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1、2023年不等式证明若干方法 第一篇：不等式证明若干方法 安康学院 数统系数学与应用数学 专业 11 级本科生 论文设计选题实习报告 11级数学与应用数学专业科研训练2评分表 注：综合评分60的为“及格； 0，n为偶数，求证yn-1xn+xn-1yn 1x 1y 错证：yn-1xn+xn-1yn-1x-1y =(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn n为偶数， xnyn 0，又xn-yn和xn-1-yn- 1同号，yn-1xn+xn-1yn 1x-1y 错因：在x+y0的条件下，n为偶数时，xn-yn和xn-1-yn-1不愿定同号，应分x、y同号和异号两种状况探讨。 正解：应用比较法：
2、yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn 当x0,y0时，(xn-yn)(xn-1-yn-1) 0，(xy)n 0 所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn 0故：yn-1xn+xn-1yn 1x-1y 当x,y有一个是负值时，不妨设x0,y0，所以x|y| 又n为偶数时,所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)0 又(xy)n 0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn 0即 yn-1xn+xn-1yn 1x-1y 综合知原不等式成立 第三篇：不等式证明的若干方法 不等式证明的若干方法 摘要:无论是在初等数学还是在高等数学中，不等
3、式证明都是其中一块特殊重要的内容.本文主要总结了高等数学中不等式的几种证明方法,高等数学中不等式证明的常用方法有利用函数的单调性、Cauchy不等式、中值定理、泰勒公式、Jensen不等式、定积分的性质、放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式等.通过辅以例题对这些方法进行具体的分析，给出其适用范围、具体步骤及限制条件.其中利用函数的单调性和利用中值定理法是基础的方法，其它几种方法需要要重点驾驭，并可在证明中灵敏运用.关键词：不等式 积分 中值定理 Some Methods about Inequality Proof Abstract : The proving of the inequa
4、lity is a very important content, whether in elementary mathematics or in higher mathematics.This paper mainly summarizes several methods of proving the inequality in higher mathematics.In higher mathematics inequality is usually proved by applying the Monotony of a Function, Cauchy Inequality, Mean
5、 Value Theorem, Taylor Formula, Jensen Inequality, Properties of Definite Integral, to zoom in or out the integrand, variable upper limit or lower limit and so on.These methods are analyzed in detail through examples, and give its range of application, concrete steps and restricted conditions.Among
6、these methods, the Monotony of a Function and Mean Value Theorem are foundation methods and the others should be mastered conscientiously or are flexible application in the verification.keywords : inequality integral Mean Value Theorem 数学世界中的量有相等关系，也有不等关系.一般与比较量有关的问题,都要用到不等式的学问.不等式问题不仅在数学领域有广泛的应用,而且
7、在解决最优限制、最优化、经济等各种实际问题中也有广泛应用.它是探讨和学习现代科学和技术的一个重要工具.由此可见,不等式问题的重要性, 而不等式证明又是不等式问题的精髓,由于不等式的形式各不相同，所以证明没有固定的步骤可依，方法灵敏，技巧多样，因此不等式证明是数学中的难点之一.证明不等式的方法有很多,在初等数学中主要有综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法、换元法等常用方法,但高等数学中的不等式证明又比初等数学中的不等式证明更为困难,以上几种方法就很难解决高等数学 中困难的不等式问题.本文结合课本所学内容及平常积累的资料总结了几种高等数学中不等式证明的常用方法.1.利用函数的单调性 利用函数
