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1、第四章第四章 恒定磁场的基本原理恒定磁场的基本原理本章提示本章提示:本章讨论由恒定电流产生的磁场。由安培定律，引出磁本章讨论由恒定电流产生的磁场。由安培定律，引出磁场的基本概念，定义磁感应强度。在此基础上，利用矢量磁场的基本概念，定义磁感应强度。在此基础上，利用矢量磁位，导出磁通连续性定理和安培环路定理。借助于磁偶极子位，导出磁通连续性定理和安培环路定理。借助于磁偶极子模型，引入磁化电流，考虑磁媒质对磁场的影响，定义磁场模型，引入磁化电流，考虑磁媒质对磁场的影响，定义磁场强度，导出恒定磁场的基本方程。根据基本方程的积分形式，强度，导出恒定磁场的基本方程。根据基本方程的积分形式，导出恒定磁场磁感
2、应强度和磁场强度的磁媒质分界面条件。导出恒定磁场磁感应强度和磁场强度的磁媒质分界面条件。由恒定磁场的基本方程，导出用矢量磁位和标量磁位表示的由恒定磁场的基本方程，导出用矢量磁位和标量磁位表示的恒定磁场边值问题，并证明恒定磁场解的惟一性。恒定磁场边值问题，并证明恒定磁场解的惟一性。重点掌握磁感应强度的定义和恒定磁场的基本性质，学重点掌握磁感应强度的定义和恒定磁场的基本性质，学会将恒定磁场表述为边值问题。会将恒定磁场表述为边值问题。124.14.1安培定律与磁感应强度安培定律与磁感应强度1.1.电流元电流元 电荷运动形成电流。电荷元电荷运动形成电流。电荷元dqdq以速度以速度v v运动形成电流元运
3、动形成电流元dqvdqv。体电荷情况下电荷。体电荷情况下电荷元表示为元表示为dV,dV,电流元表示为电流元表示为 vdV vdV；面电荷情况下电荷元表示为；面电荷情况下电荷元表示为dS,dS,电流元表示电流元表示为为 vdS vdS。线电荷情况下电荷元表示为。线电荷情况下电荷元表示为dldl，电流元表示为，电流元表示为 vdl vdl。体电流、面电。体电流、面电流和线电流的电流元用电流密度或电流分别表示为流和线电流的电流元用电流密度或电流分别表示为JdV,Kd SJdV,Kd S和和IdlIdl。2.2.安培定律安培定律3 0是真空中的磁导率，其数值为4 10-7亨/米，H/m这就是安培定律，
4、安培定律是恒定磁场的基础。这就是安培定律，安培定律是恒定磁场的基础。43.3.磁感应强度磁感应强度 一个线圈中的电流对于放置在附近的另一个线圈中的电流有作用力。由于两线一个线圈中的电流对于放置在附近的另一个线圈中的电流有作用力。由于两线圈相隔一定距离，这个作用力不是直接的作用力，而是通过一定的物质传递过去的。圈相隔一定距离，这个作用力不是直接的作用力，而是通过一定的物质传递过去的。这种物质就是磁场。电流在其周围产生磁场，电流称为磁场的源。不随时间变化的这种物质就是磁场。电流在其周围产生磁场，电流称为磁场的源。不随时间变化的电流产生的磁场，叫做恒定磁场。电流产生的磁场，叫做恒定磁场。设想在恒定磁
5、场中某一点（设想在恒定磁场中某一点（x,y,zx,y,z）上，放置一个试验电流元）上，放置一个试验电流元I It tdldlt t，如果试验电流元，如果试验电流元受力为受力为则将则将B B这一矢量定义为磁感应强度，它是恒定磁场中的一个基本场矢量。这一矢量定义为磁感应强度，它是恒定磁场中的一个基本场矢量。磁感应强度的单位是特，磁感应强度的单位是特，T T5通常称为毕奥一沙伐定律通常称为毕奥一沙伐定律6P*任意载流导线在点任意载流导线在点 P 处的磁感强度处的磁感强度磁感强度叠加原理磁感强度叠加原理712345678例例 判断下列各点磁感强度的方向和大小判断下列各点磁感强度的方向和大小.+1、5
