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1、4 确定圆的条件 1.1.探索平面内确定一个圆的条件探索平面内确定一个圆的条件.(.(重点重点)2.2.掌握过不在同一条直线上的三点作圆的方法掌握过不在同一条直线上的三点作圆的方法.(.(重点、难点重点、难点)1.1.确定一个圆的关键：确定一个圆的关键：_和和_._.2.2.确定圆的条件确定圆的条件 基础梳理基础梳理圆心圆心半径半径过一点的圆过一点的圆过两点的圆过两点的圆过不在同一条直线过不在同一条直线上三点的圆上三点的圆图图形形圆圆心心圆心不确定圆心不确定圆心在线段圆心在线段ABAB的垂的垂直平分线上直平分线上,不确定不确定圆心是线段圆心是线段AB,BCAB,BC的的垂直平分线的交点垂直平分
2、线的交点,圆心确定圆心确定过一点的圆过一点的圆过两点的圆过两点的圆过不在同一条直线上三点过不在同一条直线上三点的圆的圆半半径径半径不确定半径不确定半径不确定半径不确定半径半径OA=OB=OC,OA=OB=OC,半径确定半径确定总总结结过一点可以作过一点可以作_个圆个圆,过两点可以作过两点可以作_个圆个圆,过过_的三点确定一个圆的三点确定一个圆.过在同一直线上的过在同一直线上的三点三点_作圆作圆无数无数无数无数不在同一直线上不在同一直线上不能不能3.3.三角形的外接圆三角形的外接圆三角形的三角形的_确定的圆确定的圆.4 4三角形的外心三角形的外心(1)(1)定义：三角形的外接圆的定义：三角形的外
3、接圆的_，即三角形的三边，即三角形的三边_的交点的交点.(2)(2)性质：三角形的外心到三角形性质：三角形的外心到三角形_._.(3)(3)位置：锐角三角形的外心在三角形的位置：锐角三角形的外心在三角形的_，直角三角形的，直角三角形的外心是斜边外心是斜边_，钝角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在三角形的_.三个顶点三个顶点圆心圆心垂直平分垂直平分线线三个顶点的距离相等三个顶点的距离相等内部内部中点中点外部外部 (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)过三点有且只有一个圆过三点有且只有一个圆.().()(2)(2)每个三角形都有一个外接圆每个三角形都有一个外接圆.().()(3)(3)每
4、个圆都有惟一一个内接三角形每个圆都有惟一一个内接三角形.().()(4)(4)三角形的外心到各个顶点的距离都等于外接圆的半径三角形的外心到各个顶点的距离都等于外接圆的半径.(.()(5)(5)外接圆的圆心一定在三角形的外部外接圆的圆心一定在三角形的外部.().()知识点知识点 1 1 过不在同一直线上的三点确定圆过不在同一直线上的三点确定圆【例例1 1】小明家的房前有一块矩形的空地，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树空地上有三棵树A,B,CA,B,C，小明想建一个圆形，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)(1)请你帮小明把花坛的位置画出来请
5、你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹保留作图痕迹).).(2)(2)若在若在ABCABC中，中，AB=8AB=8米，米，AC=6AC=6米，米，BAC=90BAC=90，试求小明家，试求小明家圆形花坛的面积圆形花坛的面积.【思路点拨思路点拨】(1)(1)花坛即花坛即ABCABC的外接圆，作出的外接圆，作出ABAB和和ACAC的垂直平的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，连接圆心和一个顶点即半径分线，其交点即为外接圆的圆心，连接圆心和一个顶点即半径.(2).(2)直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，求出半径，再直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，求
6、出半径，再算面积算面积.【自主解答自主解答】(1)(1)用尺规作出两边的垂直平分线用尺规作出两边的垂直平分线,作出圆作出圆.OO即为所求的花园的位置即为所求的花园的位置.(2)BAC=90(2)BAC=90,AB=8,AB=8米米,AC=6,AC=6米米,BC=10,BC=10米米,ABCABC外接圆的半径为外接圆的半径为5 5米米 .小明家圆形花坛的面积为小明家圆形花坛的面积为2525平方米平方米.【总结提升总结提升】确定已知弧所在圆的圆心的确定已知弧所在圆的圆心的“三种三种”方法方法1.1.利用圆的轴对称性，将圆对折，确定圆的两条直径，两直径利用圆的轴对称性，将圆对折，确定圆的两条直径，两
