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1、1.1.1 算法的概念算法的含义算法的含义 一般地一般地,对于一项任务,按照事先设计好的步骤,对于一项任务,按照事先设计好的步骤,一步一步的执行,并在有限步内完成任务,则这些步一步一步的执行,并在有限步内完成任务,则这些步骤称为完成该任务的一个骤称为完成该任务的一个算法算法。所所谓谓“算算法法”就就是是解解题题方方法法的的精精确确描描述述.从从更更广广义义的的角角度度来来看看,并并不不是是只只有有“计计算算”的的问问题题才才有有算算法法,日日常常生生活活中中处处处处都都有有.如如乐乐谱谱是是乐乐队队演演奏奏的的算算法法,菜菜谱谱是做菜肴的算法是做菜肴的算法,珠算口诀珠算口诀是使用算盘的算法是使
2、用算盘的算法.按照这样的理解按照这样的理解,我们可以设计出很多具我们可以设计出很多具体数学问题的算法体数学问题的算法.下面看几个例子下面看几个例子:问题问题1:请写出解二元一次方程组请写出解二元一次方程组的详细求解步骤的详细求解步骤.第一步第一步:2得得:5x=1 第二步第二步:解解得得:第三步第三步:-2得得:5y=3 第四步第四步:解解得得:第五步第五步:得到方程组的解为得到方程组的解为 也可以按照上述步骤来求解也可以按照上述步骤来求解.这些步骤就构成了解二这些步骤就构成了解二元一次方程组的元一次方程组的算法算法.第一步第一步,第二步第二步,解(解(3)得:)得:第四步第四步,解(解(4)
3、得)得 第三步第三步,第五步第五步,得到方程组的解为得到方程组的解为 变一变:变一变:其他解法?其他解法?解法二:解法二:第一步:第一步:第二步:第二步:第三步:第三步:解解,得,得 将将带入带入得得 得变一变:变一变:解法一:解法一:加减消元法加减消元法代入消元法代入消元法 第四步第四步,得到方程组的解为得到方程组的解为 算法的含义算法的含义 在数学中在数学中,算法通常指算法通常指按照一定规则解决某按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤一类问题的明确和有限的步骤.现在现在,算法通常可以编成计算机程序算法通常可以编成计算机程序,让计算让计算机执行并解决问题机执行并解决问题.例例1(1)设
4、计一个算法,判断)设计一个算法,判断7是否为质数;是否为质数;(2)设计一个算法,判断)设计一个算法,判断35是否为质数。是否为质数。第一步,用第一步,用2除除7,得到余数,得到余数1。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以2不能整除不能整除7。第二步,用第二步,用3除除7,得到余数,得到余数1。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以3不能整除不能整除7。第三步,用第三步,用4除除7,得到余数,得到余数3。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以4不能整除不能整除7。第四步,用第四步,用5除除7,得到余数,得到余数2。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以5不能整除不能整除7。第五步,用
5、第五步,用6除除7,得到余数,得到余数1。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以6不能整除不能整除7。因此,因此,7是质数。是质数。例题讲解第一步,用第一步,用2除除35,得到余数,得到余数1。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以2不能整除不能整除35。第二步,用第二步,用3除除35,得到余数,得到余数2。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以3不能整除不能整除35。第三步,用第三步,用4除除35,得到余数,得到余数3。因为余数不为。因为余数不为0,所以,所以4不能整除不能整除35。第四步,用第四步,用5除除35,得到余数,得到余数0。因为余数为。因为余数为0,所以,所以5能整除能整除
6、35。因此,因此,35不是质数。不是质数。(2)设计一个算法,判断)设计一个算法,判断35是否为质数。是否为质数。探究:探究:你能写出你能写出“判断整数判断整数n(nn(n2)2)是否为质是否为质数数”的算法吗?的算法吗?第一步,给定大于第一步,给定大于2的整数的整数n.第二步,令第二步,令i=2.第三步,用第三步,用i除除n,得到余数,得到余数r,判断余数判断余数r是否为是否为0.若是,若是,则则n不是质数,结束算法;不是质数,结束算法;否则将否则将i的值增加的值增加1,仍用,仍用i表示。表示。第四步,判断第四步,判断i是否大于是否大于(n-1),若是若是,则则n是质数是质数;否否则则,返回