6、点点：3、7点点：2、4、6、8 点点：毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律84.4.分布电流的磁感应强度分布电流的磁感应强度点电荷线电流面电流体电流95.5.洛伦兹力洛伦兹力根据磁感应强度的定义式，磁场对放置在其中的电流元有作用力。单个运动的点电荷根据磁感应强度的定义式，磁场对放置在其中的电流元有作用力。单个运动的点电荷相当于点电流相当于点电流qvqv，磁场对运动电荷的作用力为，磁场对运动电荷的作用力为+10 例例4-1-14-1-1如图所示，真空中长度为如图所示，真空中长度为2l2l的直线段，通以电流的直线段，通以电流I I。求线段外任一点。求线段外任一点P P的磁感的磁感应强度。应强度。场点P的
7、坐标源点Idz的坐标若线段为无穷长直线11例例4-1-24-1-2求真空中半径为求真空中半径为a,a,电流为电流为I I的圆形线圈在轴线上各点的磁感应强度。的圆形线圈在轴线上各点的磁感应强度。场点场点P位置矢量位置矢量Z=012例例4-1-34-1-3求真空中半径为求真空中半径为a a，对应的圆心角为，对应的圆心角为，电流为，电流为I I的圆弧在圆心的磁感应强度。的圆弧在圆心的磁感应强度。=2134.24.2矢量磁位与磁通连续性定理矢量磁位与磁通连续性定理1.1.矢量磁位矢量磁位以体电流产生的磁场为例，讨论磁感应强度的规律。以体电流产生的磁场为例，讨论磁感应强度的规律。令因为电流密度J是(x,
8、y,z)坐标的函数，而取旋度是对(x,y,z)坐标的运算，所以又因为取旋度是对(x,y,z)坐标的运算，体积分是对(x,y,z)坐标的运算，两种运算的顺序可以交换，所以14磁感应强度是另一矢量的旋度。我们把这个矢量定义为矢量磁位，用磁感应强度是另一矢量的旋度。我们把这个矢量定义为矢量磁位，用A A表示，则表示，则式中，C和C是空间的任意常矢量。C的存在说明矢量磁位不是惟一的。但因所以由矢量磁位求得的磁感应强度是惟一的。关于矢量磁位的惟一性问题，可以由选择参考点来加以限制。矢量磁位的参考点就是强迫矢量磁位为零的点。在电流分布于有限区域的情况下，选择无穷远处为参考点，计算比较方便，前面矢量磁位计算
9、式中的空间常矢量C为零。152.2.矢量磁位的散度矢量磁位的散度 根据前面定义，矢量磁位的旋度是磁感应强度。下面讨论它的散度，以体电流情根据前面定义，矢量磁位的旋度是磁感应强度。下面讨论它的散度，以体电流情况为例，有况为例，有令16在恒定磁场中，电流是恒定电流式中，S是电流区域V的外表面。在恒定磁场中，整个恒定电流区域外表面上恒定电流应无法向分量，即 因此得173 3 库仑规范库仑规范 前面我们定义矢量磁位时，要求矢量磁位的旋度等于磁感应强度。实际上满足前面我们定义矢量磁位时，要求矢量磁位的旋度等于磁感应强度。实际上满足这一要求的矢量磁位中还应包括任意一个旋度为零的矢量。如果一个矢量的旋度为这
10、一要求的矢量磁位中还应包括任意一个旋度为零的矢量。如果一个矢量的旋度为零，则这个矢量可以表示成一个标量的梯度。考虑到存在旋度为零的矢量，零，则这个矢量可以表示成一个标量的梯度。考虑到存在旋度为零的矢量，以体电流分布情况为例，矢量磁位应改写为以体电流分布情况为例，矢量磁位应改写为A A的散度等于的散度等于 为任意标量函数。因此为任意标量函数。因此A A的散度可以任意给定，这将导致的散度可以任意给定，这将导致A A的多值性。的多值性。人为确定人为确定A A的散度，就可以限制的散度，就可以限制A A的多值性。确定的多值性。确定A A的散度叫做选择规范。的散度叫做选择规范。这就是库仑规范这就是库仑规范
