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1、-1-2 2.3 3.3 3直线与圆的位置关系-2-2.3.3直线与圆的位置关系知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析目标导航1.明确直线与圆的三种位置关系.2.根据给定的直线、圆的方程,会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系.3.能根据直线与圆的位置关系,解决有关切线,弦长等问题.-3-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),归纳总结代数法和几何法研究直线与圆的位置关系各有特点.“几何法”更多地侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”
2、,它倾向于“坐标”与“方程”.-4-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析【做一做1】直线4x+3y-40=0与圆x2+y2=64的位置关系是()A.外离B.相切C.相交D.相切或外离答案：B-5-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析-6-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析【做一做3】过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.-7-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析121.过点(x0,y0)的切线方程的求法剖析：(1)当点(x0
3、,y0)在圆x2+y2=r2上时,切线方程为x0 x+y0y=r2;(2)当点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)点(x0,y0)在圆外,假设切线的斜率存在,则可设切线方程为y-y0=k(x-x0),变成一般式kx-y+y0-kx0=0,因为与圆相切,所以可利用圆心到直线的距离等于半径,解出k.注意若此方程只有一个实根,则还有一条斜率不存在的直线也是切线,不能忽略.-8-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析12-9-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练
4、习典例透析12另外,还可以从方程的角度用两点间距离公式去计算.当直线AB的斜率存在时,这时结合根与系数的关系,进行整体代换即可求得,即将直线AB:y=kx+m代入(x-x1)2+(y-y1)2=r2,消去y得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,设直线与圆的交点A(x2,y2),B(x3,y3),则x2,x3是上述方程的两个根,由根与系数的关系,得当直线AB的斜率不存在时,将直线AB:x=n代入(x-x1)2+(y-y1)2=r2,解得A,B的纵坐标yA,yB,则|AB|=|yA-yB|.-10-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题
5、型五判断直线与圆的位置关系【例1】求当为何值时,直线x-y-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交?相切?相离?分析：可根据直线与圆的方程构成的方程组的解的情况,或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系,列条件求解的值或的取值范围.-11-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思判断直线与圆的位置关系可以从代数法和几何法两种角度入手,但用几何法解决更简便.-12-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】判断下列圆与直线的位置关系.(1)圆x2+y2-8x+2y
6、-8=0,直线4x-3y+6=0;(2)圆x2+y2-4x+3=0,直线2x-y+5=0.-13-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五圆的切线问题【例2】已知圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=1.试分别求经过下列各点的圆C的切线方程:分析：(1)可判断点A在圆上,故可用直接法求切线方程;(2)点P在圆外,可用待定系数法求切线方程;(3)点B也在圆外,可用待定系数法求切线方程,但应注意切线斜率不存在的情况.-14-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-15-2.3.3
7、直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-16-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思由于过圆外一点可以作圆的两条切线,因此在求圆的切线方程时,如果点在圆外,设切线方程为点斜式时却只得到一条切线方程,则另一条切线的斜率不存在,应单独讨论,如本例中的(3).-17-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】(1)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,求过点P(2,3)的圆的切线方程;(2)过点A(-1,4)作圆(
8、x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.-18-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-19-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五关于弦长问题【例3】求直线y=x被圆(x-2)2+(y-4)2=10所截得的弦长.分析：求直线被圆所截得的弦长的方法,一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形,二是用弦长公式.-20-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五(方法二)联立方程y=x与(x-2)2+(y-4
9、)2=10,得2x2-12x+10=0.设两个交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,于是由根与系数的关系,得x1+x2=6,x1x2=5,反思求直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的垂线段构成的直角三角形来处理.-21-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-22-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-23-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五直线与圆的综合问题【
10、例4】已知O为坐标原点,O1:x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两个交点分别为P,Q,那么当c取何值时,OPOQ?分析：利用代数方法,即联立直线与圆的方程,利用根与系数的关系对OPOQ进行转化.-24-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-25-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思当圆中的几何特征不明显时,往往采用代数法,即联立方程的思想,体现了解析几何的本质特征.这也是解决解析几何的重要方法.-26-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难
11、聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】设点O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上的P,Q两点关于直线x+my+4=0对称,且OPOQ.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.解(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,其表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.点P,Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,直线x+my+4=0过圆心(-1,3),代入直线方程得m=-1.(2)由(1)知直线PQ与直线y=x+4垂直,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=-x+b,将直线y=-x+b代入圆的方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=
12、0,-27-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-28-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【例5】求圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线l:3x+4y-11=0的距离为1的点有几个?分析：此题应从圆心到直线l的距离与圆的半径3之间的关系入手分析求解.解(方法一)圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心O1(3,3),半径r=3.设圆心O1到直线3x+4y-11=0的距离为d,如图,在圆心O1同侧,与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,这两个
13、交点符合题意.又r-d=3-2=1,-29-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.(方法二)符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线方程为3x+4y+m=0,则m+11=5,即m=-6或m=-16,故l1:3x+4y-6=0或l2:3x+4y-16=0.设圆O1:(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线l1,l2的距离分别为d1,d2,-30-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难
14、聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五l1与圆O1相切,与圆O1有一个公共点;l2与圆O1相交,与圆O1有两个公共点.故符合题意的点共有3个.反思解决有关直线与圆的问题要有作图意识,准确作图能帮助我们更快更准地分析题意.另外,要善于挖掘题目的切入点,找出临界位置是关键.-31-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】本例中,条件不变,若要求圆上的点到直线的距离分别等于 ,3,5,7,那么相应的点的个数分别是多少?解因为圆心到直线的距离为d=2,半径为3,所以圆上各点到直线距离的最大值是5.故圆上各点到直线距离等
15、于 的点有4个,故圆上各点到直线距离等于3的点有2个,故圆上各点到直线距离等于5的点有1个,故圆上各点到直线距离等于7的点有0个.-32-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析 易错点:忽视讨论直线的斜率不存在的直线致错【例6】若直线l过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l的方程.错解:设直线l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.因为直线l与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,错因分析：忘记讨论直线的斜率不存在时的情况.正解:(1)若直线l的斜率存在,设直线l:y-3=k(x-2)
16、,即kx-y+3-2k=0.因为直线l与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,-33-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五(2)若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2也符合要求.综上(1)(2)可知,直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.-34-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123451直线x+y=5和圆O:x2+y2-4y=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心-35-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析12345-3
17、6-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123453已知直线l:ax-y-b=0,圆C:x2+y2-2ax-2by=0,则l与C在同一平面直角坐标系中的图形可能是()解析：注意圆的方程的特点,易知圆C过原点,则A,C项均不正确;再由B,D两选项和圆心、直线的斜率知B项正确.答案：B-37-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123454过点A(3,-4),且与圆x2+y2=25相切的直线方程是.解析：因为点A在圆上,所以切线方程为3x+(-4)y=25,即3x-4y=25.答案：3x-4y=25-38-2.3.3直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123455已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2 ,求圆C的方程.解设圆心坐标为(3m,m),圆C和y轴相切,得圆的半径为3|m|,由半径、弦长、弦心距的关系得9m2=7+2m2,m=1.所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9,或(x+3)2+(y+1)2=9.