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1、第5讲尺规作图1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.2.会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.3.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.4.在尺规作图中，了解尺规作图的道理，保留作图痕迹，不要求写作法.1.(2017 年山东枣庄)如图 451，在RtABC 中，C90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别
2、交 AC，AB 于点 M，弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD4，AB15，则ABD 的面积是()图 451A.15B.30C.45D.60答案：B2.(2017 年浙江衢州)下列图 452 四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是()图 452A.B.C.D.答案：C3.如图 453，已知AOB 和射线 OB，用尺规作图法作AOBAOB(要求保留作图痕迹).图 453解：如图 D47.图 D474.(2012 年广东)如图 454，在ABC 中，ABAC，ABC7
3、2.(1)用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数.图 454解：(1)如图 D48.图 D48(2)在ABC 中，ABAC，ABC72，A1802ABC18014436.BD 是ABC 的平分线，BDC 是ABD 的外角，BDCAABD363672.5.(2013 年广东)如图 455，已知平行四边形 ABCD.(1)作图：延长 BC，并在 BC 的延长线上截取线段 CE，使得 CEBC；(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，连接AE，交CD于点F，求
4、证：AFD EFC.图 455(1)解：如图 D49.图 D49(2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC.BCCE，ADCE.ADBC，DAFCEF.在AFD 和EFC 中，AFDEFC(AAS).知识点内容尺规作图及基本作图定义在几何中，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图五种基本作图(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)过定点作已知直线的垂线；(5)作线段的垂直平分线一般步骤(1)已知；(2)求作；(3)作法注意当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后
5、借助草图寻找作法基本作图与应用例 1：(2017 年四川自贡)两个城镇 A，B 与一条公路 CD，一条河流 CE 的位置如图 456，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 A，B 的距离必须相等，到 CD 和 CE 的距离也必须相等，且在DCE 的内部，请画出该山庄的位置 P.(不要求写作法，保留作图痕迹)图 456思路分析根据角平分线的性质可知：到 CD 和 CE 的距离相等的点在ECD 的平分线上，所以第一步作：ECD 的平分线 CF；根据垂直平分线的性质可知：到 A，B 的距离相等的点在 AB 的垂直平分线上，所以第二步：作线段 AB 的垂直平分线MN，其交点就是 P 点.解：如图 457
6、，作法：作ECD 的平分线 CF；图 457作线段 AB 的垂直平分线 MN；MN 与 CF 交于点 P，则点 P 就是山庄的位置.【试题精选】1.(2017 年广西贵港)如图 458，尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：已知线段 a 和AOB，点 M 在 OB 上.(1)在 OA 边上作点 P，使 OP2a；(2)作AOB 的平分线；(3)过点 M 作 OB 的垂线.图 458解：如图 D50，(1)点 P 为所求；(2)OC 为所求；(3)MD 为所求.图 D50作图与证明例 2：(2018 年四川攀枝花)已知ABC中，A90.(1)请在图 459(1)中作出 BC 边上的中线(保留作图痕
7、迹，不写作法)；(2)如图 459(2)，设 BC 边上的中线为 AD，求证：BC2AD.(1)(2)图 459思路分析(1)如图4510(1)，作BC 的垂直平分线得到BC的中点 D，从而得到 BC 边上的中线 AD；(2)延长AD到E，使EDAD，连接EB，EC，如图4510(2)，通过证明四边形 ABEC 为矩形得到 AEBC，从而得到 BC2AD.(1)(2)图 4510(1)解：如图 4510(1)，AD 为所作.(2)证明：延长 AD 到点 E，使 EDAD，连接 EB，EC，如图 4510(2)，CDBD，ADED，四边形 ABEC 为平行四边形.CAB90，四边形 ABEC 为
8、矩形.AEBC.BC2AD.【试题精选】2.如图 4511，在ABC 中，ABAC，DAC 是ABC的一个外角.图 4511实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母.(保留作图痕迹，不写作法)(1)作DAC 的平分线 AM；(2)作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交于点 F，与 BC 边交于点 E，连接 AE，CF.猜想并证明：猜想四边形 AECF 的形状并加以证明.解：(1)如图 D51.图 D51(2)四边形 AECF 的形状为菱形.理由如下：ABAC，ABCACB.AM 平分DAC，DAMCAM.DACABCACB，CAMACB.EF 垂直平分 AC，OAOC，AOFC
9、OE.AOFCOE.OFOE，即 AC 和 EF 互相垂直平分.四边形 AECF 的形状为菱形.名师点评中考通常以基本的尺规作图为载体，在具体情境中酝酿与构建图形之间的形状、位置、大小关系，进而对相关问题进行计算、探究、发现与证明.作图与计算例 3：(2017 年浙江嘉兴)如图 4512，已知ABC，B40.图 4512(1)在图中，用尺规作出ABC 的内切圆 O，并标出O 与边 AB，BC，AC 的切点 D，E，F(保留痕迹，不必写作法);(2)连接 EF，DF，求EFD 的度数.思路分析(1)用尺规作图的方法，作出A 和C 的平分线的交点即为内切圆 O；(2)由切线的性质可得ODBOEB9
10、0，已知B 的度数，根据四边形内角和为 360，可求得DOE，由圆周角定理可求得EFD.解：(1)如图 4513，圆 O 即为所求.图 4513(2)如图 4513，连接 OD，OE，则 ODAB，OEBC.ODBOEB90.又B40，DOE140.EFD70.【试题精选】3.(2016 年四川凉山州)如图 4514，在边长为 1 的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，点 A，B 的坐标分别是 A(4,3)，B(4,1)，把ABC 绕点 C 逆时针旋转 90后得到A1B1C.图 4514(1)画出A1B1C，直接写出点A1，B1的坐标；(2)求在旋转过程中，ABC 所扫过的面积.解：(1)
11、所求作A1B1C如图D52.图 D521.(2017 年广东)如图 4515，在ABC 中，AB.(1)作边 AB 的垂直平分线 DE，与 AB，BC 分别相交于点 D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，连接 AE，若B50，求AEC 的度数.图 4515解：(1)如图 D53.(2)DE 是 AB 的垂直平分线，AEBE.EABB50.AECEABB100.图 D532.(2016 年广东)如图 4516，已知ABC 中，D 为 AB 的中点.(1)请用尺规作图法作边 AC 的中点 E，并连接 DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)条件下，若
12、DE4，求 BC 的长.图 4516解：(1)如图 D54.图 D54(2)由三角形中位线定理，知 BC2DE8.3.(2015 年广东)如图 4517，已知锐角三角形 ABC.(1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D；(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)DC 的长.图 4517解：(1)如图 D55.图 D55(2)ADBC，ADBADC90.4.(2014 年广东)如图 4518，点 D 在ABC 的边 AB 上，且ACDA.(1)作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E；(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系.(不要求证明)图 4518解：(1)如图 D56.图 D56(2)DEAC.