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1、统计量及其分布第1页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布总体的分布通常是未知的，即总体的分布类型可能是未知的，或者知道分布类型但不知道具体的参数值。以无限总体为研究对象2、样本为了了解总体的分布，我们随机地抽取n个个体，记其指标值为x1,x2,xn，称其为总体的一个样本，n称为样本容量。样本中的个体称为样品。样本具有二重性：由于样本是从总体中随机抽取的，在抽取前无法预知它们的数据，因而样本是一组随机一组随机变量变量；样本在抽取之后经观测就有确定的观测值，因此样本又是一组观测值一组观测值。第2页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布样本有两类：完全样本和
2、分组样本简单随机抽样简单随机抽样满足两个要求：1、样本具有随机性随机性，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这意味着每一样品xi与总体X有相同的分布。2、样本具有独立性独立性，即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值。这意味着x1,x2,xn相互独立。设总体X的分布函数为F(x)，x1,x2,xn为取自该总体的容量为n的样本，则样本的的联合分布函数为第3页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布5.2 样本数据的整理与显示1、经验分布函数设x1,x2,xn是取自总体分布函数F(x)的样本，若将样本观测由小到大排列为x(1),x(2),x(n)，则x(1),x(
3、2),x(n)称为有序样本，用其可以定义如下函数则Fn(x)是一个分布函数，称之为经验分布函数.第4页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布定理5.2.1(格里纹科定理)设x1,x2,xn是取自总体分布函数F(x)的样本，Fn(x)是其经验分布函数,当n+时，有2、频数频率分布表例5.2.2 对样本进行分组；确定每组组距确定每组组限，取组中值；统计样本数据落入每个区间个数频数，并列出频数频率分布表第5页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布3、样本数据的图形显示例5.2.2 直方图茎叶图以百位十位为茎，个位为叶。第6页，共12页，编辑于2022年，星期二
4、第五章 统计量及其分布5.3 统计量及其分布1、统计量与抽样分布定义5.3.1 设x1,x2,xn为取自某总体的样本，若样本函数T=T(x1,x2,xn)中不含有任何未知参数,则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布。2、样本均值及其抽样分布定义5.3.2 设x1,x2,xn为取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，记为 ，满足第7页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差，则样本所有偏差之和为0。定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小。例5.3.2 定理5.3.3 设x1,x2,xn为取自某总体的样本，若总
5、体分布为N(,2),则样本均值 的精确分布为N(,2/n).若总体分布未知或不是正态分布,但均值和方差存在，则n较大时，样本均值 的渐近分布为N(,2/n).第8页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布3、样本方差与样本标准差定义5.3.3 设x1,x2,xn为取自某总体的样本,则它关于样本均值 的平均偏差平方和称为样本方差，其算术根s*称为样本标准差。在n不大时，常用作为样本方差。第9页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布样本偏差平方和有三个不同的表达式定理5.3.4 设总体X具有二阶矩，即E(X)=,Var(X)=2+,x1,x2,xn为从该总体得到的样本，和s2分别是样本均值和样本方差，则第10页，共12页，编辑于2022年，星期二第五章 统计量及其分布4、样本矩及其函数定义5.3.4 设x1,x2,xn为取自某总体的样本，则统计量分别称为样本k阶原点矩和样本k阶中心矩。定义5.3.5 设x1,x2,xn为取自某总体的样本，则统计量 称为样本偏度。定义5.3.6 设x1,x2,xn为取自某总体的样本，则统计量 称为样本峰度。第11页，共12页，编辑于2022年，星期二作业习题5.23、6习题5.31、4、11第12页，共12页，编辑于2022年，星期二