11、18选择规范只是限制了选择规范只是限制了A A的多值性，但不能惟一确定的多值性，但不能惟一确定A A。要惟一确定矢量磁位。要惟一确定矢量磁位A A，还必须，还必须给定给定A A的参考点。在电流分布于有限区域情况下，选择无穷远处为的参考点。在电流分布于有限区域情况下，选择无穷远处为A A的参考点，可以导的参考点，可以导出出 为空间的一常矢量，记作为空间的一常矢量，记作CC。进一步可得。进一步可得C+C=0C+C=0。在库仑规范和无穷。在库仑规范和无穷远参考点这两个方面的限制下，对于体电流分布情况远参考点这两个方面的限制下，对于体电流分布情况194 4 磁通连续性定理的微分形式磁通连续性定理的微分
12、形式根据前面的推导，磁感应强度可写成根据前面的推导，磁感应强度可写成5.5.磁通连续性定理的积分形式磁通连续性定理的积分形式206.6.磁通磁通穿过任一曲面穿过任一曲面S S的的B B的通量，称为磁通量，简称磁通，用的通量，称为磁通量，简称磁通，用表示，且表示，且磁通连续性说明，穿入一个闭合面的磁通等于穿出这个闭合面的磁通。磁通连续性说明，穿入一个闭合面的磁通等于穿出这个闭合面的磁通。从磁通的角度来说，磁感应强度又叫做磁通密度。磁通密度的单位是特，从磁通的角度来说，磁感应强度又叫做磁通密度。磁通密度的单位是特，T,T,l l特特=1=1韦韦/米米2 2。B 的通量217.7.磁感应强度线磁感应
13、强度线磁感应强度线是对磁场的形象表示，磁感应强度线是一族有方向的线。磁感应强度线是对磁场的形象表示，磁感应强度线是一族有方向的线。磁感应强度线上每一点的切线方向就是该点的磁感应强度方向。磁感应强度线上每一点的切线方向就是该点的磁感应强度方向。设设dldl为为P P点磁感应强度线的有向线段元，在直角坐标系中点磁感应强度线的有向线段元，在直角坐标系中磁感应强度线的方程磁感应强度线的方程例如位于例如位于Z Z轴上的无穷长直导线电流产生的磁场轴上的无穷长直导线电流产生的磁场在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中22 这就是这就是B B线的方程。给定线的方程。给定C2C2，可画出一个截面上的磁感应强度线。，可画出
14、一个截面上的磁感应强度线。C1C1取不同值，得取不同值，得到一族同心圆。到一族同心圆。23磁感应线的性质：导线位于铁板上方长直螺线管的磁场磁感应线是闭合的曲线;磁感应线不能相交；磁感应强处，磁感应线稠密，反之，稀疏。闭合的磁感应线与交链的电流成右手螺旋关系；24 一对反向电流传输线 一对同向电流传输线两对反相电流传输线两对同向电流传输线25 在平行平面磁场中，在平行平面磁场中，B B只有只有BxBx和和ByBy两个分量，两个分量，A A只有只有AzAz一个分量。因此有一个分量。因此有若沿磁感应强度线的有向线段元若沿磁感应强度线的有向线段元可见沿磁感应强度线A的微分为零。由此可得平行平面磁场磁感
15、应强度线的方程C取一系列的值，可以得到一族磁感应强度线。等A线即磁感应强度线。26 例例4-2-14-2-1如图如图4-2-24-2-2所示，真空中长度为所示，真空中长度为2l2l的直线段，通以电流的直线段，通以电流I I。求线段外任一点。求线段外任一点P P的矢量磁位。的矢量磁位。274.3 4.3 安培环路定理安培环路定理1.1.安培环路定理的微分形式安培环路定理的微分形式磁感应强度磁感应强度B B的旋度的旋度库仑规范库仑规范2829同理这就是真空中安培环路定理的微分形式。302.2.安培环路定理的积分形式安培环路定理的积分形式将安培环路定理的微分形式两边进行面积分，有将安培环路定理的微分
