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1、轴对称求函数第1页，共26页，编辑于2022年，星期三1、勒让德多项式的正交性不同阶的勒让德多项式在区间（-1，+1）上正交2、勒让德多项式的模即勒让德多项式的模为第2页，共26页，编辑于2022年，星期三3、勒让德多项式的完备性 是完备的，可作为傅里叶级数的基第3页，共26页，编辑于2022年，星期三4、勒让德多项式的母函数母函数关系式：物理背景：在单位球的北极放置 单位的正电荷，则球内任一点的电势为另一方面电势 满足且以 球坐标系的极轴为对称轴，即 球内电势第4页，共26页，编辑于2022年，星期三求系数A=?取=0上式左边展成泰勒级数得到球外电势（证明）第5页，共26页，编辑于2022年
2、，星期三勒让德多项式的母函数以半径为R的球代替单位球，则有第6页，共26页，编辑于2022年，星期三母函数的用途：可用它研究和导出 的其他性质。称为母函数法5、递推公式母函数对r求导数第7页，共26页，编辑于2022年，星期三对比两边rk的系数，得第8页，共26页，编辑于2022年，星期三证明第二个公式两边对x求导对比两边 项的系数，得将第一个递推公式对x求导数，得第9页，共26页，编辑于2022年，星期三从上二式得到类似的，还可得到下列公式第10页，共26页，编辑于2022年，星期三递推公式的用途：公式1可用低阶 求高阶 知 ，求对公式1取 得 希望导出可用公式2求含 的积分 第11页，共2
3、6页，编辑于2022年，星期三用递推公式求定积分 例1.计算定积分解:第12页，共26页，编辑于2022年，星期三例2.计算解：积分区间0，1，不可应用正交关系。用到关系 第13页，共26页，编辑于2022年，星期三当l=0时，不存在，以上计算不成立。第14页，共26页，编辑于2022年，星期三10.3 拉普拉斯方程的轴对称定解问题拉普拉斯方程的定解问题。取对称轴为球坐标的极轴，问题与无关，用m=0的轴对称函数例3.在球r=r0,的内部求解 是满足边界条件解：边界条件与无关，球坐标的极轴为对称轴，解也应以球坐标的极轴为对称轴，解为考虑到 有限值，那么 应舍去，即取 Bl=0,第15页，共26页
4、，编辑于2022年，星期三代入边界条件，确定系数Al 第16页，共26页，编辑于2022年，星期三例4.半球的球面保持一定温度u0cos,半球底面保持零度。求这个半球内的稳定温度分布。解：采用球坐标系，以球心为坐标系的极点，对称轴作为坐标系的极轴，问题与无关，定解问题表为 用勒让德多项式展开成傅里叶级数 半球问题全球问题 ：（0，/2）（0，）保证半球底面温度为零度，下半球面有一个对称的负的温度 ，作奇延拓。（第一类边界条件下作奇延拓）第17页，共26页，编辑于2022年，星期三定解问题转化为定解问题的解代入边界条件确定Al 第18页，共26页，编辑于2022年，星期三该问题变成底面绝热 作偶
5、延拓 我们已计算问题的解第19页，共26页，编辑于2022年，星期三例5.在匀强电场中放置均匀介质球。原来电场强度是E0,球的半径为r,介电常数是，求介质球内外的电场强度。在球面上无意义。考虑利用衔接条件。1.球内电势第20页，共26页，编辑于2022年，星期三利用u在球心处有限第21页，共26页，编辑于2022年，星期三3.u内，u外的衔接 条件：电势在球面上连续 电位移矢量在球面上连续 将u内和u外代入衔接条件，得 第22页，共26页，编辑于2022年，星期三10.1 轴对称函数解得球内电势可表为球内电场 球内极化强度作业题：p296 1,3,4，6，9，11 第23页，共26页，编辑于2022年，星期三提示：P点的电势定解问题：第24页，共26页，编辑于2022年，星期三u1的形式解u2的形式解 第25页，共26页，编辑于2022年，星期三第26页，共26页，编辑于2022年，星期三