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1、编审：全品中考内蒙古考试命题研究中心包头专版QQ群：713375769专题突破(六)圆中有关证明与计算第二篇专题突破方案2类型二证明两条线段的数量关系1类型一求线段的长度3类型三证明多条线段间的关系4类型四与角度关系或锐角三角函数有 关的问题类型一求线段的长度(2020,24(1)/2016,24(3)/2015,24(3)返回目录解题方法指导:(1)遇到有关切线的问题时,一定存在直角三角形,常用到勾股定理(直径所对的圆周角是直角也是构造直角三角形的常用方法);(2)根据圆中等角之间的转换得到相似三角形,利用相似三角形的性质列比例式求线段的长度;(3)运用等积法可求点到直线的距离这类题;(4)
2、求解方向不明确时,首先求出半径,再进行转化求解.返回目录(2)若CE=1,EB=3,求O的半径;(3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O 于F,Q两点(点F在线段PQ上),求PQ的长.图Z6-1返回目录(2)若CE=1,EB=3,求O的半径;图Z6-1返回目录(3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O 于F,Q两点(点F在线段PQ上),求PQ的长.图Z6-1返回目录【配练】2020昆都仑区二模如图Z6-2,ABC内接于O,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EFBC于F,CBG=A,延长CD交GB的延长
3、线于点P,连接BD.(1)求证:PG与O相切;(3)在(2)的条件下,若O的半径为8,PD=OD,求OE的长.图Z6-2解:(1)证明:如图,连接OB,则OB=OD,BDC=DBO,BAC=BDC,BAC=GBC,GBC=DBO,CD是O的直径,DBO+OBC=90,GBC+OBC=90,GBO=90,PG与O相切.返回目录【配练】2020昆都仑区二模如图Z6-2,ABC内接于O,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EFBC于F,CBG=A,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.图Z6-2返回目录(3)在(2)的条件下,若O的半径为8,PD=OD,求OE的长.图Z6-2返回目录 题型精
4、练1.2020玉林如图Z6-3,AB是O的直径,点D在直径AB上(D与A,B不重合),CDAB,且CD=AB,连接CB,与O交于点F,在CD上取一点E,使EF=EC.(1)求证:EF是O的切线;(2)若D是OA的中点,AB=4,求CF的长.图Z6-3解:(1)证明:连接OF,如图,OF=OB,OFB=B.EF=EC,EFC=ECF.CDAB,CDB=90,C+B=90,EFC+OFB=90,OFE=180-EFC-OFB=90,OFEF.而OF为O的半径,EF为O的切线.返回目录1.2020玉林如图Z6-3,AB是O的直径,点D在直径AB上(D与A,B不重合),CDAB,且CD=AB,连接CB
5、,与O交于点F,在CD上取一点E,使EF=EC.(2)若D是OA的中点,AB=4,求CF的长.图Z6-3返回目录图Z6-4返回目录图Z6-4返回目录图Z6-5解:(1)证明:如图,连接OC.CF是O的切线,C为切点,OCPC,PCD+ACO=90.PEAB,OAC+ADE=90.又OA=OC,OAC=ACO.ADE=PDC=PCD,PD=PC,PCD是等腰三角形.返回目录图Z6-5(2)若D为AC的中点,且F=30,BF=2,求PCD的周长和AG的长.返回目录4.2019东河区二模如图Z6-6,已知点C是以AB为直径的O上一点,CHAB于点H,过点B作O的切线交射线AC于点D,点E是CH的中点
6、,连接AE并延长,交BD于点F,直线CF交AB的延长线于点G.(1)求证:AEFD=AFEC;(2)求证:FC=FB;(3)若FB=FE=2,求O的半径.图Z6-6返回目录4.2019东河区二模如图Z6-6,已知点C是以AB为直径的O上一点,CHAB于点H,过点B作O的切线交射线AC于点D,点E是CH的中点,连接AE并延长,交BD于点F,直线CF交AB的延长线于点G.(2)求证:FC=FB;图Z6-6返回目录4.2019东河区二模如图Z6-6,已知点C是以AB为直径的O上一点,CHAB于点H,过点B作O的切线交射线AC于点D,点E是CH的中点,连接AE并延长,交BD于点F,直线CF交AB的延长
7、线于点G.(3)若FB=FE=2,求O的半径.图Z6-6类型二证明两条线段的数量关系(2016,24(1)(2)返回目录解题方法指导:(1)证明两条线段相等,考虑全等三角形、等腰三角形的证明方向;(2)证明两条线段的二倍关系,考虑三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系、含30角的直角三角形模型;(3)证明两条线段的多倍关系,考虑利用中点、三等分点等数量关系的转化.返回目录例2 如图Z6-7,已知AB为O的直径,过O上的点C的切线交AB的延长线于点E,ADEC于点D且交O于点F,连接BC,CF,AC.(1)求证:BC=CF;(2)若AD=6,DE=8,求BE的长;(3)求证:A