16、形式两边进行面积分，有式中，式中，S S是任意曲面，是任意曲面，L L是是S S的边缘曲线的边缘曲线;L;L的方向与的方向与S S的法线方向成右手螺旋关系的法线方向成右手螺旋关系;I;I是穿过曲面是穿过曲面S S的总电流。电流密度的参考方向与的总电流。电流密度的参考方向与S S的法线方向一致，即与的法线方向一致，即与S S的法线的法线方向一致的电流取正值，反之取负值。方向一致的电流取正值，反之取负值。31例例4-3-14-3-1求真空中无穷长直线电流求真空中无穷长直线电流1 1的磁感应度的磁感应度B B。解解以线电流为轴，建立圆柱坐标系。因为是无以线电流为轴，建立圆柱坐标系。因为是无穷长直线，
17、所以在垂直于直线的每一个平面穷长直线，所以在垂直于直线的每一个平面上磁感应强度分布相同，即磁感应强度与上磁感应强度分布相同，即磁感应强度与Z Z无关。在无关。在r-ar-a平面上，磁感应强度只有平面上，磁感应强度只有a a方向方向的分量，而其大小与的分量，而其大小与a a无关。以无关。以r r为半径作一为半径作一圆形闭合曲线，应用安培环路定理，得圆形闭合曲线，应用安培环路定理，得32 例例4-3-24-3-2真空中半径为真空中半径为a a的无穷长圆柱体中均匀分布着轴向电流，电流密度为的无穷长圆柱体中均匀分布着轴向电流，电流密度为J J。求空间的磁感应强度。求空间的磁感应强度。33 例例4-3-
18、34-3-3真空中，直角坐标系的真空中，直角坐标系的x=0 x=0无穷大平面上均匀分布着二方向的面电流，电无穷大平面上均匀分布着二方向的面电流，电流密度为流密度为K K。求空间的磁感应强度。求空间的磁感应强度。根据电流分布的对称情况，磁感应强度的大小应与根据电流分布的对称情况，磁感应强度的大小应与y y和和z z无关，其方向应而只有无关，其方向应而只有y y方方向的分量。据此，由安培环路定理，有在无穷大平面两侧作一个矩形闭合曲线。向的分量。据此，由安培环路定理，有在无穷大平面两侧作一个矩形闭合曲线。344.4 4.4 磁偶极子磁偶极子1.1.磁偶极子磁偶极子磁偶极子是指所围成的面积很小的载流回
19、路。设回路中的电流为磁偶极子是指所围成的面积很小的载流回路。设回路中的电流为L L，回路所围成的，回路所围成的面积为面积为S S，则可以用一个矢量来表示磁偶极子。这个矢量叫做磁偶极矩，记为，则可以用一个矢量来表示磁偶极子。这个矢量叫做磁偶极矩，记为m m，且，且2.2.磁偶极子的矢量磁位磁偶极子的矢量磁位35在球坐标情况下363.3.磁偶极子的磁感应强度磁偶极子的磁感应强度在球坐标下在球坐标下374.5 4.5 磁媒质的磁化磁媒质的磁化1.1.磁化的概念磁化的概念在外磁场的作用下，原子的磁偶极矩发生有规律的偏转，使得宏观上任一体积元在外磁场的作用下，原子的磁偶极矩发生有规律的偏转，使得宏观上任
20、一体积元内磁偶极矩的矢量和不再为零，对外产生磁场。这一现象称为媒质的磁化。内磁偶极矩的矢量和不再为零，对外产生磁场。这一现象称为媒质的磁化。382.磁化强度 为了描述媒质宏观的磁化状态，将单位体积内磁偶极矩的矢量和定义为磁化强度，用M来表示，且将体积元作为源点，则由体积元内磁偶极子在场点产生的矢量磁位为整个媒质v中所有磁偶极子在场点产生的矢量磁位为393.等效磁化电流密度等效磁化电流密度归根结底，产生磁场的源是电流。归根结底，产生磁场的源是电流。40磁化体电流密度为磁化面电流密度为因此，磁媒质中磁偶极子产生的磁场，可以看作是由磁化电流产生的磁场，且因此，磁媒质中磁偶极子产生的磁场，可以看作是由
