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1、二次函数图象及性质 温故而知新温故而知新w观察观察y=y=x x2 2的表达式的表达式,选择适当选择适当x x值值,并计算相应并计算相应的的y y值值,完成下表：完成下表：w你会用描点法画二次函数y=y=x x2 2的图象吗的图象吗?xy=x x2 2x-3-2-10123y=x x2 2xy=x x2 29 94 41 10 01 14 49 9用描点法作函数图象的步骤：作函数图象的步骤：列表列表 描点描点 连线连线 描点描点,连线连线xy0 0-4-3-2-11234108642-21y=x2 2(-3,9)(-2,4)(-1,1)(0,0)(1,1)(2,4)(3,9)观察图象,回答问题
2、xy0 0-4-3-2-11234108642-21y=x2 2w(1)(1)你能描述图象的形状吗你能描述图象的形状吗?w(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?w(3)图象 与y轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴.对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.二次函数二次函数y=x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线.w二次函数二次函数y=-y=-x x2 2，y=2xy=2x2 2 ，y=-2xy=-2
3、x2 2的图象是什么的图象是什么形状？请每一学习小组分工完成三个函数的图象。形状？请每一学习小组分工完成三个函数的图象。一同学作一同学作y=-y=-x x2 2，一同学作一同学作y=2xy=2x2 2 ，两同学作两同学作 y=-y=-2x2x2 2，每每一同学的图象作在相应的坐标系中。一同学的图象作在相应的坐标系中。学中做做中学.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)在在
4、x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.根据图形填表：根据图形填表：在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出函数函数y=y=x x2 2和和y=-y=-x x2 2的图象的图象在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增的增大而增大大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减的增大而减小小.抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性
5、增减性最值最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增的增大而增大大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减的增大而减小小.若把表中若把表中y=x2 ，y=-x2分别改分别改为为y=2x2 ，y=-2x2 ，结合图形
6、，观察结合图形，观察你下表中所填写的信息是否也要作你下表中所填写的信息是否也要作相应修正呢？相应修正呢？y=2x2y=-2x2抛物线抛物线y=x2 ，y=2x2有有何共同点及不同点何共同点及不同点w共同点：共同点：抛物线抛物线 y=x2 ，y=2x2的开口都向上，顶点坐的开口都向上，顶点坐标都是标都是(0,0)，对称轴都是，对称轴都是y轴，在对称轴的左侧轴，在对称轴的左侧,y都都随着随着x的的增大而减小；在对称轴的右侧增大而减小；在对称轴的右侧,y都随着都随着x的增的增大而增大，当大而增大，当x=0 时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0,两两条抛物线都在条抛物线都在x轴的轴的
7、上方上方(除顶点外除顶点外).不同点：开口大小不同，不同点：开口大小不同，y=x2 开口较大，开口较大，y=2x2开口开口较小较小抛物线抛物线y=-x2 ，y=-2x2有何有何共同点及不同点共同点及不同点w共同点：共同点：抛物线抛物线 y=-x2 ，y=-2x2的开口都向下，顶点的开口都向下，顶点坐标都是坐标都是(0,0)，对称轴都是，对称轴都是y轴，在对称轴的左侧轴，在对称轴的左侧,y都随着都随着x的的增大而增大；在对称轴的右侧增大而增大；在对称轴的右侧,y都随着都随着x的的增大而减小，当增大而减小，当x=0 时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0,两条抛物线都在两条抛物线都在
8、x轴的轴的 下方下方(除顶点外除顶点外).不同点：开口大小不同，不同点：开口大小不同，y=-x2 开口较大，开口较大，y=-2x2开开口较小口较小1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称对称轴是轴是y轴轴.2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2的开口向上，抛物线在的开口向上，抛物线在x轴的上轴的上方方(除顶点外除顶点外),并且向上无限伸展；并且向上无限伸展；当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在对称轴的增大而减小；在对称轴右侧右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0时，在对称轴的左侧时，
9、在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴的右侧的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数y=ax2的性质函数函数 开口方向开口方向 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标 最高点或最低点最高点或最低点Y=-4x2 Y=x2 Y=5x2 Y=-x2 上上上上下下下下 Y轴轴 Y轴轴 Y轴轴 Y轴轴(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)最高点最高点最高点最高点最低点最低点最低点最低点 口答，又快又对口答，又快又对1函数y=kx2 的图象如图 所示：则k 0，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而
10、；顶点坐标是 ，函数有最 值，是 。0)y=ax2(a0时，抛物线时，抛物线y=ax2的开口向上，抛物线在的开口向上，抛物线在x轴的上轴的上方方(除顶点外除顶点外),并且向上无限伸展；并且向上无限伸展；当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在对称轴的增大而减小；在对称轴右侧右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴的右侧的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数y=a
11、x2的性质结束寄语:只有不断的思考只有不断的思考,才会有才会有新的发现新的发现;只有量的变只有量的变化化,才会有质的进步才会有质的进步.我也来试一试我也来试一试w (1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ,在在 侧侧,y随着随着x的的增大而减小；在增大而减小；在 侧侧,y随着随着x的增大的增大而增大而增大,当当x=时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是 ,抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).w(2)抛物线抛物线y=-2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ,在在对称对称轴的左轴的左侧侧,y随着随着x的的 ；在
12、；在对称轴的右对称轴的右侧侧,y随着随着x的的 ,w当当x=时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是 ,抛物线抛物线y=-2x2在在x轴轴w的的 方方(除顶点外除顶点外).（0，0）y轴轴对称轴的右对称轴的右对称轴的左对称轴的左00上上下下增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小0（0，0）y轴轴0当当x0(在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.y 当当x=-2时时,y=-4 当当x=-1时时,y=-1当当x=1时时,y=-1当当x=2时时,y=-4当当x0(在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时,y随着随着x的增大而的增大而增大增大.当当x=-2时，
13、时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4函数函数y=y=x x2 2和和y=-y=-x x2 2的图象的图象.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减
14、小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增的增大而增大大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减的增大而减小小.根据图形填表：根据图形填表：.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外)向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧
15、,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增的增大而增大大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减的增大而减小小.根据图形填表：根据图形填表：函数函数y=y=x x2 2和和y=-y=-x x2 2的图象的图象这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴.对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.二次函数二次函数y=-x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线.yw(1)二次函数二次函数y=-y=-x x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？学中做做中学你能根据表格中的数据作出猜想吗？w(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象w(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1y=-=-x2 2