8、F+2DF=AB.图Z6-7解:(1)证明:如图,连接OC,根据题意,ED是O的切线,所以OCED,因为ADEC,所以OCAD,所以OCA=CAD,因为OC=OA,所以OCA=OAC,所以OAC=CAD,所以BC=CF.返回目录例2 如图Z6-7,已知AB为O的直径,过O上的点C的切线交AB的延长线于点E,ADEC于点D且交O于点F,连接BC,CF,AC.(2)若AD=6,DE=8,求BE的长;图Z6-7返回目录(3)求证:AF+2DF=AB.图Z6-7返回目录图Z6-8返回目录图Z6-8返回目录图Z6-8返回目录 题型精练1.2016包头24题如图Z6-9,在RtABC中,ABC=90,AB
9、=CB,以AB为直径的O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A,B重合),DE的延长线交O于点G,DFDG,且交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接GB,EF,求证:GBEF;(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.图Z6-9返回目录(1)求证:AE=BF;图Z6-9返回目录1.2016包头24题如图Z6-9,在RtABC中,ABC=90,AB=CB,以AB为直径的O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A,B重合),DE的延长线交O于点G,DF DG,且交BC于点F.(2)连接GB,EF,求证:GBEF;图Z6-9(2)证明:AEDBFD,DE=DF,EDF=90,E
10、DF是等腰直角三角形,DEF=45,G=A=45,G=DEF,GBEF.返回目录(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.图Z6-9返回目录图Z6-10返回目录图Z6-10返回目录图Z6-10(2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE,MBC=60,BE=BC,EBC为等边三角形,CE=CB=BE,BCE=60,BCD+DCE=60.ACM=60,ECM+DCE=60,ECM=BCD.AMC为等边三角形,AC=MC,ACBMCE,AB=ME.ME+EB=BM,AB+BC=BM.类型三证明多条线段间的关系(2019,24/2017,24(1)/2015,24(2)返回目录解题方法指导:纵观近几年
11、的包头中考题,我们发现,圆的有关性质与相似三角形的结合在包头中考中非常常见,历年包头中考命题思路都是“圆中有相似”,这就要求我们熟悉圆内可能出现的几类基本图形:返回目录图形条件BC为直径,ADBCBC为直径,AC与O相切于C弦AB,CD相交于点PPA与O相切于点A四边形ABDC内接于O结论ABDCBACADACDABCCBDADPCBP PABPCAPACPDB返回目录例3 如图Z6-11,已知AB是O的直径,BC是O的弦,弦EDAB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.(1)求证:PC是O的切线;(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BFBO
12、,求证:点G是BC的中点;图Z6-11解:(1)证明:连接OC,如图,EDAB,FBG+FGB=90,又PC=PG,1=2,而2=FGB,3=FBG,1+3=90,即OCPC,又OC为O的半径,PC是O的切线.返回目录例3 如图Z6-11,已知AB是O的直径,BC是O的弦,弦EDAB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BFBO,求证:点G是BC的中点;图Z6-11(2)证明:连接OG,如图,BG2=BFBO,即BGBO=BFBG,而FBG=GBO,BGOBFG,OGB=BFG=90,即OGBG,BG=CG
13、,即点G是BC的中点.返回目录例3 如图Z6-11,已知AB是O的直径,BC是O的弦,弦EDAB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.图Z6-11返回目录【配练】2020黄石如图Z6-12,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F.(1)求证:BC是O的切线;图Z6-12解:(1)证明:如图,连接OD,则OA=OD,ODA=OAD,AD是BAC的平分线,OAD=CAD,ODA=CAD,ODAC,ODB=C=90.点D在O上,BC是O的切线.返回目录【配练】2020黄石如图Z6-12,在RtA
14、BC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F.图Z6-12返回目录【配练】2020黄石如图Z6-12,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F.图Z6-12返回目录 题型精练1.如图Z6-13,已知AB是O的直径,点C在O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,COB=2PCB.(1)求证:PC是O的切线;图Z6-13解:(1)证明:OA=OC,A=ACO.又COB=2A,COB=2PCB,A=ACO=PCB.又AB是O的直径,ACO+OCB=90,P