21、磁化电流产生的磁场，且414.64.6磁场强度磁场强度1.1.考虑磁化电流的安培环路定理考虑磁化电流的安培环路定理 磁化电流与自由电流一样产生磁感应强度。因此，在有磁媒质存在的情况下，安磁化电流与自由电流一样产生磁感应强度。因此，在有磁媒质存在的情况下，安培环路定理应表示为培环路定理应表示为式中，式中，I I是闭合曲线是闭合曲线L L环绕的自由电流的总量环绕的自由电流的总量;I;IM M是闭合曲线是闭合曲线L L环绕的磁化电流的总量。环绕的磁化电流的总量。把真空当作一种特殊的磁媒质，在其中把真空当作一种特殊的磁媒质，在其中4243因此，因此，L L环绕的总环绕的总的磁化电的磁化电流为流为真空中
22、安培环路定理可写成442.2.磁场强度定义磁场强度定义有磁媒质存在的情况下，安培环路定理又可以写成有磁媒质存在的情况下，安培环路定理又可以写成定义一个新的场矢量，叫做磁场强度，用定义一个新的场矢量，叫做磁场强度，用H来表示，且来表示，且这说明磁场强度的闭合线积分与闭合线环绕的自由电流总量相等。这说明磁场强度的闭合线积分与闭合线环绕的自由电流总量相等。453.3.恒定磁场的辅助方程恒定磁场的辅助方程相对磁导率小于相对磁导率小于1 1的材料称为抗磁材料的材料称为抗磁材料;相对磁导率大于相对磁导率大于1 1的材料称为顺磁材料的材料称为顺磁材料;铁铁及铁的合金相对磁导率远大于及铁的合金相对磁导率远大于
23、1 1，这类材料称为铁磁材料。，这类材料称为铁磁材料。464.4.无限大均匀磁媒质中的磁感应强度和矢量磁位无限大均匀磁媒质中的磁感应强度和矢量磁位474.7 4.7 恒定磁场的基本方程与分界面条件恒定磁场的基本方程与分界面条件1.1.恒定磁场基本方程的微分形式恒定磁场基本方程的微分形式恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程辅助方程辅助方程2.2.恒定磁场基本方程的积分形式恒定磁场基本方程的积分形式根据散度定理和斯托克斯定理，可得基本方程的积分形式根据散度定理和斯托克斯定理，可得基本方程的积分形式48493.3.媒质分界面条件媒质分界面条件50若K=051讨论磁感应强度的分界面条件。讨论磁感应强度
24、的分界面条件。52 例例4-7-14-7-1如图所示，无限长圆柱体磁导率为如图所示，无限长圆柱体磁导率为，内部沿轴线方向有均匀电流，电流密，内部沿轴线方向有均匀电流，电流密度度J=JezJ=Jez。求圆柱体内外的。求圆柱体内外的B B，H H和圆柱体内的和圆柱体内的M M，J JM M以及圆柱体表面的以及圆柱体表面的K KM M。利用安培环路定理利用安培环路定理53将磁媒质的作用等效成磁化电流的作用，应用真空中的安培环路定理，得将磁媒质的作用等效成磁化电流的作用，应用真空中的安培环路定理，得54 例例4-7-24-7-2两种磁媒质的分布如图所示，已知无限长线电流和两种媒质的磁导率，求两两种磁媒
25、质的分布如图所示，已知无限长线电流和两种媒质的磁导率，求两种媒质中的磁感应强度。种媒质中的磁感应强度。解 （a a）根据图所示电流和媒质分布情况，分界面上磁场强度只有切线分量即圆）根据图所示电流和媒质分布情况，分界面上磁场强度只有切线分量即圆周方向的分量。而分界面上磁场强度的切线分量连续，因此整个空间周方向的分量。而分界面上磁场强度的切线分量连续，因此整个空间H H连续且只有连续且只有圆周方向的分量。由安培环路定理，有圆周方向的分量。由安培环路定理，有55（b b）所示电流和媒质分布情况，分界面上磁感应强度应只有法向分量即圆周方向的）所示电流和媒质分布情况，分界面上磁感应强度应只有法向分量即圆
