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1、概率论与数理统计教程茆诗松第二章第1页，此课件共98页哦2.1 随机变量及其分布 (1)掷一颗骰子，出现的点数 X1，2，6.(2)n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n (3)某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，(4)某种型号电视机的寿命 T:0,+)第2页，此课件共98页哦2.1.1 随机变量的定义定义2.1.1 设 =为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.第3页，此课件共98页哦注 意 点(1)(1)随机变量X()是样本点的函数，其定义域为，其值域为R=(，)若 X 表示掷一颗骰子出现的点数，则 X=1.5 是不可能事件.(2)若 X 为随机变量，则
2、 X=k、a X b、均为随机事件.即 a X b=；a X()b 第4页，此课件共98页哦注 意 点(2)(3)注意以下一些表达式：X=k=X kX k；a b=X b.(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.第5页，此课件共98页哦若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量.若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b，则称 X 为连续随机变量.前例中的 X,Y,Z 为离散随机变量；而 T 为连续随机变量.两类随机变量第6页，此课件共98页哦定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x，称 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数.基本性质：(1)
3、F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.2.1.2 随机变量的分布函数第7页，此课件共98页哦2.1.3 离散随机变量的分布列设离散随机变量 X 的可能取值为：x1，x2，xn，称 pi=P(X=xi)，i=1,2,为 X 的分布列.分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn 第8页，此课件共98页哦分布列的基本性质 (1)pi 0，(2)(正则性)(非负性)第9页，此课件共98页哦注 意 点(1)求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率.第10页，此课件共98页哦注 意 点
4、(2)对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.第11页，此课件共98页哦例2.1.1已知 X 的分布列如下：X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函数.解：第12页，此课件共98页哦X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：例2.1.2已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.第13页，此课件共98页哦2.1.4 连续随机变量的密度函数连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用
5、P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.第14页，此课件共98页哦定义2.1.4设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，若存在非负可积函数 p(x)，满足：称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.第15页，此课件共98页哦密度函数的基本性质满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性)第16页，此课件共98页哦注意点(1)(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;第17页，此课件共98页哦(4)PaXb=PaXb =PaXb =PaXb =F(b)F
6、(a).注意点(2)(5)当F(x)在x点可导时,p(x)=当F(x)在x点不可导时,可令p(x)=0.第18页，此课件共98页哦连续型1.密度函数 X p(x)(不唯一)2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=3.F(a+0)=F(a);P(a a 和 B=Y a 独立，解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)从中解得且 P(AB)=3/4,求常数 a.且由A、B 独立，得=2P(A)P(A)2=3/4从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a a)例2.1.5第22页，此课件共98页哦 设 X p(x)，且 p(
7、x)=p(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a0，有()F(a)=1 F(a)=F(a)=F(a)F(a)=2F(a)1课堂练习第23页，此课件共98页哦2.2 随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?第24页，此课件共98页哦两种分法 1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 第25页，此课件共98页哦2.
