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1、第七章第七章 二元一次方程组二元一次方程组3.二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用 孙子算经孙子算经是是我国古代一部较为我国古代一部较为普及的算书，许多普及的算书，许多问题浅显有趣，其问题浅显有趣，其中下卷第中下卷第31题题”雉雉兔同笼兔同笼”流传尤为流传尤为广泛，飘洋过海流广泛，飘洋过海流传到了日本等国传到了日本等国.情景导入情景导入“鸡兔同笼鸡兔同笼”题为题为:今有鸡兔同笼，今有鸡兔同笼，上有三十五头，上有三十五头，下有九十四足，下有九十四足，问鸡兔各几何？问鸡兔各几何？“上有三十五头上有三十五头”的意思是什么？的意思是什么？“下有九十四足下有九十四足”的意思是什么？的意思是什么？情景
2、导入情景导入3594足足头头总数总数鸡头鸡头+兔头兔头=35，鸡脚鸡脚+兔脚兔脚=94.等量关系：等量关系：xy2x4x情景导入情景导入你能找出问题中的等量关系吗？你能找出问题中的等量关系吗？2 得：得：2x+2y=70，-得：得：2y=24，y=12.把把 y=12 代入代入，得：，得：x=23.答：有答：有鸡鸡23只，兔只，兔12只只.原方程原方程组组的解是的解是 x=23，y=12.解：设有鸡解：设有鸡x只，有兔只，有兔y只只.由题意，得由题意，得 以绳测井以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？绳
3、长、井深各几何？(1)“将绳三折测之，绳多五尺将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？，什么意思？(2)“若将绳四折测之，绳多一尺若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？，又是什么意思？例题赏析例题赏析题中有哪些等量关系题中有哪些等量关系？用绳子测量水井的深度用绳子测量水井的深度.如果将绳子如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多折成三等份，一份绳长比井深多5尺；尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多井深多1尺尺.绳长、井深各是多少尺？绳长、井深各是多少尺？例题赏析例题赏析解：设绳长解：设绳长x尺，井深尺，井深y尺，由题意，得尺，由题意，得答：答：绳长绳长48尺
4、，井深尺，井深11尺尺.解得：解得：例题赏析例题赏析随堂检测随堂检测去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总入去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总入数为数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增名，计划今年秋季七年级招生人数增加加20%，高中一年级招生人数增加，高中一年级招生人数增加15%，这样，这样，今年秋季七年级和高一年级招生总人数比去年今年秋季七年级和高一年级招生总人数比去年招生总人树增加招生总人树增加18%.%.今年秋季七年级和高一今年秋季七年级和高一年级各计划招生多少名？年级各计划招生多少名？解：设平均每节火车车厢装运化肥解：设平均每节火车车厢装运化肥xt，每辆卡，每辆卡车装运化肥车
5、装运化肥yt，根据题意，得，根据题意，得整理，得整理，得整理，得整理，得列二元一次方程组解应用题的步骤是什么列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？(1)审题；审题；(2)设两个未知数，找两个等量关系；设两个未知数，找两个等量关系；(3)根据等量关系列方程，联立方程组；根据等量关系列方程，联立方程组；(4)解方程组；解方程组；(5)检验并作答检验并作答.思路总结思路总结巩固练习巩固练习1.设甲数为设甲数为x，乙数为，乙数为y，则，则“甲数的甲数的 二倍与乙数的一半的和是二倍与乙数的一半的和是15”，列出，列出 方程为方程为_.2.小刚有小刚有5角硬币和角硬币和1元硬币各若干枚，币值元硬币各若干枚