26、周方向的分量。而分界面上磁感应强度的法向分量连续，因此整个空间分量。而分界面上磁感应强度的法向分量连续，因此整个空间B B连续且只有圆周方向连续且只有圆周方向的分量。由安培环路定理，有的分量。由安培环路定理，有56若面电流 ,答案有否变化，如何变？思考574.8 4.8 恒定磁场的边值问题恒定磁场的边值问题矢量磁位的泊松方程和分界面条件矢量磁位的泊松方程和分界面条件称为恒定磁场的泊松方程。称为恒定磁场的泊松方程。称为恒定磁场的拉普拉斯方程。称为恒定磁场的拉普拉斯方程。58矢量磁位满足的分界面条件。矢量磁位满足的分界面条件。592.2.恒定磁场的边值问题恒定磁场的边值问题 与静电场的情况类似，恒
27、定磁场的边值问题也是由基本方程和边界条件组成。与静电场的情况类似，恒定磁场的边值问题也是由基本方程和边界条件组成。恒定磁场的基本方程为恒定磁场的基本方程为第一类边界条件是在整个边界上给定矢量磁位或其切线分量。即60第二类边界条件是在整个边界上给定磁场强度的切线分量，即还有一类边界条件称为混合边界条件。混合边界条件是在一部分边界上给定矢量磁位或其切线分量，在另一部分边界上给定磁场强度的切线分量，即613.3.恒定磁场问题解的惟一性恒定磁场问题解的惟一性 满足给定边界条件的恒定磁场基本方程的解答是惟一的。满足给定边界条件的恒定磁场基本方程的解答是惟一的。这就是恒定磁场边值问题解答的惟一性定理。这就
28、是恒定磁场边值问题解答的惟一性定理。62 例 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B。6364补充例补充例2 2 两根无限长直细导线，相距两根无限长直细导线，相距2a,2a,导线通有相反的电流导线通有相反的电流I I。求空间任一点的。求空间任一点的磁矢位磁矢位A A。解两根导线产生的磁矢位，可认为是单根导线产生磁矢解两根导线产生的磁矢位，可认为是单根导线产生磁矢位的叠加。设导线长度为位的叠加。设导线长度为2L2L，在导线的中点处作，在导线的中点处作XOYXOY平面，平面，选择如图所示的坐标系，当选择如图所示的坐标系，当L L远大于远大于a a时
29、单根导线在时单根导线在P P点产点产生的磁矢位为生的磁矢位为方向沿ez正方向65 补充例补充例3 3 由两种金属材料组成的长直圆柱导线，其截面如图所示。在由两种金属材料组成的长直圆柱导线，其截面如图所示。在0 0 1,1 1,1 2 2两种不同材料中，电流密度分别为两种不同材料中，电流密度分别为J1J1和和J2J2，磁导率均为，磁导率均为00请写出磁矢位请写出磁矢位A A所所满足的边值间题，并求出磁矢位的表达式。满足的边值间题，并求出磁矢位的表达式。解可将整个区域分为解可将整个区域分为3 3个部分，由对称性分析，磁场分布沿个部分，由对称性分析，磁场分布沿轴线方向是一样的，故是个平行平面磁场问题。磁矢位满足轴线方向是一样的，故是个平行平面磁场问题。磁矢位满足的微分方程为的微分方程为由于由于,J1,J2,J1,J2均沿轴线方向，选择圆柱坐标系，均沿轴线方向，选择圆柱坐标系，A1,A2,A3A1,A2,A3均仅有均仅有ezez方向的分量，上方向的分量，上式可写为标量形式的微分方程式可写为标量形式的微分方程66边界条件由于对称性由于对称性A1A1，A2A2，A3A3仅与仅与坐标有关，并且以坐标有关，并且以=0=0处为参考点，处为参考点，A1=0A1=0，故可得微分，故可得微分方程的通解为方程的通解为676869707172