7、直径的交点即为圆心的交点即为圆心.2.2.利用圆周角定理的推论，根据利用圆周角定理的推论，根据9090的圆周角所对的弦为直径，的圆周角所对的弦为直径，确定直径，然后确定两直径的交点或一条直径的中点即为圆心确定直径，然后确定两直径的交点或一条直径的中点即为圆心.3.3.根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法确定圆心根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法确定圆心.知识点知识点 2 2 与三角形的外接与三角形的外接圆圆相关的相关的计计算与算与证证明明 【例例2 2】如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，ACB=ACB=9090，AC=5,CB=12,ADAC=5,CB=12,AD是是A
8、BCABC的角平的角平分线，过分线，过A A，C C，D D三点的圆与斜边三点的圆与斜边ABAB交于点交于点E E，连接，连接DE.DE.(1)(1)求证：求证：AC=AE.AC=AE.(2)(2)求求ACDACD的外接圆的半径的外接圆的半径.【解题探究解题探究】1.(1)DE1.(1)DE与与ABAB有何位置关系？为什么？有何位置关系？为什么？提示：提示：DEAB.DEAB.ACB=90ACB=90,AD,AD为为ACDACD的外接圆直径的外接圆直径,AED=90AED=90.(2)(2)结合结合(1)(1)由由ADAD平分平分CAECAE，如何证明，如何证明AC=AEAC=AE？提示：提示
9、：AED=90AED=90,ACB=90,ACB=90,ADAD平分平分CAE,AC=AE.CAE,AC=AE.2.(1)2.(1)由已知条件和已证的结论如何求出由已知条件和已证的结论如何求出AEAE，ABAB的长度？的长度？提示：提示：AC=5,CB=12,AC=5,CB=12,AE=AC=5,BE=AB-AE=13-5=8.AE=AC=5,BE=AB-AE=13-5=8.(2)(2)图中哪个三角形与图中哪个三角形与ABCABC相似？为什么？相似？为什么？提示：提示：ABCDBE.ADABCDBE.AD是直径，是直径，AED=90AED=90，BED=ACB=90BED=ACB=90，又，又
10、B=B,ABCDBE.B=B,ABCDBE.(3)(3)由由(2)(2)中的三角形相似，可以得到中的三角形相似，可以得到 (4)(4)在在ADEADE中，中，所以外接圆的半径为所以外接圆的半径为【互动探究互动探究】ACDACD的外接圆的面积是多少？的外接圆的面积是多少？ABCABC的外接圆的的外接圆的面积呢？面积呢？提示：提示：ACDACD的外接圆的面积为的外接圆的面积为ABCABC的外接圆的面积为的外接圆的面积为【总结提升总结提升】两种三角形的外接圆半径的求法两种三角形的外接圆半径的求法1.1.直角三角形的外心为斜边的中点，它的外接圆半径长为斜边直角三角形的外心为斜边的中点，它的外接圆半径长
11、为斜边的一半的一半.2.2.等腰三角形的外接圆的半径，因其底边上的中线垂直于底边，等腰三角形的外接圆的半径，因其底边上的中线垂直于底边，故可借助于由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段所组成的直故可借助于由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段所组成的直角三角形求解角三角形求解.题组一：题组一：过不在同一直线上的三点确定圆过不在同一直线上的三点确定圆1.1.有下列四个命题：有下列四个命题：直径是弦；直径是弦；经过三个点可以作圆；经过三个点可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等半径相等的两个半圆是等弧的两个半圆是等弧.其中正确的是其中正确的是()
12、()A.4A.4个个 B.3B.3个个 C.2C.2个个 D.1D.1个个【解析解析】选选B.B.直径是圆中最长的弦，直径是圆中最长的弦，正确；经过不在同一直正确；经过不在同一直线上的三点可以确定圆，线上的三点可以确定圆，错误；三角形的外心到三角形各顶错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，点的距离相等，正确；半径相等的两个半圆重合，为等弧正确；半径相等的两个半圆重合，为等弧,正确正确.2.2.如图如图,在在5555正方形网格中正方形网格中,一条圆弧经过一条圆弧经过A,B,CA,B,C三点三点,那么这那么这条圆弧所在圆的圆心是条圆弧所在圆的圆心是()()A.A.点点P B.P B.点点Q
13、C.Q C.点点R D.R D.点点M M【解析解析】选选B.B.作弦作弦ABAB和和BCBC的垂直平分线的垂直平分线,交点交点Q Q即为圆心即为圆心.3.3.已知点已知点A,BA,B分别在分别在MONMON的边的边OM,ONOM,ON上，则经过点上，则经过点A,O,BA,O,B能作圆能作圆的个数是的个数是_._.【解析解析】当当0 0MON180MON180时，过时，过A,O,BA,O,B能作一个圆，当能作一个圆，当MON=180MON=180时，不能作圆时，不能作圆.故可作故可作0 0个或个或1 1个圆个圆.答案：答案：0 0个或个或1 1个个 4.4.已知直线已知直线l：y=x+4y=x