6、，币值共有六元五角，设共有六元五角，设5角有角有x枚，枚，1元有元有y枚，枚，列出方程为列出方程为 _.3.某车间有工人某车间有工人54人，每人平均每天加工人，每人平均每天加工 轴杆轴杆15个或轴承个或轴承24个，一个轴杆与两个轴承个，一个轴杆与两个轴承配成一套配成一套.若分配若分配x个工人加工轴杆，个工人加工轴杆，y个工人个工人加工轴承，正好使每天加工的产品成套，则加工轴承，正好使每天加工的产品成套，则可列方程组为可列方程组为().).x+y=54，x+y=54，15x=24y 15x=224y 15x=24y 215x=24y 15x+24y=54，x+y=54，(D)(A)(B)(C)巩
7、固练习巩固练习 有三块牧场，草长得一样快，面积有三块牧场，草长得一样快，面积分别为分别为 公顷，公顷，10公顷和公顷和24公顷，第一公顷，第一块块12头牛可吃头牛可吃4星期，第二块星期，第二块21头可吃头可吃9星星期，第三块可供多少头牛吃期，第三块可供多少头牛吃18个星期？个星期？拓展练习拓展练习解：解：设设牧牧场场每公每公顷顷原有草原有草x吨，每周新生吨，每周新生草草y吨，每吨，每头头牛每周吃草牛每周吃草a吨，第三吨，第三块块可供可供z头头牛吃牛吃18个星期，根据个星期，根据题题意得：意得：解得解得答：第三块牧场可供答：第三块牧场可供36头牛吃头牛吃18个星期个星期.所以所以2410.8a+
8、0.9a2418=18za、z=36 某工厂去年的利润某工厂去年的利润(总产值总产值-总支出总支出)为为200万万元元.今年总产值比去年增加了今年总产值比去年增加了20%，总支出比去，总支出比去年减少了年减少了10%，今年的利润为，今年的利润为780万元万元.去年的总去年的总产值、总支出各是多少万元？产值、总支出各是多少万元？分分 析：析：设去年的总产值为设去年的总产值为x万元，总支出为万元，总支出为y万元，则万元，则有有总产值总产值/万元万元总支出总支出/万元万元利润利润/万元万元去年去年 x y 200今年今年(1+20%)%)x(1-10%)%)y780解：解：设去年的总产值为设去年的总
9、产值为x万元，总支出为万元，总支出为y万元，则有万元，则有x-y=200(1+20%)%)x-(-(1-10%)%)y=780整理得整理得:x-y=2004x-3y=2600解得解得:x=2000y=1800答答:去年的总产值为去年的总产值为2000万元，总支出为万元，总支出为1800万元万元.例例2:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克配制营养品，每克甲原料甲原料含含0.5单位蛋白质和单位蛋白质和1单位铁质，每克单位铁质，每克乙原料乙原料含含0.7单位蛋白质和单位蛋白质和0.4单位铁质单位铁质.若病人每餐需要若病人每餐需要35单位蛋白质和单位蛋
10、白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？恰好满足病人的需要？分析分析:设每餐甲、乙两种原料分别需设每餐甲、乙两种原料分别需x克和克和y克，那么克，那么甲原料甲原料x克克乙原料乙原料y所配制的营养品所配制的营养品所含蛋白质所含蛋白质所含铁质所含铁质0.5 x单位单位x单位单位0.7 y单位单位0.4 y单位单位35单位单位40单位单位解：解：设每餐需甲种原料设每餐需甲种原料x克、乙种原料克、乙种原料y克克，则有则有0.5x+0.7y=35x+0.4y=40化简得化简得:5x+7y=3505x+2y=200解得解得:y=30 x
11、=28答答:每餐需甲种原料每餐需甲种原料28克、乙种原料克、乙种原料30克克练习练习:一、二两班一、二两班共有共有100名学生，他们的体育名学生，他们的体育达标率达标率(达到标准的百分率达到标准的百分率)为为81%.%.如果一班学生如果一班学生的体育达标率为的体育达标率为87.5%，二班的达标率为，二班的达标率为75%，那么一、二两班的学生数各是多少？那么一、二两班的学生数各是多少？设一、二两班学生数分别为设一、二两班学生数分别为x名、名、y名，填写下表并求出名，填写下表并求出x、y的值的值.一班一班二班二班两班总和两班总和学生数学生数达标学生数达标学生数x87.5%xy75%y10081%1