8、2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望”所得是：01/4+100 3/4=75.第26页，此课件共98页哦2.2.2 数学期望的定义定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数绝对收敛，则称该级数为X 的数学期望，记为第27页，此课件共98页哦连续随机变量的数学期望定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X 的数学期望，记为第28页，此课件共98页哦例2.2.1则E(X)=10.2
9、+00.1+10.4+20.3=0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3第29页，此课件共98页哦o数学期望简称为期望.o数学期望又称为均值.o数学期望是一种加权平均.注 意 点第30页，此课件共98页哦2.2.3 数学期望的性质定理2.2.1 设 Y=g(X)是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则第31页，此课件共98页哦例2.2.2 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4第32页，此课件共98页哦数学期望的性
10、质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X)第33页，此课件共98页哦例2.2.3设 X 求下列 X 的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X 2)2解:(1)E(2X 1)=1/3,(2)E(X 2)2=11/6.第34页，此课件共98页哦2.3 随机变量的方差与标准差o数学期望反映了X 取值的中心.o方差反映了X 取值的离散程度.第35页，此课件共98页哦2.3.1 方差与标准差的定义定义2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X)2 第36页
11、，此课件共98页哦(2)称注 意 点X=(X)=(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X 的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.第37页，此课件共98页哦2.3.2 方差的性质(1)Var(c)=0.性质 2.3.2(2)Var(aX+b)=a2 Var(X).性质 2.3.3(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.性质 2.3.1第38页，此课件共98页哦例2.3.1 设 X,求 E(X),Var(X).解:(1)E(X)=1(2)E(X2)=7/6所以,Var(X)=E(X2)E(X)2=7/6 1=1/6第39页，此课件共98页哦课堂练
12、习 设则方差 Var(X)=()。问题：问题：Var(Var(X)=1/6,)=1/6,为什么为什么？第40页，此课件共98页哦随机变量的标准化 设 Var(X)0,令则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.称 Y 为 X 的标准化.第41页，此课件共98页哦2.3.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数，有下面不等式成立第42页，此课件共98页哦 例2.3.2设 X证明证明:E(X)=n+1E(X2)=(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(这里,=n+1)由此得第43页，此课件共98页哦定理 2.3.2 Var(X)=0P
13、(X=a)=1第44页，此课件共98页哦2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X b(n,p).oX为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称 b(1,p)为 0-1分布.第45页，此课件共98页哦 试验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,所以,X b(4,0.8)思考：若 Y 为不合格品件数，Y？Y b(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服从二项分布.第46页，此课件共98页哦 例2.4.1 设X b(2,p)，Y b(4,p)，已知 P(X1)=8/9，求 P(Y1).解:由 P(X1)=8/9，
14、知 P(X=0)=1/9.由此得：P(Y1)=1 P(Y=0)所以 1/9=P(X=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第47页，此课件共98页哦若随机变量 X 的概率分布为则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().2.4.2 泊松分布第48页，此课件共98页哦泊松定理定理2.4.1(二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中成功的概率.若 npn，则第49页，此课件共98页哦记为 X h(n,N,M).超几何分布对应于不返回抽样模型：N 个产品中有 M 个不合格品，从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3 超几何分布第50页
15、，此课件共98页哦记为 X Ge(p)X 为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.几何分布具有无记忆性，即：P(X m+n|X m)=P(X n)2.4.4 几何分布第51页，此课件共98页哦负二项分布(巴斯卡分布)记为X Nb(r,p).X 为独立重复的伯努里试验中，“第 r 次成功”时的试验次数.第52页，此课件共98页哦注 意 点(1)二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.第53页，此课件共98页哦常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p)的数学期望 =1/p 0-1 分布的数学期望 =p 二项分布 b(n,p)的数学期望 =n
16、p 泊松分布 P()的数学期望 =第54页，此课件共98页哦常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 =p(1p)二项分布 b(n,p)的方差=np(1p)泊松分布 P()的方差=几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2第55页，此课件共98页哦2.5 常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。第56页，此课件共98页哦记为X N(,2),其中 0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数.2.5.1 正态分布第57页，此课件共98页哦yxO第58页，此课件共98页哦正态分布的性质(1)p(x)关于 是对称的.p(x)x0在 点 p(x)取得最大值.(2)若 固定,改变,(3)若