8、单调性证明不等式的步骤:(1)构造帮助函数f(x).(2)推断单调性:求f(x),并验证f(x)在指定区间上的增减性.(3)求出区间端点的函数值或极限值,比较后推断不等式.例1 证明不等式 ep.pe 证明 要证 eppe,只需证明pelnp,即只要证明 令f(x)=lnx1-lnx(xe),则 f(x)=e)xx2lnelnp.ep因为 f(x)在e,+)上单调递减，又因为 ef(p),即lnelnp，得证.ep 一般利用函数的单调性证明不等式需根据题目条件构造函数，此函数求导后可以很简洁推断其在指定区间上的单调性，进而利用函数单调性证明不等式. 2利用Cauchy(柯西)不等式 柯西不等式
9、在不等式理论中占有重要地位,这个不等式结构对称和谐,应用广泛,奇异灵敏的运用它,可以使有些比较困难的问题迎刃而解,它的推论有多种形式,在定积分中Schwarz不等式就是其中的一个推论.2.1 柯西不等式(aibi)a2i=1i=1nn2ibi=1n2i也可写作 abi=1niiab2ii=1i=1nn2i.2.2 积分的形式 当被积函数f(x),g(x)在区间a,b上连续,则有 bbb2 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)2dx.aaa2例2 已知f(x)0,在a,b上连续,f(x)dx=2,k为随便实数,求证: ab(f(x)sinkxdx)2+(f(x)coskxdx)24.aabb
10、 2 证明 由柯西不等式知,(f(x)sinkx)2=2 aabb f(x)dxf(x)sin2kxdx aabb =2f(x)sin2kxdx.ab同理(f(x)coskxdx)22f(x)cos2kxdx, aabb所以(f(x)sinkxdx)2+(f(x)coskxdx)24.aabb此种方法一般用于要证明的不等式中的某些式子经过变形后可以干脆套用柯西不等式,这就需要对不等式认真视察和对柯西不等式的灵敏应用.3.利用中值定理 3.1 微分中值定理(主要讲利用拉格朗日中值定理)微分中值定理是微分学中最重要的理论部分,它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等.拉格朗日中值定理建立了
11、函数值与导数之间的定量关系,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式,罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊形式.而且拉格朗日公式有几种等价形式,在用拉格朗日中值定理证明不等式时要选择恰当的形式.3.1.1拉格朗日中值定理: 若函数f(x)满意如下条件：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少存在一点x，使得f(x)=3.1.2拉格朗日公式几种等价形式:(1)f(b)-f(a)=f(x)(b-a), axb;(2)f(b)-f(a)=fa+q(b-a)(b-a), 0q1;(3)f(a+h)-f(a)=f(a+qh)h, 0q1.3.1.3用拉格朗日中值定
12、理证明不等式的一般步骤: f(b)-f(a).b-a 3 (1)由题意作出a,b上的函数f(x),验证其满意条件.(2)再运用微分中值定理公式或其等价形式.(3)根据题目需要进行适当的放缩. 例3 设00时成立.下证 当0ab时,有 b-abb-aln.baa 作帮助函数f(x)=lnx，则f(x)在a,b上满意拉格朗日中值定理，故$x(a,b)，使lnb-lna1=. b-ax由于0ax. axb1lnb-lna1, bb-aab-abb-aln所以.baa由得 3.2 积分中值定理 3.2.1 积分第一中值定理 定理3.2.1 若f在a,b上连续,则至少存在一点xa,b,使得 f(x)dx
13、=f(x)(b-a).ab积分第一中值定理的条件简洁,只需f(x)在a,b上连续即可.但此定理却特殊重要,它是联系定积分与其积分函数的桥梁.其中x的灵敏性和随便性就是证明不等式的关键所在.例4 设f(x)为0,1上的非负单调非增连续函数(即当xy时,f(x)f(y),证明对于0ab1，有不等式 a0abf(x)dxf(x)dx 成立.ba证明 由题意及积分中值定理有 f(x)dx=f(x)(b-a)f(a)(b-a), axb ab 所以 1aa01f(x)dxf(a)b-aaf(x)dx.babb(-1)f(x)dxf(x)dx.0aa(1-aaa)f(x)dxb0baf(x)dx.b 因为
14、 0ab 1所以 1-aa1, b 0abf(x)dxf(x)dx.ba3.2.2 积分其次中值定理 定理3.2.2 设函数f(x)在a,b上可积.(i)若函数g(x)在a,b上是减函数，且g(x)0，则存在xa,b，使得 f(x)g(x)dx=g(a)f(x)dx; aabx(ii)若函数g(x)在a,b上是增函数，且g(x)0，则存在ha,b，使得 f(x)g(x)dx=g(b)f(x)dx.abbh推论 设函数f在a,b上可积,若g为单调函数,则存在xa,b,使得baf(x)g(x)dx=g(a)f(x)dx+g(b)f(x)dx.axbx在积分其次中值定理中,用推论证明不等式运用比较广
15、泛,推论中对g(x)的限制比定理中对g(x)的限制条件更为宽松,它解决的题目范围也会扩大.例5 设f(x)为a,b上的连续递增函数,则成立不等式 b xf(x)dxaa+bbf(x)dx.a2ba证明 要证不等式成立，只需证明 (x-a+b)f(x)dx0.2 由于f(x)单调递增，利用积分其次中值定理，则存在xa,b，使 xba+ba+ba+b)f(x)dx=f(a)(x-)dx+f(b)(x-)dx aax222bba+ba+b)dx+f(b)-f(a)(x-)dx =f(a)(x-ax22 b(x-b2-x2a+b =f(b)-f(a)-(b-x) 22 =f(b)-f(a) 得证.利用