12、00补充例题补充例题有甲乙两种溶液，甲种溶液由酒精有甲乙两种溶液，甲种溶液由酒精1升，水升，水3升配制升配制而成；乙种溶液由酒精而成；乙种溶液由酒精3升，水升，水2升配制而成升配制而成.现要配现要配制浓度为制浓度为50%的酒精溶液的酒精溶液7升，甲乙两种溶液应各取升，甲乙两种溶液应各取几升？几升？分析分析:由条件知，由条件知，甲种溶液的浓度甲种溶液的浓度是是 1(1+3)=25%乙种溶液的浓度乙种溶液的浓度是是 3(3+2)=60%若设甲种溶液需若设甲种溶液需x升，乙种溶液需升，乙种溶液需y升升溶液溶液(升升)浓度浓度酒精含量酒精含量(升升)配配制制前前甲溶液甲溶液乙溶液乙溶液配制后配制后x2
13、5%25%xy60%60%y750%50%7解：解：设甲种溶液需设甲种溶液需x升，乙种溶液需升，乙种溶液需y升升，则有则有x+y=725%x+60%y=50%7化简得化简得:x+y=75x+12y=70解得解得:y=5x=2答答:甲种溶液需甲种溶液需2升，乙种溶液需升，乙种溶液需5升升.补充练习补充练习:1.某人以两种形式某人以两种形式8000元，一种储蓄的元，一种储蓄的年利率为年利率为10%，另一种储蓄的年利率为，另一种储蓄的年利率为11%.%.一年一年到期后，他共得利息到期后，他共得利息855元元(没有扣除利息税没有扣除利息税)，问两种储蓄他各存了多少钱？问两种储蓄他各存了多少钱？解：设年
14、利率为解：设年利率为11%的存的存x元，年利率元，年利率10%存存 y元元.则则:X+y=800011%x+10%y=855补充练习补充练习:2.某公司用某公司用30000元购进甲乙两种货物元购进甲乙两种货物.货物卖出货物卖出后，甲种货物获利后，甲种货物获利10%，乙种货物获利，乙种货物获利11%，共，共得利润得利润3150元，问两种货物各进多少钱的货？元，问两种货物各进多少钱的货？解：设甲种货物进解：设甲种货物进x元的货，乙种货物进元的货，乙种货物进 y元的货元的货.则则:x+y=3000010%x+11%y=3150小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下小明爸爸骑着摩托车带着小明在
15、公路上匀速行驶，下图是小明每隔图是小明每隔1小时看到的里程情况你能确定小明在小时看到的里程情况你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？时看到的里程碑上的数吗？是一个两位数，是一个两位数，它的它的两个数字两个数字之和为之和为7十位数字十位数字与与个个位数字位数字与与12:00时所看到的时所看到的正正好颠倒好颠倒了了比比12:00时看到时看到的的两位数中间两位数中间多了个多了个0读一读、想一想读一读、想一想是一个两位是一个两位数，它的数，它的两两个数字之和个数字之和为为7 十位数字十位数字与与个个位数字位数字12:00时时所看到的所看到的正好正好颠倒颠倒了了 比比12:00时看时看到的到的
16、两位数中两位数中间多了个间多了个0 如果设小明在如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字，个位数字是是y，那么，那么10 x+yx+y=7(1)12:00是小明看到的数可表示为是小明看到的数可表示为，根据两个数字和是根据两个数字和是7，可列出方程，可列出方程.自主探究自主探究是一个两位数，是一个两位数，它的它的两个数字两个数字之和为之和为7 十位十位与与个位个位数数字与字与12:00时所时所看到的看到的正好颠正好颠倒倒了了 比比12:00时看时看到的到的两位数两位数中间多了个中间多了个0 如果设小明在如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的
17、十位数字是x，个位数字是，个位数字是y，那么，那么10y+x(10y+x)-)-(10 x+y)(2)13:00是小明看到的数可表示为是小明看到的数可表示为，12:0013:00间摩托车行驶的路程是间摩托车行驶的路程是.里程碑上里程碑上的数的数自主探究自主探究是一个两位数，是一个两位数，它的它的两个数字两个数字之和为之和为7 十位十位与与个位个位数数字与字与12:00时所时所看到的看到的正好颠正好颠倒倒了了 比比12:00时看时看到的到的两位数两位数中间多了个中间多了个0 如果设小明在如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字是，个位数字是y，那么，那么10
