y轴对称；B.函数()f x的最小正周期为2；C.不等式()0f x 的解集是7,412x kxkkZ；D.当,012x 时，36()0f xx恒成立.11.已知,x y z均为正数，22axxyy，22byyzz，22cxxzz，则三元数组(,)a b c可以是以下（）A.(1,2,3)B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.(7,8,13)12.已知等腰三角形ABC，3ACBC，3 3AB，D为边AB上一点，且3AD，沿CD把ADC向上折起，A到达点P位置，使得二面角PCDB的大小为23，在几何体PBCD中，若其外接球半径为R，其外接球表面积为S，那么以下正确的是（）高三年级五校联考数学
6、试卷第 3页（共 4 页）A.3CD B.3 102PB C.3R D.39S三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，其中分，其中 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分，共分，共 20 分分.13.在921()xx的展开式中，常数项是第项.14.已知函数2()lg(65)f xaxx的值域为R，那么a的取值范围是.15.已知椭圆221105xy上有不同的三点,A B C，那么ABC面积最大值是.16.对(0,)x，都有32()(2)(ln1)0 xf xxem xxeex恒成立，那么m的取值范围是.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6
7、 小题，第小题，第 17 题题 10 分，第分，第 1822 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 na，其前n项和261nSnn，（1）求数列 na的通项公式；（2）若2nnb，求数列nna b的前n项和nT.18.已知在如图所示的三棱锥ABCD中，4,2 3,2 2BDBABC，2BADBCD，面BAD 面BCD，（1）求棱AC的长度；（2）求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.19.在三角形ABC中，若222sinsinsin2 3sinsinsinABCABC，（1）求角A的大小；（2
8、）如图所示，若2DB，4DC，求DA长度的最大值.高三年级五校联考数学试卷第 4页（共 4 页）20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜 4 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为 0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望.21.已知函数()exf x，2()g xx.（1）若()1f xax恒成立，求a.（2）若直线l与函数()f x的图像切于11(,)A x y，与函数()g x的图像切于22(,)B xy，求证：1214xx.2
9、2.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，左、右焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，左、右顶点分别为BA、，若T为椭圆上一点，12FTF的最大值为3，点P在直线4x上，直线PA与椭圆C的另一个交点为M，直线PB与椭圆C的另一个交点为N，其中NM、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C的标准方程；（2）从点A向直线MN做垂线，垂足为Q，证明：存在点D，使得DQ为定值.高三年级五校联考数学试卷第 1页（共 11 页）河北省“五个一”名校联盟2023 届高三年级联考（2022.12）数学试卷河北省“五个一”名校联盟2023 届高三年级联考（2022.12）数学试卷命题单位：石家庄市第一中学命题单
10、位：石家庄市第一中学（满分：150 分，测试时间：120 分钟）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合122,xAxxR，集合21log2,BxxxR，则集合AB（）A.01xxB.1x x C.112xxD.4x x 答案：C.2.已知(3)4i zi，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A.1310B.110C.1310iD.110i答案：B.3.已知:3p x 或7y，:21q xy，则p是q的（）A.充分不必
11、要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B.4.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，左、右焦点分别为12FF、，O为坐标原点，P为右支上一点,且OP=22ab,O到直线2PF的距离为b，则双曲线C的离心率为（）A.2B.5C.6D.2 2答案：B.高三年级五校联考数学试卷第 2页（共 11 页）5.已知0,0 xy，且1xy，则33241xyxy的最小值为（）A.22 2B.4C.42D.42 2答案：D.6.设异面直线,a b所成的角为50，经过空间一定点O有且只有四条直线与直线,a b所成的角均为，则可以是下列选项中的（）A.6B.3C.512D.2
12、答案：C.7.设1213a，7ln4b，4sin3c，那么以下正确的是（）A.abcB.cabC.acbD.cba答案：B.8.已知点列nP在ABC内部，nABP的面积与nACP的面积比为13，在数列 na中，11a，若存在数列 n使得对*nN，13(43)nnnnnnAPa ABaAC 都成立，那么4a（）A.15B.31C.63D.127答案：D.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对