16、中值定理证明不等式要满意定理的条件,通过构造、变换找到符合的条件，再一步步解决所要证明的不等式.微分中值定理中用的比较多的是拉格朗日中值定理,而积分中值定理中它的推论用得比较频繁. b-x(x-a)0.24利用泰勒公式 泰勒定理 若函数f在a,b上存在直至n阶的连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导函数，则对随便给定的x,x0a,b，至少存在一点x(a,b)，使得 f(x0)f(n)(x0)2f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+(x-x0)+L+(x-x0)n2!n! f(n+1)(x)+(x-x0)n+1.(n+1)!泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广,当n=0时,即是拉格朗日
17、中值定理,所以用 泰勒公式证明不等式的步骤类似于利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤,只不过泰勒公式适用于n阶导数的问题. 例6 若f(x)在0,1上二次可微,且f(0)=f(1),f(x)1.证明 f(x)证明 设x0,1,由泰勒公式知 1.2 6 1f(x1)(0-x)2，0x1x1. 21 f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+f(x2)(1-x)2, 0xx20(i=1,2,L,n), li=1,有 f(lixi)lif(xi).i=1i=1i=1nnn詹森不等式与函数的凹凸性有关，凹凸函数的性质为构建不等式和证明不等式供应了空间和根据.例7 证明不等式 abc(abc)证明 设f(
18、x)=xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数f(x)=lnx+1,f(x)=1 可知, xabca+b+c3,其中a,b,c均为正数.f(x)=xlnx在x0时为严格凸函数,依詹森不等式有 f(a+b+c1)(f(a)+f(b)+f(c)，33 7 a+b+ca+b+c1ln(alna+blnb+clnc)，333a+b+calna+blnb+clnc (a+b+c)ln3a+b+ca+b+c)aabbcc.即(3a+b+c又因为 3abc 3所以 所以(abc)a+b+c3aabbcc，不等式得证.运用詹森不等式一般要先构造满意条件的函数，即在某区间上是凸函数，接着找到合适的li，使li
19、=1.要求有良好的思维实力,擅长视察、分析.i=1n6利用定积分的性质 性质1 设f为a,b上的可积函数,若f(x)0, xa,b,则 f(x)dx0.ab 推论 若f与g为a,b上的两个可积函数，且f(x)g(x)，xa,b，则有f(x)dxg(x)dx.aabb性质2 若f在a,b上可积,则f在a,b上也可积,且 baf(x)dxf(x)dx.ab利用定积分的性质证明不等式的过程中,要学会利用微分和积分的互逆,运用积分自身的单调性,把问题的关键放在不等式两边构造的积分形式当中,再运用定积分的性质证明不等式.例8 设f(x)在0,1上连续,且f(x)0.证明 lnf(x)dxlnf(x)dx
20、.0011证明 记A=f(x)dx, 01 因为 f(x)0 所以 A0.lnf(x)f(x)f(x)=ln-1.AAA 两端积分 lnf(x)dx-lnAdx0011f(x)dx-1=0.0A10 因为 lnf(x)dxlnAdx=lnA=lnf(x)dx.0011 所以 lnf(x)dxlnf(x)dx.0011例9 设a0,函数f(x)在0,a上连续可微，证明: f(0)a1af(x)dx+0f(x)dx.a0证明 因为f(x)连续，由积分中值定理知，$x0,a，使得f(x)dx=f(x)a.0a 又因为 f(x)-f(0)=f(x)dx，0x 所以 f(0)=f(x)-f(x)dxf(
21、x)+0xx0f(x)dx a1a f(x)dx+f(x)dx 0a0 a1af(x)dx+f(x)dx.得证 00a证明定积分形式不等式常用定积分的性质,有时也与积分中值定理结合.7利用放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式 放大或缩小被积函数要留意放缩的尺度,根据被积函数的特点以及要证明的不等式进行放缩.当不等式中的被积函数连续时,可以把积分上限或下限作为一个变量,构造一个变上限或下限的积分函数,再证明不等式.例10 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数，且E(g(x)存在，证明：对随便的e0，有P(Xe)证明 记p(x)为X的密度函数,则 P(Xe)=+E(g(X).g(
22、e)ep(x)dx+eg(x)p(x)dx g(e)g(x)E(g(X)p(x)dx=.得证 -g(e)g(e)+上题是放大或缩小被积函数法在概率论问题中的应用,结合了概率中的有关期望的学问.概率论的进展是建立在微积分的基础之上,微积分的方法和理论渗透到概率 论中的各个方面.微积分是基础,在某些方面概率论和微积分有很大联系.高等数学中的一些方法可以运用到概率论中,反之,概率论中的一些学问也可以很简洁解决高等数学中的一些问题.上述总结了高等数学中证明不等式的几种方法,其中函数的单调性及中值定理比较简洁,其他几种方法需要认真驾驭.有些不等式的证明可以干脆套用公式,有些比较困难,运用的方法灵敏多变.