15、CB+OCB=90,即OCCP,OC是O的半径,PC是O的切线.返回目录1.如图Z6-13,已知AB是O的直径,点C在O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,COB=2PCB.图Z6-13返回目录1.如图Z6-13,已知AB是O的直径,点C在O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,COB=2PCB.图Z6-13返回目录2.2020怀化如图Z6-14,在O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且D=30.(1)求证:CD是O的切线;(2)分别过A,B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E,F两点,过C点作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AEB
16、F.图Z6-14证明:(1)连接OC,如图所示,CA=CD,且D=30,CAD=D=30,OA=OC,CAD=ACO=30,COD=CAD+ACO=30+30=60,OCD=180-D-COD=180-30-60=90,OCCD,又OC为O的半径,CD是O的切线.返回目录(2)分别过A,B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E,F两点,过C点作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AEBF.图Z6-14返回目录(1)求证:F是CB的中点;(2)求证:AEEF=DEBF;(3)若AC=2,BC=4,求DE2的值.图Z6-15返回目录(2)求证:AEEF=DEBF;图Z6-15返回目录(3)若AC=2
17、,BC=4,求DE2的值.图Z6-15类型四与角度关系或锐角三角函数有关的问题(2020,24(2)/2018,24/2017,24(2)返回目录解题方法指导:(1)求锐角的三角函数值,必须将所求角或与所求角相等的角放在一个合适的直角三角形中;直角三角形的构造考虑圆中已有的直径所对的90圆周角、圆的切线与对应半径围成的直角三角形、半弦长和半径、弦心距围成的直角三角形,如图Z6-16;图Z6-16返回目录(2)角度的二倍关系考虑同弧所对的圆周角与圆心角关系、等腰三角形两底角在圆中与圆周角的相互转化、半径围成的等腰三角形的外角与内角关系等,如图Z6-17.图Z6-17返回目录图Z6-18返回目录图
18、Z6-18返回目录【配练】2018包头24题如图Z6-19,在RtACB中,ACB=90,以点A为圆心,AC长为半径的圆交AB于点D,BA的延长线交A于点E,连接CE,CD,F是A上一点,点F与点C位于BE两侧,且FAB=ABC,连接BF.(1)求证:BCD=BEC;(2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sinABF的值.图Z6-19解:(1)证明:ACB=90,BCD+ACD=90.DE是A的直径,DCE=90,BEC+CDE=90.AD=AC,CDE=ACD,BCD=BEC.返回目录(2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sinABF的值.图Z6-19返回目录 题型精练1.2020绵阳如
19、图Z6-20,ABC内接于O,点D在O外,ADC=90,BD交O于点E,交AC于点F,EAC=DCE,CEB=DCA,CD=6,AD=8.(1)求证:ABCD;(2)求证:CD是O的切线;(3)求tanACB的值.图Z6-20解:(1)证明:CEB=CAB,CEB=DCA,CAB=DCA,ABCD.返回目录1.2020绵阳如图Z6-20,ABC内接于O,点D在O外,ADC=90,BD交O于点E,交AC于点F,EAC=DCE,CEB=DCA,CD=6,AD=8.(2)求证:CD是O的切线;图Z6-20(2)证明:连接CO并延长交O于G,连接GE.GC为O的直径,GEC=90,EGC+ECG=90
20、,EAC=DCE,EAC=EGC,DCE=EGC,DCE+ECG=90,DCO=90,COCD,CO是O的半径,CD是O的切线.返回目录(3)求tanACB的值.图Z6-20返回目录图Z6-21(1)求证:AOBC;(2)若3CAF=2ABC,求证:CF是O的切线;(3)若O的半径为1,求CD的长.返回目录图Z6-21(2)若3CAF=2ABC,求证:CF是O的切线;返回目录图Z6-21(3)若O的半径为1,求CD的长.返回目录3.2020宁波镇海区一模如图Z6-22,在RtABC中,P是斜边AC上一个动点,以BP为直径作O交BC于点D,与AC的另一个交点为E(点E在点P右侧),连接DE,BE,已知AB=3,BC=6.(1)求线段BE的长;(2)如图,若BP平分ABC,求BDE的正切值;(3)是否存在点P,使BDE是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的CP的长;若不存在,请说明理由.图Z6-22返回目录(2)如图,若BP平分ABC,求BDE的正切值;图Z6-22返回目录3.2020宁波镇海区一模如图Z6-22,在RtABC中,P是斜边AC上一个动点,以BP为直径作O交BC于点D,与AC的另一个交点为E(点E在点P右侧),连接DE,BE,已知AB=3,BC=6.(3)是否存在点P,使BDE是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的CP的长;若不存在,请说明理由.图Z6-22返回目录