18、0 x+y(100 x+y)-)-(10y+x)(3)14:00是小明看到的数可表示为是小明看到的数可表示为，13:0014:00间摩托车行驶的路程是间摩托车行驶的路程是.自主探究自主探究是一个两位是一个两位数，它的数，它的两两个数字之和个数字之和为为7 十位十位与与个位个位数数字与字与12:00时时所看到的所看到的正好正好颠倒颠倒了了 比比12:00时看时看到的到的两位数两位数中间多了个中间多了个0 如果设小明在如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字是，个位数字是y，那么，那么(4)12:0013:00与与13:0014:00两段时间内摩托车的行驶两段
19、时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？自主探究自主探究是一个两位数，是一个两位数，它的它的两个数字两个数字之和为之和为7 十位十位与与个位数个位数字字与与12:00时时所看到的所看到的正好正好颠倒颠倒了了 比比12:00时看时看到的到的两位数两位数中间多了个中间多了个0 解：如果设小明在解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数，个位数字是字是y，那么根据以上分析，得方程组：那么根据以上分析，得方程组：解这个方程组，得解这个方程组，得答：小明在答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是时看到的里程碑上
20、的数是16 自主探究自主探究是一个两位数，是一个两位数，它的它的两个数字两个数字之和为之和为7比比12:00时看时看到的到的两位数中两位数中间多了个间多了个0十位十位与与个位数字个位数字与与12:00时所看到时所看到的的正好颠倒正好颠倒了了棒极了！棒极了！自主探究自主探究例例1、两个两位数的和是、两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数已知前一个四位数比后一个四位数大已知前一个四位数比后一个四
21、位数大2178，求这两个，求这两个两位数两位数分析：设分析：设较大较大的的两位数两位数为为x，较小较小的的两位数两位数为为y，在较大数的右边接着写较小的数，所得到的在较大数的右边接着写较小的数，所得到的四位数四位数可表示为可表示为 ；在较大数的左边在较大数的左边接着接着写上较小的数，所得到的写上较小的数，所得到的四位数四位数可表为可表为 100 x+y100 y+x合作探究合作探究想一想：设未想一想：设未知数时用到了知数时用到了什么数学思想什么数学思想？想一想：如何设未知数想一想：如何设未知数？解：设较大的两位数为解：设较大的两位数为x，较小的两位数为，较小的两位数为y，则有：则有：化简，得化
22、简，得即即解该方程组，得解该方程组，得答：这两个两位数分别是答：这两个两位数分别是45和和23 45 23-23 45 21 78合作探究合作探究 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审：审：设：设：列：列：解：解：答：答：审清题目中有哪些已知量，有哪些未知量审清题目中有哪些已知量，有哪些未知量 设两个未知数，找到两个等量关系设两个未知数，找到两个等量关系.根据等量关系，列出方程组根据等量关系，列出方程组 解方程组，求出未知数解方程组，求出未知数 检验所求出未知数是否符合题意，并写出答案检验所求出未知数是否符合题意，并写出答案 归纳小结、整理收藏归纳
23、小结、整理收藏 1.有大、小两个两位数，在大数的右边写上一个有大、小两个两位数，在大数的右边写上一个0之之后再写上小的数，得到一个五位数；在小数的右边写上后再写上小的数，得到一个五位数；在小数的右边写上大数，然后再写上一个大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为，余数为590此外，此外，二倍大数与三倍小数的和是二倍大数与三倍小数的和是72，求这两个两位数，求这两个两位数 解：设大的两位数是解：设大的两位数是x，小的两位数是，小的两位数是y，则第一个五位数，则第一个五位数是是1000 x+y，第二个五位数是，第二个五位数是1000y+10 x，由题意，得，由题意，得 解得解得 答：这两个两位数分别为答：这两个两位数分别为21和和10.能力提升能力提升