13、得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A：甲不在排头，事件B：乙不在排尾，那么7()9P B A；B.若随机变量服从二项分布(100,0.6)B，则(0)P1000.6；C.若随机变量服从正态分布(100,64)N，则100,8ED；D.(41)4()1EXE X，(41)16()1DXD X.答案：BCD高三年级五校联考数学试卷第 3页（共 11 页）10.已知函数()2sin(2)1(0)f xx，其一个对称中心为点(,1)6，那么以下正确的是（）A.函数()f x的图像向右平移12个单位后，关于y轴对称；B.函数()f x的最
14、小正周期为2；C.不等式()0f x 的解集是7,412x kxkkZ；D.当,012x 时，36()0f xx恒成立.答案：ACD.11.已知,x y z均为正数，22axxyy，22byyzz，22cxxzz，则三元数组(,)a b c可以是以下（）A.(1,2,3)B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.(7,8,13)答案：CD.12.已知等腰三角形ABC，3ACBC，3 3AB，D为边AB上一点，且3AD，沿CD把ADC向上折起，A到达点P位置，使得二面角PCDB的大小为23，在几何体PBCD中，若其外接球半径为R，其外接球表面积为S，那么以下正确的是（）A.3CD B.3 102
15、PB C.3R D.39S答案：ABD.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，其中分，其中 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分，共分，共 20 分分.13.在921()xx的展开式中，常数项是第项.高三年级五校联考数学试卷第 4页（共 11 页）答案：4.14.已知函数2()lg(65)f xaxx的值域为R，那么a的取值范围是.答案：90,515.已知椭圆221105xy上有不同的三点,A B C，那么ABC面积最大值是.答案：15 64.16.对(0,)x，都有32()(2)(ln1)0 xf xxem xxeex恒成立，那么m的
16、取值范围是.答案：(,12e四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，第分，第 1822 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 na，其前n项和261nSnn，（1）求数列 na的通项公式；（2）若2nnb，求数列nna b的前n项和nT.解析：（1）由题意可知，261nSnn，21(1)6(1)1(2)nSnnn.2 分两式作差，可得27(2)nann，当1n 时，114aS，所以27(2)4(1)nnnan.4 分（2）由题意可知，(27)2(2)n
17、nna bnn，1 18(1)abn 高三年级五校联考数学试卷第 5页（共 11 页）那么223 38.nnnTa ba ba b ，.6 分可知：232(5)2(3)2(1)2.(27)2nnTn ，两边乘以 2，可得：23412(2)(5)2(3)2(1)2.(27)2nnTn ，.8 分两式作差可得：所以21(2)1028(27)2nnnTn ，即：1(29)220nnTn.10 分18.已 知 在 如 图 所 示 的 三 棱 锥ABCD中，4,2 3,2 2BDBABC，2BADBCD，面BAD 面BCD，（1）求棱AC的长度；（2）求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.解析：由题意，
18、取BD中点设为O，在面BAD内做OzBD，以O为坐标原点，,OC OD Oz分别为,x y z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，.1 分（1）在直角三角形ABD内，过A做AEBD于E，可求2AD，那么3AB ADAEBD，21ADDEBD，.2 分所以1OE，那么(0,1,3)A，(2,0,0)C，所以2 2AC.4 分高三年级五校联考数学试卷第 6页（共 11 页）（2）由题意，(0,2,0)B，(0,2,0)D，那么(0,3,3)BA ，(2,2,0)BC ，.6 分设平面ABC的法向量为(,)mx y z，那么：00BA mBC m ，整理可得330220yzxy，令 y=1，那么(
19、1,1,3)m ，.8 分而(2,2,0)CD ，.9 分直线CD与平面ABC所成角的正弦即为CD 与m所成角的余弦，所以(2,2,0)(1,1,3)10cos,52 25CD mCD mCDm 所以直线CD与平面ABC所成角的正弦为105.12 分19.在三角形ABC中，若222sinsinsin2 3sinsinsinABCABC，（1）求角A的大小；（2）如图所示，若2DB，4DC，求DA长度的最大值.解析：由题意可知，由正弦定理可得：2222 3sinabcbcA，再由余弦定理可得：22222cos2 3sinbcbcAbcbcA，.2 分即：223sincosbcbcAbcA，整理可
20、得：3sincos2sin()6bcAAAcb，.3 分高三年级五校联考数学试卷第 7页（共 11 页）可知左边2bccb，当且仅当bc时，右边3sincos2sin()26AAA，当且仅当3A，左右相等只有两边都等于 2 时，即同时取得等号，所以，3A.5 分（2）由（1）可知：bc,所以三角形ABC是正三角形.设BDC，BCD，那么由余弦定理可得：24 162 2 4cos20 16cosBC ，即：20 16cosBC，同样20 16cosCA，.7 分在三角形BDC中，由正弦定理可得：20 16cos2sinsin，整理得：sinsin54cos，.9 分因为BDCD，所以为锐角，那么