23、不过,利用中值定理与泰勒公式证明不等式的问题比较常见.高等数学中不等式问题有很多,证明不等式的方法也有很多,这里只是简洁总结了几种比较常用的方法,而这些方法也只是解决了高等数学中的一部分不等式问题.随着后继课程的出现如在泛函分析、复变函数、常微分方程中也会出现新的不等式问题,那么不等式证明的方法可能会有进一步的更新,这就要求大家平常思维要广袤,擅长分析解决问题,培育良好的思维习惯.对于不等式的证明要细心视察,找到最合适的方法并刚好总结.参考文献 王兴良.浅谈加强数学的应用性教学.宁夏财会,2023年10期. 凡丽.利用导数处理与不等式有关的问题.中国基础教化探讨,2023年3期. 华东师范高校
24、数学系 编.数学分析上册(第三版).北京:高等教化出版社，2023. 钱吉林 等主编.数学分析题解精粹(其次版).崇文书局,2023年3月. 茆诗松,程依明编著.概率论与数理统计教程.北京:高等教化出版社,2023,7. 李金寨 等.微积分证明不等式在高校教学中的应用和开展.吉林省教化学院学报, 2023年第九期,第26卷.120-122. 姚志健.概率论的思想方法在证明数学不等式中的应用.甘肃联合高校学报,2023年11月,第23卷第六期. 朱家荣,彭展声.浅谈一元微积分学在证明不等式中的应用.南宁师范学校高等专科学校学报,2023年3月,第23卷第1期:82-84. 王建福等编著.高等数学
25、同步辅导及习题全解.徐州:中国矿业高校出版社,2023,8. 霍连林.著名不等式.北京:中国物质出版社,1994. Tom M.Apostol.Mathematical Analysis(second Edotion).Beijing:China Machine Press,1994. Gao Mingzhe On Heisenbergs Inequality.J.Mth.Anal,1999. 第四篇：不等式的一些证明方法 数学系数学与应用数学专业2023级年论文(设计) 不等式的一些证明方法 ：不等式是数学中特殊重要的内容,不等式的证明是学习中的重点和难点,本文除总结不等式的常规证明方法外,
26、给出了不等式相关的证明方法在具体实例中的应用. 不等式;证明;方法； 应用 不等式在数学中占重要地位,由于其本身的完备性及证明的困难性,使不等式成为各类考试中的热点试题,证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中常用的方法有放缩法、代换法、归纳法、反证法等等.因此涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵敏,故本文对不等式的证明方法进行一些探讨总结.一、中学中有关不等式的证明方法 1.1中学课本中的四种证明方法 1.1.1理清不等式的证明方法 1比较法：证明不等式的基本方法,适应面宽.相减比较法欲证AB,则证A-B0.相除比较法欲证ABA0,B0,则证1.2综合法：利用平均不等式、二次方
27、程根的判别式、二项式定理、数列求和等等。此方法灵敏性大,需反复练习.3分析法：当综合法较困难或行不通时,可考虑此法,但不宜处处乱用.第1页共13页 AB 数学系数学与应用数学专业2023级年论文(设计)4数学归纳法：凡与自然数n有关的不等式,可考虑此法,但有时运用起来比较困难,应与前面几种方法协作应用.1.1.2选择典型范例,探求解题途径 例1.1.1 求证 1+2x42x3+x2 分析 用相减比较法证明A-B0.一般应将A-B变形为 2、f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同号,或变形为多个因子的2+ 2、乘积、平方式.此题可化为两个完全平方式的和或化为一个完全平方式与一个正因式的积.证
28、： Q2x4-2x3-x2+1=2x3(x-1)-(x-1)(x+1) =(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(2x3-2x+x-1) 13=2(x-1)2 442x4-2x3-x2+10 当xR时，即 1+2x42x3+x2 例1.1.2 证明 n(n+1)1).分析 题中含n,但此题用数学归纳法不易证明,通过变形后可接受平均不等式来证.11111+(1+1)+(1+1+)23n=2n nn34n+12+nn23.4.n+1=nn+1再变形=2323nn11111n+1+.+(1+1)+(1+)+.+(1+)23n=2n 证： nnn+1+1n12131n第2页共13页 数学系数学与应用
