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1、8.68.6空间向量及其运算空间向量及其运算学科素养微专题-2-知识梳理考点自诊1.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量,其大小叫做向量的或.(2)相等向量:方向且模的向量.(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线_或,则这些向量叫做或,a平行于b记作ab.(4)共面向量:平行于同一的向量叫做共面向量.大小 方向长度模相同相等平行重合共线向量 平行向量平面学科素养微专题-3-知识梳理考点自诊2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在R,使a=b.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共
2、面存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基底.3.两个向量的数量积(1)ab=|a|b|cos.(2)ab(a,b为非零向量).(3)|a|2=.ab=0a2学科素养微专题-4-知识梳理考点自诊4.空间向量的坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=.a-b=.a=.ab=.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(a1,a2,a3)a1b1+a2b2+
3、a3b3(x2-x1,y2-y1,z2-z1)学科素养微专题-5-知识梳理考点自诊学科素养微专题-6-知识梳理考点自诊1.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有()(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.()(3)空间中任意两非零向量a,b共面.()(4)对于空间非零向量a,b,abab=0.()(5)对于非零向量b,由ab=bc,得a=c.()学科素养微专题-7-知识梳理考点自诊B解析解析:正确,中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立.正确.中若点M,A,B共线,点P不在此直线上,则不成立.学科素养微专题-8-知识梳理考
4、点自诊B学科素养微专题-9-知识梳理考点自诊C学科素养微专题-10-知识梳理考点自诊5.(2018北京朝阳期中,14)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则AC1=.学科素养微专题-11-知识梳理考点自诊关键能力学案突破-12-考点1考点2考点3考点4空间向量的线性运算空间向量的线性运算例1已知ABCD-ABCD是平行六面体.关键能力学案突破-13-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-14-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-15-考点1考点2考点3考点4思考空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有
5、什么区别与联系?解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.关键能力学案突破-16-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-17-考点1考点2考点3考点4共线定理、共面定理的应用共线定理、共面定理的应用例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2
6、)BD平面EFGH.关键能力学案突破-18-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-19-考点1考点2考点3考点4思考共线定理、共面定理有哪些应用?关键能力学案突破-20-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-21-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-22-考点1考点2考点3考点4空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算关键能力学案突破-23-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-24-考点1考点2考点3考点4思考空间向量用空间直角坐标系的坐标表示的主要用途有哪些?解题心得空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、向量垂直、向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要建立适当的坐标系,把
7、空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示,就可以使得几何证明通过代数运算得到解决,这是使用空间向量研究立体几何问题的基本思想.关键能力学案突破-25-考点1考点2考点3考点4C关键能力学案突破-26-考点1考点2考点3考点4空间向量数量积的应用空间向量数量积的应用例4如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1BD;(3)求BD1与AC夹角的余弦值.关键能力学案突破-27-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-28-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-29-考点1考点2考点3考点4思考空间向
8、量的数量积主要有哪些应用?解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为,则,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.关键能力学案突破-30-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(2018黑龙江仿真模拟四,19)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,ABAD,AB=4,AD=,CD=2,AA1=2,侧棱AA1底面ABCD,E是A1B1的中点.(1)求证:BD平面A1ACC1;(2)
9、设点Q在线段EB上,且EQEB=34,求直线CQ与平面A1ACC1所成角的正弦值.关键能力学案突破-31-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-32-考点1考点2考点3考点4关键能力学案突破-33-考点1考点2考点3考点41.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为用向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.关键能力学案突破-34-考点1考点2考点3考点41.向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即ab=ba,a(b+c)=ab+ac成立,(ab)c=a(bc)不一定成立.3.求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.