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1、1.3.1 1.3.1 函数的单调性与函数的单调性与最大（小）值最大（小）值1.3 函数的基本性质 函数是描述事物运动变化规律的数函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规那么也就基本把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质，如函数在什律。因此研究函数的性质，如函数在什么时候么时候递增或递减递增或递减，有没有，有没有最大值或最最大值或最小值小值，函数图象有什么特征等，是非常，函数图象有什么特征等，是非常重要的。重要的。观察图观察图1.3-1中的各个函数图象中的各个函数图象,你能说说它你能说说它们分别反
2、映了相应函数的哪些变化规律吗们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗?OxyOxyOxy21yOx一、复习引入一、复习引入在上面的四幅函数图象中在上面的四幅函数图象中,有的图象由左至右是上升的有的图象由左至右是上升的;有的有的图象是下降的图象是下降的;还有的图象有的部分是下降的还有的图象有的部分是下降的,有的部分是上有的部分是上升的升的.函数图象的函数图象的“上升上升”“下降下降”反映了函数的一个基本性反映了函数的一个基本性质质单调性单调性.如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”“下降下降”呢呢?以二次函数以二次函数f(x)=x2 为例为例,列出列出x,y的对应值表的对应值表:x-4-3
3、-2-1 01234f(x)=x2 16941014916 对比左图和上表对比左图和上表,可以发现什么规律可以发现什么规律?图象在图象在y轴左侧轴左侧“下降下降”,也就是也就是,在区间在区间(-,0上随着上随着x的的增大增大,相应的相应的f(x)反而随着反而随着减小减小;图象在图象在y轴右侧轴右侧“上升上升”,也就是也就是,在区间在区间(0,+)上随着上随着x的的增大增大,相应的相应的f(x)也随着也随着增大增大.OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy二、新课讲解：二、新课讲解：图象在图象在y轴的轴的右侧右侧部分是部分是上升上升的，也就是说，当的，也就是说，当x在区在区间间0，
4、+)上取值时，随着上取值时，随着x的的增大增大,相应的相应的y值也随着值也随着增大增大，即如果取即如果取x1,x20，+)，得，得到到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当那么当x1x2时，有时，有y1y2.这时我们就这时我们就说函数说函数y=x2在在0,+)上是上是增函增函数数.Oxy从函数从函数y=x2的图象（图的图象（图1）看到：）看到：函数函数f(x)在给定区间在给定区间上为增函数。上为增函数。Oxy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？函数函数f(x)在给定区间在给定区间上为减函数。上为减函
5、数。Oxy二、新课二、新课图像特征：图像特征：增函数增函数Oxyy=f(x)f(x1)f(x2)abx2x1减函数减函数Oxyf(x1)f(x2)abx2x11、增函数和减函数的概念：、增函数和减函数的概念：若若函函数数y=f(x)在在某某个个区区间间是是增增函函数数或或减减函函数数，则则就就说说函函数数y=f(x)在在这这一一区区间间具具有有（严严格格的的）单单调调性性，这这一一区区间间叫叫做做函函数数y=f(x)的的单单调调区区间间.此时也说函数是这一区间上的此时也说函数是这一区间上的单调函数单调函数.说明：说明：函数的单调区间是其定义域的函数的单调区间是其定义域的子集子集；应是该区间内应
6、是该区间内任意任意的两个实数，忽略需要的两个实数，忽略需要任任意取值意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）数）.单调性与单调区间 例如，下图中，在例如，下图中，在x1,x2那样的特那样的特 定位置上，定位置上，虽然使得虽然使得f(x1)f(x2)，但显然此图象表示的函，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数数不是一个单调函数.x0三、例题讲解三、例题讲解:例例1、下图是定义在区间下图是定义在区间-5,5的函数的函数y=f(x),根据图象说出函数根据图象说出函数的单调区间的单调区间,以及在每一单调区间上以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数
7、它是增函数还是减函数?解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5.其中其中y=f(x)在区间在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，上是减函数，在区间在区间-2，1)，3，5上是增函数上是增函数.利用定义证明函数单调性的步骤：利用定义证明函数单调性的步骤：“取值取值(任取任取)”“作差作差(商商)”“变变形形”“断号断号”“定论定论”这这五部五部.变形的方法变形的方法:配方、通分、因式分解等配方、通分、因式分解等。需把差变为需把差变为几个因子的积几个因子的积或者或者几个完全平方的和几个完全平方的和的形式，以便判的形式，以便判断与断与0的大小关系
8、的大小关系.例例2:物理学中的波意耳定律物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数为正常数)告述我们告述我们,对于一定对于一定量的气体量的气体,当其体积当其体积V减小时减小时,压强压强p将增大将增大.试用函数的单调性证明之试用函数的单调性证明之.证明:12341.设设(自变量自变量);2.比比(函数值函数值);3.判判(函数值大小关系函数值大小关系);4.结结(论论).练习练习2：判断函数判断函数f(x)=1/x在在(-，0)上是上是增函数还是减函数？并证明你的结论增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设任意解：设任意x1,x2(-，0)，且，且x10,又由又由x10,f(x1)-f(x2)0
9、,即即 f(x1)f(x2).f(x)=1/x在在(-，0)上是减函数上是减函数.能否说函数能否说函数f(x)=1/x在在(-，+)上是上是减函数？减函数？方法总结方法总结:方法总结方法总结:函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法:1、定义法；、定义法；2、图象法；、图象法；3、复合函数的增减性；、复合函数的增减性；4、导数法、导数法.复合函数的单调性复合函数的单调性:增增增增增增减减增增减减增增减减减减增增减减减减同增异减同增异减2、增、增+增增=增，增，减减+减减=减，增减，增-减减=增增减减-增增=减减.OxyOxy四、函数的最大值与最小值四、函数的最大值与最小值 一般地，设函数一般地