29、数学专业2023级年论文(设计) 2+ =1n34n+1+.+23nn234.n+1=nn+1 n23n131n所以 n(n+1)n(n1,n为自然数)2n 分析 与自然数有关的问题,可考虑用数学归纳法.设n=K时成立,需证n=K+1时也成立,需证明K+K+ 1K+1,可接受“凑项的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11=K+1 K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右边=2,所以, 2 证：(1)当n=2时,左边=左边右边.(2)假设n=K时, 1111+ 11+K成立,则当n=K+1时, 2K+ 1111+ K+ K+12K+1KKK+1+1K+1 = KK+1K+1=
30、K+1=K+1K+1 综上所述： 1.2关于不等式证明的常规方法1利用特殊值证明不等式 11+ 11+n 2n特殊性存在于一般规律之中,并通过特例表现出来.假如把这种辩证思想用于解题之中,就可开阔解题思路.第3页共13页 数学系数学与应用数学专业2023级年论文(设计)例1.2.1 已知ab,b0,a+b=1.求证a+(b+) 121a1b25.412112211125只需证明当ab时，a+(b+).故可设a=+x ab2411b= -x,(|x|4=.114-x244故原不等式得证.2利用分子有理化证明不等式 分母有理化是初中数学教材中重要学问,它有着广泛的应用,而分子有理化也隐含于各种习题
31、之中,它不但有各种广泛的作用,而且在证明不等式中有它的独特作用.例1.2.2 求证13-1212+11 113+12113+12,12-11= 112+11, 2*31314141 641-a+a1但由01-a)a条件,即有，0(1-a)a.24同理有0(1-b)b,0(1-c)c.即1-a)b(1-b)c(1-c)a 64 1414第9页共13页 数学系数学与应用数学专业2023级年论文(设计)与产生冲突,从而原命题成立.3构造法 在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、向量、对偶式等,完成不等式的证明.例1.3.4 求证 证： 设A=1212342n-11.2n2n+132n-
32、1242n,B=，352n+142n12342n-12n由于,，,因此AB，23452n2n+113242n-1242n2n1)()=A, 2n352n+12n+12n+1所以A2AB=(故 4判别式法 12342n-11 2n2n+1适用于含有两个或两个以上字母不等式,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑用判别式法.例1.3.5x2+x+113求证:2.x+122x2+x+1 证： 设f(x)=y=2,则(1-y)x2+x+1-y=0,所以xR，x+1当y1时,=b2-4ac0,即1-4(1-y)20，所以 |y-1|,即y.又当y=1时,方程的解x=0，x2+x+113故 2.x+1
33、221212325放缩法 第10页共13页 数学系数学与应用数学专业2023级年论文(设计)为了证明不等式的需要,有时需舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性到达目的.例1.3.6设a,b为不相等的两个正数,且a3-b3=a2-b2.求证1a+b a2+ab+b2=a+b,则(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+ 422243即(a+b)2a+b,所以a+b), 综上所述, 1a+b6向量法 向量这部分学问由于独有的形与数兼备的特点,使得向量成了数形结合的桥梁,在方法和理论上是解决其他一些问题的有利工具.对于某
34、些不等式的证明,若借助向量的数量积的性质,可使某些不等式较易得到证明.例1.3.7 求证：求证1 1-x2-x2 +9.三、小结 证明不等式的途径是对原不等式作代数变形,在初等数学中常用的第11页共13页 1a1b1c 数学系数学与应用数学专业2023级年论文(设计)方法大致有放缩法、代换法、归纳法、反证法等等.然而涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵敏,仅在中学教科书上就有很多方法,但还缺乏以充分开拓人们的思维,为此,我们要进一步探究不等式的证明方法,并给出了在实例中的应用.参考文献 段明达.不等式证明的若干方法.教学月刊(中学版),2023(6). 彭军.不等式证明的方法探究.襄樊职业技
