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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-3 计数原理计数原理第一章第一章4简单计数问题简单计数问题 第一章第一章课堂典例探究课堂典例探究 2课课 时时 作作 业业3课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习能选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，应用有关排列、组合的知识解决一些简单的实际问题本节重点：两个计数原理、排列组合知识本节难点：用好两个计数原理和排列、组合的知识.一一对应元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置全部元素的排列顺序不符合要求的元素的排列顺序特殊分类排列组合1.直接法可先考虑某个元素可在某个
2、位置，或者某个位置可填某个元素而间接法，先不考虑特殊性，从总数中减去不适合条件的2解决相邻或不相邻问题的方法(1)捆绑法：解决“若干元素相邻”的排列问题，一般使用捆绑法，也就是将相邻的若干元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后再“松绑”，将被“捆绑”的若干个元素内部进行全排列(2)插空法：解决“若干元素不相邻”，也就是“若干元素间隔”的排列问题时，往往先排列好个数较少的元素，再让其余元素插排在它们之间或两端的空位中否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排列时，往往个数较多的元素有相邻的情况插空法与捆绑法有同等作用3常用的解答组合问题的方法有很多，有分类法、直接法
3、、间接法等常用的方法，还有插空法及隔板法等特殊方法要解决组合问题，还可用到构造数学模型等方法不同的方法用以解决不同的问题，要掌握好各种方法及方法应用的背景4有关组合问题的题目的背景常以“几何问题”、“产品质量抽样检测问题”、“集合问题”、“人或物的有关分配问题”等形式出现处理问题时常常利用分类思想在解组合问题及组合与排列的综合问题时，要注意准确地应用两个基本原理；要注意准确区分是排列问题还是组合问题；要注意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题5排列与组合的区别与联系：(1)根据排列与组合的定义，前者是从n个不同元素中取出m个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后
4、者只要从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换任意两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关(2)排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m(mn)个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题，例如123、321和132是不同的排
5、列，但它们都是相同的组合再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题6解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答其次要搞清需要分类，还是需要分步分类加法计数原理与分步乘法计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础切记：排组分清(有序排列、无序组合)，加乘明确(分类为加、分步为乘).1.从5名男生和5名女生中选3人
6、组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为()A100B110C120D130答案B2(2014山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A50种B51种C140种D141种答案D3由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72B96C108D144答案C4有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶
7、”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答)答案2645甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)答案336课堂典例探究课堂典例探究 如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色，每一个省(区)只染一种颜色，要求相邻的省(区)染不同的色，则不同的染色方法有多少种？与染色有关的计数问题 几何元素的计数问题 在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直
8、线？分析解答本题可用间接法求解，28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面体？解析本题的实质是从这10个点中任取4个不共面的点，共有多少种不同取法，如图所示，所取出的4点共面的情况有以下三种：利用“隔板法”解决分配问题 有10个三好学生名额，分配到高三年级六个班中，每班至少一名，共有多少种不同分法？有10个相同的小球装入3个编号分别为1、2、3的盒子中(每次要将10个球装完)，要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的做法种数是_答案15含有双重元素的组合问题 某外语组有9
9、人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？分析由题意知有1人既会英语又会日语在选择2人时，可根据只会英语的人进行分类完成解析由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语第一类：从只会英语的6人中选1人说英语有6种方法，则会日语的有213(种)此时共有6318(种)第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语有1种方法，此时选会日语的有2种故共有122(种)方法所以由分类计数原理知共有18220(种)选法车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这11名工人中选派
10、4名钳工、4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？分析把11名工人按男钳工、女车工和老师傅分为三类，然后根据要求在每一类中选取所需人数排列中的定序问题 有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数(1)选其中5人排成一行；(2)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置；(3)全体排成一行，其中甲、乙必须在两头；(4)全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；(5)全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；(6)全体排成一行，其中男生不能排在一起；(7)全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变；(8)全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人；(9)全体排成前后两排，前排3人，后排4人分析本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循：“先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相邻”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”元素常采用“插空法”的技巧，此外“正难则反”是处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正确的重要手段有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A、B两位学生去问成绩，老师对A说，你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说，你是第三名，那么这五位学生的名次排列共有几种不同的可能？