10、，设函数 y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存，如果存在实数在实数M满足：满足：（1）对于任意）对于任意xI，都有，都有f(x)M；（或（或f(x)M)那么，我们称那么，我们称M是函数是函数y=f(x)的最大值。的最大值。(或最小值）或最小值）2、函数最大（小）值应该是函数最大（小）值应该是所有函数所有函数值值中最大（小）的，即对于任意的中最大（小）的，即对于任意的xI，都有，都有f(x)M（或（或f(x)M）注意：注意：1、函数最大（小）值首先应该是、函数最大（小）值首先应该是某一某一个函数值个函数值，即存在，即存在x0I，使得，使得f(x0)=M；例例3、“菊花菊花”烟花是最壮观的烟
11、花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高如果在距地面高度度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m）.解：作出函数解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象的图象(如图如图).显然，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时
12、刻，纵坐标就是这时距地面标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度的高度.由于二次函数的知识，对于由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有，我们有:于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻，秒是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度为这时距地面的高度为29 m.例例4.求函数求函数 在区间在区间2，6上的最大值和最上的最大值和最小值小值 解：设解：设x1，x2是区间是区间2，6上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且x1x2,则则由于由于2x1x20，(x1-1)(x2-1)0，于是，于是所以，函数所以，函数 是区间是区间2，6上的减函数
13、上的减函数.因此，函数因此，函数 在区间在区间2，6上的两上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是时取最大值，最大值是2，在，在x=6时取最小值，最时取最小值，最小值为小值为0.4.小结小结:利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法：1.利用利用二次函数二次函数的性质的性质（配方法）（配方法）求函数的最大求函数的最大(小小)值值；2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值；3.利用利用函数单调性函数单调性判断函数的最大判断函数的最大(小小)值值.如果函数如果函数y=f(x)
14、在区间在区间a，b上单调递上单调递增增(或或单单调递调递减减)，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a)(或最或最大值大值f(a)，在在x=b处有处有最大值最大值f(b)(或最小值或最小值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在，在区间区间b，c上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b).函数单调性的应用函数单调性的应用:函数的单调性是函数的重要性质函数的单调性是函数的重要性质之一，在解决函数定义域、值域、比之一，在解决函数定义域、值域、比较大小、求解不等式等具体问题中均较大小、求解不等
15、式等具体问题中均需用到函数的单调性。下面就函数单需用到函数的单调性。下面就函数单调性的具体应用题型分类解析。调性的具体应用题型分类解析。函数单调性的应用函数单调性的应用:一、求解函数最值一、求解函数最值函数单调性的应用函数单调性的应用:函数单调性的应用函数单调性的应用:二、解不等式：二、解不等式：函数单调性的应用函数单调性的应用:函数单调性的应用函数单调性的应用:三、求参数范围三、求参数范围函数单调性的应用函数单调性的应用:函数单调性的应用函数单调性的应用:练习：练习：注意：注意：函数单调性的应用函数单调性的应用:函数单调性的应用函数单调性的应用:课堂练习课堂练习:1、函数、函数f(x)=x2
16、+4ax+2在区间在区间(-，6内递减，内递减，则则a的取值范围是的取值范围是()A、a3 B、a3C、a-3 D、a-3D2、在已知函数、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-，-2上上递减，在递减，在-2，+)上递增，则上递增，则f(x)在在1，2上上的值域的值域_.21，39练习练习2、选择题选择题（1）已知函数）已知函数f(x)在在R上是增函数，若上是增函数，若a+b0，则有（则有（）A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)f(-b)C.f(a)+f(-a)f(b)+f(-b)D.f(a)+f(-a)f(b)+f(-b)A（2)2)已知定义域
17、为已知定义域为R R 的函数的函数f(x)f(x)在区间（在区间（-,5)-,5)上单调递减，对任意实数上单调递减，对任意实数t t，都有，都有f(5+t)=f(5-t)f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子成立的是（，那么下列式子成立的是（）A.f(-1)f(9)f(13)B.f(13)f(9)f(-1)A.f(-1)f(9)f(13)B.f(13)f(9)f(-1)C.f(9)f(-1)f(13)D.f(13)f(-1)f(9)C.f(9)f(-1)f(13)D.f(13)f(-1)f(9)C 函数的对称性函数的对称性:（3)已知函数已知函数f(x)是是R上的增函数，上的增函数，A(0，
18、-1)，B(3，1)是其图像上两点，那么是其图像上两点，那么|f(x+1)|1的解集的解集的补集是的补集是 （）A.(-1，2)C.(-，-1 4，+)B.(1，4)D.(-，-1 2，+)D课堂小结根据定义证明函数单调性的一般步骤是：根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设设x1，x2给定区间，且给定区间，且x1x2；作差作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形（要注意变形的程度）；，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断上述差的符号（正负）（要注意说理的充分性）；判断上述差的符号（正负）（要注意说理的充分性）；下结论（若差下结论（若差0，则为减函数），则为减函数）讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域；函数的单调性，必须先确定函数的定义域；3.函数的最大值与最小值。函数的最大值与最小值。