35、术学院学报,2023(4). 周兴建.不等式证明的若干方法.中国科教创新导刊,2023(26). 郭煜,张帆不等式证明的常见方法.高等函授学报(自然科学版),2023(4). 王保国.不等式证明的六种特殊规方法.数学爱好者(高二版),2023(7). 赵向会.浅谈不等式的证明方法.张家口职业技术学院学报,2023(1). 豆俊梅.高等数学中几类不等式的证明.中国科技信息,2023(18). 刘玉琏,傅佩仁.数学分析讲义.北京:高等教化出版 第12页共13页 数学系数学与应用数学专业2023级年论文(设计)社,1988,P201-211. 牛红玲.高等数学中证明不等式的几种方法.承德民族师专学报
36、,2023(2). 王喜春.不等式证明常用的技巧.数学教学探讨,1995(2).第13页共13页 第五篇：不等式证明方法(二) 不等式证明方法 二一、学问回顾 1、反证法：从否认结论动身，经过规律推理，导出冲突，从而确定原结论的正确； 2、放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，常用的放缩方式： BB1,B1B2.A或AA1,A1A2.B舍去或加上一些项； 12nn-n-1；12nn+1-n；111 1;22nn(n+1)nn(n-1) 3、换元法：三角换元、代数换元； 4、判别式法 二、基本训练： 1、实数a、b、c不全为零的条件为 A)a、b、c全不为零 B)a、
37、b、c中至多只有一个为零 C)a、b、c只有一个为零 D)a、b、c中至少有一个不为零 2、已知a、b、c、dR+，s=abcd+，则有 a+b+ca+b+dc+d+ac+d+bA)0sB)1s2 C)2s 3D)3s0、y0，A=x+yxy,B=+，则A、B大小关系为_。 1+x+y1+x1+y5、实数x=x-y，则x的取值范围是_。y13 3三、例题分析： 例 1、x0，y0，求证：x+y(x+y) 例 2、函数f(x)=1+x2(ab)，求证：|f(a)-f(b)|a-b| 例 3、已知:a2+b2=1,x2+y2=1,求证:-1ax+by1三角换元法 例 4、求证：-1x-11判别式法
38、 x2-x+1322 3例 5、若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不行能同时大于 例 6、求证：1+ 例 7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、cR且a0)，若函数y=f(x)的图象与直线y=x和y=-x均无公共点。 1.4反证法 111+1 2求证：对于一切实数x恒有|ax2+bx+c| 四、课堂小结： 1、凡是“至少、“唯一或含有否认词的命题相宜用反证法.2、换元法主要指三角代换法多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将困难的代数问题转化成简洁的三角问题.3、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关
39、于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并留意根的取值范围和题目的限制条件.4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，留意放缩适度.五、同步练习不等式证明方法 二1、若x2+xy+y2=1且x、yR，则n=x2+y2的取值范围是4|a|A)0a+b C)cos2qlga+sin2qlgblga(+b) 3、设,yR,且x2+y2=4,则A)2- 24、若f(n)= 2xy的最大值为 x+y-2B)2+2 C)-2 D)-4 3n2+1-n,g(n)=n-n2-1,(n)= 1,则f(n),g(n),(n)的大小依次为2n_.5、设a,b是两个实数,给出以下条件:a+b1； a+b=2；a+b2；a2+b22；ab1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1的条件是_.6、a、b、cR-，ab，求证：|a+b|a2-ab+b2a2+b 2111+ a-bb-ca-c提示：换元法，令ab=mR，bc=nR 111112+2+2(n) f(n) 5、