7、第三步。返回第三步。二分法二分法 对于区间对于区间a,b 上连续不断、且上连续不断、且f(a)f(b)0)的近似解的算法的近似解的算法.算法分析算法分析:令令 ,则方程则方程 的解就是函数的解就是函数f(x)的的零点零点.“二分法二分法”的基本思想是的基本思想是:把函数把函数f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间a,b“一分为二一分为二”,得到得到a,m和和m,b.根据根据“f(a)f(m)0)的近似解的算法的近似解的算法.第一步:令第一步:令f(x)=x2-2,给定精确度给定精确度d.第五步,若第五步,若f(a)f(m)0,则含零点的区间为则含零点的区间为a,m;否否则含零点的区间为则含零
8、点的区间为m,b.将新得到的含零点的区间仍将新得到的含零点的区间仍记为记为a,b.第二步,确定区间第二步,确定区间a,b,满足满足f(a)f(b)0第三步,取区间中点第三步,取区间中点m=.第六步,判断第六步,判断a,b的长度是否小于的长度是否小于d;若是若是,则则a或或b是方是方程的近似解程的近似解;否则否则,返回第三步返回第三步.第四步,判断第四步,判断f(m)是否为是否为0,若是若是,则则m为所求为所求;若否若否,则则判断判断f(a)f(m)的符号的符号.按照以上步骤,我们将得到下表:按照以上步骤,我们将得到下表:a ab bm mf(mf(m)d d1 12 21.51.50.250.
9、251 11 11.51.51.251.25-0.4375-0.43750.50.51.251.251.51.51.3751.375-0.109375-0.1093750.250.251.3751.3751.51.51.43751.43750.066406250.066406250.1250.1251.3751.3751.43751.43751.406251.40625-0.02246094-0.022460940.06250.06251.406251.406251.43751.43751.4218751.4218750.0217285160.0217285160.031250.031251.
10、406251.406251.4218751.4218751.41406251.4140625-0.00042725-0.000427250.0156250.0156251.41406251.41406251.4218751.4218751.417968751.417968750.0106353760.0106353760.00781250.00781251.41406251.41406251.4179691.4179691.416015631.416015630.005100250.005100250.003906250.00390625当当d=0.005时时2.算法的特性:算法的特性:(1
11、1)有限性:)有限性:一个算法应包括有限的操作步骤,能在一个算法应包括有限的操作步骤,能在执行有限的操作步骤之后结束。执行有限的操作步骤之后结束。1.1.算法的概念算法的概念(狭义的):(狭义的):在数学中,现代意义上的在数学中,现代意义上的“算法算法”通常是通常是指指可以用可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.课堂小结2.算法的特性:算法的特性:(1 1)有限性:)有限性:算法的计算规则及相应的计算步骤必须算法的计算规则及相应的计算
12、步骤必须是唯一确定的,既不能含糊其词,也不能有歧义性。是唯一确定的,既不能含糊其词,也不能有歧义性。(2 2)确定性:)确定性:2.算法的特性:算法的特性:(1 1)有限性:)有限性:算法中的每一个步骤都是可以在有限的算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作,并能得到确定的结果。时间内完成的基本操作,并能得到确定的结果。(2 2)确定性:)确定性:(3 3)可行性:)可行性:2.算法的特性:算法的特性:(1 1)有限性:)有限性:求求解某解某一个问题的方法不一定是惟一一个问题的方法不一定是惟一的,对于同一个问题可以有不同的算法。的,对于同一个问题可以有不同的算法。(2 2)确定性:)确定性:(3 3)可行性:)可行性:(4 4)不惟一性:)不惟一性: