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1、河海大学理学院数值分析数数 值值 分分 析析Computational Method河海大学理学院数值分析Chapter 8 矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算河海大学理学院数值分析第第8章章 矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算8 81 1 引言引言 矩阵特征值的一些性质。确定矩阵特征值 及相应特征向量 ，通常有两条途径：（1）设法求出特征多项式 及其零点，但，由于特征值经常对特征多项式的系数很敏感，即当系数有稍许偏差，往往导致特征值有较大的偏离。除对少数特征矩阵外，一般不用。（2）根据问题的特点和要求，对矩阵实施某种运算或变换（如乘幂法、相似变换）达到求矩阵的模最大（小）的特征值，部分的特征值或
2、全部的特征值。河海大学理学院数值分析8 82 2 幂法及反幂法幂法及反幂法1.1.幂法幂法幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及相应特征向量的迭代解法，特别适用于大型稀疏矩阵。设矩阵 有 ，则 称为 的特征值，称为对应于 的特征向量。河海大学理学院数值分析设有n个线性无关的特征向量组:而而是相应的特征值是相应的特征值.设设(1)(1)任意初始向量任意初始向量 河海大学理学院数值分析若若(2)(2)是是重根重根:则则是特征向量是特征向量河海大学理学院数值分析规范化幂法规范化幂法为了克服为了克服”溢出溢出”,”,采用规范化作法采用规范化作法:其中其中:一般一般:则则:证明证明 绝对值
3、最大分量中的最小下标绝对值最大分量中的最小下标.河海大学理学院数值分析证明证明 一般一般:河海大学理学院数值分析例例 求求A A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 k01迭代向量分11量1max1110011123213-0.75-2-1-41213-0.752-4河海大学理学院数值分析4567-2.5 -.710-2.428-.708-2.416 -.707-2.414 -.7073.5 13.428 13.416 13.414 1-2.5 -.710-2.428-.708-2.416 -.707-2.414 -.707 3.5 3.428 3.416 3.414河海大学理学院数值分
4、析2.2.加速方法加速方法(原点平移法原点平移法),设 的特征值为 则:河海大学理学院数值分析使用幂法,取 计算 得到加速.使用幂法,取 计算 得到加速.河海大学理学院数值分析2.2.反幂法反幂法反幂法用于(1)计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量;(2)已知某近似特征值的特征向量。河海大学理学院数值分析反幂法计算公式:注(1)第一步可解方程:注(2)可用 来加速.河海大学理学院数值分析例例 用反幂法求矩阵用反幂法求矩阵A A的最接近的最接近 的特征值和特的特征值和特征向量征向量.解解 其中其中:河海大学理学院数值分析计算公式计算公式:k0 1迭代向量分1-2.4545450 11.666
5、66669 -.27160496量1.48484850 -.1957087max1 -2.4545450河海大学理学院数值分析 2 3-4.59708214 1-4.54094172 11.0781837 -.23453777 1.06764054 -.23511435.7850467 -.17130533.77934009 -.17162521 -4.59708214 -4.54094172 4 5-4.54175138 1-4.54173851 11.06779003 -.23510351.06778765 -.23510548.77946037 -.17162110.77945852 -.171632117 -4.54175138 -4.54173851 河海大学理学院数值分析河海大学理学院数值分析8.3 Q-R8.3 Q-R算法算法前述矩阵A有Q-R分解.Q是正交阵,R是上三角阵.Q-R算法是计算矩阵的所有特征值的 现代化方法。设设再设再设又又一般一般:河海大学理学院数值分析可证:即 的对角元收敛于 的特征值.