17、固定,改变,小大p(x)左右移动,形状保持不变.越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭.第59页，此课件共98页哦p(x)x0 xx标准正态分布N(0,1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).第60页，此课件共98页哦(x)的计算(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.(2)x a)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则 P(|X|a)=P(aX1.96),P(|X|1.96)P(|X|1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66)=0.9515,故 b=1.66而(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故 a
18、=1.65例2.5.2第63页，此课件共98页哦一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X N(,2),则 Y N(0,1).推论:若 X N(,2),则第64页，此课件共98页哦若 X N(,2),则 P(Xa)=第65页，此课件共98页哦 设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).解:P(10X13)=(1.5)(0)=0.9332 0.5P(|X10|2)=P(8Xk=PXk,则 k=().3课堂练习(1)第68页，此课件共98页哦 设 X N(,42),Y N(,52),记 p1=PX 4，p2=PY+5,则()对任意的 ，都有 p1=p2 对任意的 ，都有 p
19、1 p2课堂练习(2)第69页，此课件共98页哦 设 X N(,2),则随 的增大，概率 P|X|()单调增大 单调减少 保持不变 增减不定课堂练习(3)第70页，此课件共98页哦正态分布的 3 原则设 X N(,2),则 P(|X|)=0.6828.P(|X|2)=0.9545.P(|X|3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.5第73页，此课件共98页哦2.5.3 指数分布记为 X Exp(),其中 0.特别：指数分布具有无忆性，即：P(X s+t|X
20、 s)=P(X t)第74页，此课件共98页哦2.5.4 伽玛分布记为 X Ga(,),其中 0，0.为伽玛函数.称第75页，此课件共98页哦注意点(1)(1)=1,(1/2)=(n+1)=n!(2)Ga(1,)=Exp()Ga(n/2,1/2)=2(n)第76页，此课件共98页哦2.5.5 贝塔分布记为 X Be(a,b),其中a 0，b 0.称为贝塔函数.第77页，此课件共98页哦注意点(1)(2)B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=(a)(b)/(a+b)(3)Be(1,1)=U(0,1)第78页，此课件共98页哦常用连续分布的数学期望 均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/
21、2 指数分布 Exp():E(X)=1/正态分布 N(,2):E(X)=伽玛分布 Ga(,):E(X)=/贝塔分布 Be(a,b):E(X)=a/(a+b)第79页，此课件共98页哦常用连续分布的方差 均匀分布 U(a,b)的方差=(b a)2/12 指数分布 Exp()的方差=1/2 正态分布 N(,2)的方差=2第80页，此课件共98页哦例2.5.6 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数 n,p 的值为多少？例2.5.7 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则 E(X2)的值为多少？解：从 2.4
22、=np,1.44=np(1p)中解得解：因为 E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4第81页，此课件共98页哦 设 E(X)=，Var(X)=2，则对任意常 数 C，必有（）.课堂练习第82页，此课件共98页哦2.6 随机变量函数的分布问题：已知 X 的分布，求 Y=g(X)的分布。例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.第83页，此课件共98页哦 当 X 为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.2.6.1 离散随机变量函数的分布第84页，此课件共
23、98页哦2.6.2 连续随机变量函数的分布定理2.6.1 设 X pX(x)，y=g(x)是 x 的严格 单调函数，记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:第85页，此课件共98页哦例2.6.1 设 X 求 Y=eX 的分布.y=ex 单调可导,反函数 x=h(y)=lny,所以当 y 0 时,由此得解：第86页，此课件共98页哦正态变量的线性不变性定理2.6.2 设 X N(,2)，则当a 0 时，Y=aX+b N(a+b,a22).由此得：若 X N(,2)，则 Y=(X)/N(0,1).第87页，此课件共98页哦对数正态分布定理2.6.3
24、 设 X N(,2)，则 Y=e X 的服从第88页，此课件共98页哦伽玛分布的有用结论定理2.6.4 设 X Ga(,)，则当k 0 时，Y=kX Ga(,/k).第89页，此课件共98页哦均匀分布的有用结论 定理2.6.5 设 X FX(x)，若FX(x)为严格单调增的连 续函数，则Y=FX(X)U(0,1).第90页，此课件共98页哦2.7 分布的其它特征数o矩、变异系数、分位数、中位数第91页，此课件共98页哦2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.注意:1=E(X).k 阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.注意:2=Var(X).定义2.
25、7.1第92页，此课件共98页哦2.7.2 变异系数定义2.7.2 为 X 的变异系数.作用：称CV 是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.第93页，此课件共98页哦2.7.3 分位数P(X xp)=F(xp)=p定义2.7.3 设 0 p 1，若 xp 满足则称 xp 为此分布 p-分位数，亦称 xp 为下侧 p-分位数.第94页，此课件共98页哦注 意 点(1)因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p，所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p.(2)对离散分布不一定存在 p-分位数.(3)第95页，此课件共98页哦上侧 p-分位数若记 xp 为上侧 p-分位数，即则P(X xp)=p 第96页，此课件共98页哦2.7.4 中位数定义2.7.4 称 p=0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.第97页，此课件共98页哦中位数与均值 相同点：都是反映随机变量的位置特征.不同点：含义不同.第98页，此课件共98页哦