14、+4和点和点A(0,4)A(0,4)，B(-4,0)B(-4,0)，点，点C C为为直直线线l上一点，上一点，试判断点试判断点A A，B B，C C是否在同一个圆上是否在同一个圆上.【解析解析】过过A A，B B，C C三点不能作一个圆三点不能作一个圆.当当x=0 x=0时，时，y=0+4=4y=0+4=4；当；当x=-4x=-4时，时，y=-4+4=0.y=-4+4=0.故故A(0,4)A(0,4)，B(-4,0)B(-4,0)在直线在直线l上，所以上，所以A A，B B，C C在一条直线上，所在一条直线上，所以点以点A A，B B，C C不在同一个圆上不在同一个圆上.5.5.已知已知 请找
15、出请找出 所在圆的圆心，并将圆的其他部分作出所在圆的圆心，并将圆的其他部分作出来来.【解析解析】作法：作法：(1)(1)在在 上任取一点上任取一点C(C(点点C C与与A A，B B两点不重合两点不重合).).(2)(2)连接连接ACAC，BC.BC.(3)(3)分别作分别作ACAC，BCBC的垂直平分线，它们的交点的垂直平分线，它们的交点O O就是就是 所在圆所在圆的圆心的圆心.(4)(4)以以O O为圆心，以为圆心，以OAOA为半径作出为半径作出O O，如图所示，如图所示.题组二：题组二：与三角形的外接圆相关的计算与证明与三角形的外接圆相关的计算与证明1.(20121.(2012雅安中考雅
16、安中考)如图，已知如图，已知O O是是ABCABC的外接圆，的外接圆，AOB=110AOB=110，则，则C C的度数为的度数为()()A A55 B55 B7070C C60 D60 D4545【解析解析】选选A.A.C C和和AOBAOB是同一条弧是同一条弧ABAB所对的圆周角和圆心所对的圆周角和圆心角，所以角，所以【变式备选变式备选】(2012(2012泰州中考泰州中考)如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，ODBCODBC于于D,A=50D,A=50，则，则OCDOCD的度数是的度数是()()A A40 B40 B4545C C50 D50 D60 60【解析解析】选选A A连接
17、连接OBOB，则，则BOC=2A=100BOC=2A=100，OB=OCOB=OC，ODBCODBC，COD COD OCD=90OCD=90，OCD=40OCD=40.2.(20122.(2012阜新中考阜新中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，BC=3 cmBC=3 cm，BAC=60BAC=60，那么那么ABCABC能被半径至少为能被半径至少为_cmcm的圆形纸片所覆盖的圆形纸片所覆盖 【解析解析】设圆心为设圆心为O O，连接，连接OB,OC.OB,OC.则则OB=OCOB=OC，BOC=2BAC=120BOC=2BAC=120，所以所以则则答案：答案：3.3.如图所示，已知如图所示
18、，已知AB=5 cm,C=30AB=5 cm,C=30，求，求ABCABC的外接圆的直的外接圆的直径径.【解析解析】连接连接OAOA，OBOB，C=30C=30，AOB=60AOB=60，OA=OBOA=OB，OAB OAB 是等边三角形，是等边三角形，OA=AB=5 cmOA=AB=5 cm，即即O O的直径为的直径为10 cm.10 cm.4.4.在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,斜边长为斜边长为c,c,两直角边两直角边a,ba,b为方程为方程x x2 2-19x+90=019x+90=0的根的根.求求ABCABC外接圆的面积外接圆的面积.【解析解析】xx2 2-19x+9
19、0=0,(x-9)(x-10)=0.-19x+90=0,(x-9)(x-10)=0.xx1 1=9,x=9,x2 2=10,=10,即即a=9,b=10a=9,b=10或或a=10,b=9.a=10,b=9.在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,cc2 2=a=a2 2+b+b2 2=181,=181,线段线段c c为为ABCABC外接圆直径外接圆直径.即即ABCABC外接圆的面积为外接圆的面积为【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知圆内接三角形中，已知圆内接三角形中，AB=AC,AB=AC,圆心圆心O O到到BCBC的距离为的距离为3 cm,3 cm,圆半径为圆半径为7 cm,7 cm,求腰长求腰长AB.AB.提示：提示：考虑问题不全面，漏掉了考虑问题不全面，漏掉了ABCABC是钝角三角形的情况是钝角三角形的情况.