21、2coscos54cos，.10 分那么132cos3sincos()cossin3222 54cos，所以21620 16cos8(2cos3sin)20 16sin()366DA，当且仅当23时取得等号，所以DA最大值为 6.12 分20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜 4 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为 0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望.解析：用iA表示事件：第i局甲获胜（3,4,5,6,7i），用iB表示事
22、件：第i局乙获胜高三年级五校联考数学试卷第 8页（共 11 页）（3,4,5,6,7i），.1 分（1）记 A 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，记 B 表示事件：乙获得这次比赛的胜利，那么34563456734567()1()1()()()P AP BP B B B BP A B B B BP B A B B B 4143456734567411113()()1()()22216P B B A B BP B B B A BC.4 分（2）表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，由题意可取 2，3，4，5，那么23411(2)()()24PP A A，123453452111(3)()()(
23、)224PP B A AP A B AC，.7 分234345634563456345631111(4)()()()()()()2224PP B B B BP A B B AP B A B AP B B A AC1(5)1(2)(3)(4)4PPPP.10 分所以11117234544442E .12 分21.已知函数()exf x，2()g xx.（1）若()1f xax恒成立，求a.（2）若直线l与函数()f x的图像切于11(,)A x y，与函数()g x的图像切于22(,)B xy，求证：1214xx.解：（1）设函数01)(axexhx，发现0)0(h，所以)0(1)(haxexh
24、x恒成立，那么0 x是函数)(xh的最小值点，也就是极小值点，所以0)0(h，求导：aexhx)(，把0 x代入得：1a.2 分证明：当1a时，1)(xexhx，求导：1)(xexh，当0 x时，0)(xh，)(xh单调递减；当0 x，0)(xh，)(xh单调递增.所以0)0()(hxh.高三年级五校联考数学试卷第 9页（共 11 页）所以1a.4 分（2）由题意可知：xxfe)(，xxg2)(，那么：21222)(211xxxexexx.6 分解之可得：212222)(22xxxxx，即2212xx，所以1x满足)22(211xex，即044)22(21111xexexx.8 分令44)(x
25、exmx，可知)(xm单调递增，且02)21(em，01)43(43 em，所以43211 x，.10 分而212212xx，所以4121 xx，命题得证.12 分22.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，左、右焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，左、右顶点分别为BA、，若T为椭圆上一点，12FTF的最大值为3，点P在直线4x上，直线PA与椭圆C的另一个交点为M，直线PB与椭圆C的另一个交点为N，其中NM、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C的标准方程；（2）从点A向直线MN做垂线，垂足为Q，证明：存在点D，使得DQ为定值.解：（1）由 题 意 可 得：1c，设11PFr，22PFr，
26、那 么2222211121121 21 24()24cos22rrcrrrrcFTFrrrr2211 21 2424122brrbrrrr，.1 分高三年级五校联考数学试卷第 10页（共 11 页）可知22121 22rrrra，当且仅当12rr取得等号，所以上式222242112bbaa，即12cosFTF的最小值为2221ba，又12FTF的最大值为3，所以2212cos132ba，.2 分所以2234ba，又1c，所以解得2,3ab，所以椭圆 C 的标准方程为13422yx.4 分（2）由题意可知，直线MN斜率为 0 时，显然不成立；设直线:MN xmyt，点),(),(2211yxNy
27、xM，联立直线MN与椭圆C：13422yxtmyx，整理可得：01236)43(222tmtyym，43123,4362221221mtyymmtyy，.5 分由上，设直线)2(2:11xxyyMA，直线22:(2)2yNB yxx，两直线联立可知交点为P，解之：)24(2)24(22211xyxy，所以：31)2()2(1221xyxy，即：31)2()2(122221xyxyy.7 分而)2)(2(43)41(3222222xxxy，代入上式，31)2)(2(342121xxyy，高三年级五校联考数学试卷第 11页（共 11 页）即：31)2)(2(342121tmytmyyy，.9 分然后韦达定理代入可得:31)2(41233422tt，解之可得：1t 或2（舍）.11 分可知直线MN过定点)0,1(E，又由条件：EQAQ，所以Q在以AE为直径的圆上，圆心即为)0,21(D，DQ为定值23.12 分