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1、线性分组码的例子第1页，共18页，编辑于2022年，星期一内容提要n汉明码nRM码n格雷码n交织码第2页，共18页，编辑于2022年，星期一汉明码n对任意整数m2，存在满足如下条件的汉明码q码长n=2m-1q信息符号数k=2m-m-1q校验符号数n-k=mq纠错能力t=1（dmin=3）n该码的奇偶校验阵H由所有非零的m维列向量构成，前m列可写成单位阵。nH的任何两列都不同，且非零，故任意两列相加不为0，故最小距离至少为3；而任意两列之和必定为H的某个列向量，因为H包括所有非零m维列向量，故有三个列向量之和为0，所以最小距离为3第3页，共18页，编辑于2022年，星期一汉明码的标准阵n可将所有
2、重量为t=1的n=2m-1个向量作为陪集首，共2m-1个，又因为n-k=m，即该码有2m个陪集，因此0向量和所有重量为1的m维向量首构成了标准阵的所有陪集首n故汉明码只能纠正t=1个错误，可用查表译码n完备码：若标准阵的陪集首全都是重量小于等于t的向量（错误模式），即可纠正错误模式的重量都小于等于t。n汉明码和(23,12)格雷码是完备码，完备码很少第4页，共18页，编辑于2022年，星期一汉明码的改造n删除H的若干列，如重量为偶数的列，得到新的H，其最小距离为4，称为“缩短的汉明码”n缩短汉明码保证校验位数目不变，减少了信息位的数目，降低了码率n纠错能力没变，陪集首依然没变，全是重量为1的错
3、误模式，检错能力？n译码：看校正子的情况：0，重量为奇数（可纠正1个错，查表），重量为偶数（不可纠正错误）n漏检率很低，符合漏检率的理论上界，故是好的差错检测码第5页，共18页，编辑于2022年，星期一检测两个错，纠正一个错的码 SEC-DEDn首先构造码长n=2m-1，最小距离为3的汉明码n从此汉明码的H阵中删除一些列，得到H0满足：q每列有奇数个1q1的个数尽可能小q每一行中1的个数都应该相等或极可能接近均值第一个条件保证最小距离至少为4，二、三个条件为了实现简单Hsiao提出了一种构造H0的算法并找到了一些最优的SEC-DED码第6页，共18页，编辑于2022年，星期一Reed-Mull
4、er，RM码nr阶RM(r,m)码，纠正多个错误，Muller提出，Reed译码q码长：n=2mq维数(信息序列的长度)：q最小距离：dmin=2m-rn若令m=5，r=2，那么n=32，k(2,5)=16,dmin=8，即存在一个(32,16)RM码第7页，共18页，编辑于2022年，星期一RM码的构造n设v0是全1向量，1=i=m，由此定义了v0,v1,vmn定义向量运算“”，ab=(a1b1,a2b2,anbn)，简记为abn集合Grm(r,m)=v0,v1,vm,v1v2,v1v3,vm-1vm,vm-r+1vm共有k(r,m)个元素，是(2m,k)RM码的生成向量，即可张成整个码空间
5、的基。将每个元素看成矩阵的一行，就得到生成矩阵。n集合Grm(r-1,m)是Grm(r,m)的真子集，是r-1阶RM码的生成矩阵。第8页，共18页，编辑于2022年，星期一RM码nGrm(r,m)中所有向量都是偶数重量nm-r-1阶RM码(m-r-1,m)的对偶码是r阶RM码(r,m)n零阶RM码RM(0,m)是重复码n而(m-1)阶RM码是单奇偶校验码，k=2m-1第9页，共18页，编辑于2022年，星期一RM码的译码，例子说明n此码是最小距离为4的(16,11)线性码，假设信息序列：n观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：4个彼此独立
6、的方程求a12的值，可用于校验，若接受序列中只有一个错误，则4个值中只错一个，采用大多数原则可纠错，这就是大数逻辑判决准则译码第10页，共18页，编辑于2022年，星期一RM码的译码naij被正确译码后，考虑n传输没出错，则有n利用基向量的特点，发现两个连续分量的和的关系，构建ai的独立判定方程，再用大数逻辑判决译码n类似上面步骤，最后译码a0，共三步（r+1步）第11页，共18页，编辑于2022年，星期一(24,12)格雷码n汉明码外唯一一个非平凡二进制完备码(23,12)格雷码，最小距离7n(23,12)格雷码通过增加一个总的奇偶校验位，构成(24,12)码，最小距离为8，但非完备码n设其
7、生成矩阵G=P I12,P 如右，且满足：P沿对角线对称，且PP=I H=I12,P，自偶码第12页，共18页，编辑于2022年，星期一格雷码的译码n设错误模式为e=(x,y)，校正子s=eHT=(x,y)HT=(x,y)I PT=x+yPT=x+yP，可得到y=(x+s)Pn对任何可纠正错误模式e，满足w(e)4，有四种可能:(1)w(y)=0,w(x)=3,(2)w(y)=1,w(x)=2,(3)w(y)=2,w(x)=1,(4)w(y)=3,w(x)=0，令ej分别表示这四种可能的错误模式，ej=(x,y)，其中w(y)=j，0=j4,令ui表示仅第i个分量为1的12维向量，pi=uiP
8、表示P的第i行q若e=e0，则有s=x，w(s)=w(x)=3,e=(x,y)=(s,0)q若e=e1,令y=ui,则有s=x+pi,即x=s+pi,e=(x,y)=(s+pi,ui)q若e=e2或e3,w(x)=0,则有e=(x,y)=(0,sP)q若e=e2且w(x)=1,令x=ui,则y=(x+s)P=(ui+s)P=pi+sP,故e=(x,y)=(ui,pi+sP)第13页，共18页，编辑于2022年，星期一(24,12)格雷码的译码1.计算接受序列r的校正子s2.若w(s)=3，则令e=(s,0)，跳到步骤83.若某个pi，有w(s+pi)=2，令e=(s+pi,ui)，跳到步骤84
9、.计算sP5.若w(sP)=2 or 3,则令e=(0,sP)并转步骤86.若某个pi,w(sP+pi)=2，则令e=(ui,sP+pi),跳到步骤87.若校正子s与可纠错模式e不相同，则停止译码或要求重传，译码错误8.令译出的码字v=r+e充分利用了码和错误模式的结构特点设计算法第14页，共18页，编辑于2022年，星期一乘积码n乘积码是短的分量码构造高效长码的一种技术n设有两个线性码C1(n1,k1)和C2(n2,k2)，可构造一个(n1n2,k1k2)的线性码，其码字是一个n1n2的矩阵，此矩阵的每一行是C1的码字，每一列是C2的码字，这是一个二维码，是C1和C2的直积n如右图所示乘积码
10、 的码矩阵第15页，共18页，编辑于2022年，星期一乘积码n构造过程：q对待编码的k1k2信息序列 置于右边矩阵的右上角q信息位的每一行采用C1中的码字进行编码,得到行校验位，即得到k2xn1矩阵q对每一列采用C2中的码字进行编码，得到列校验位和校验位的校验位n乘积码的最小距离dmin=d1d2n乘积码的码率较低第16页，共18页，编辑于2022年，星期一交织码n给定一个线性码C(n,k)，可以构造一个()线性码 ，交织码,interleaved coden交织方法：取C的 个码字排成 行的矩阵形式，然后按照逐列的方式传输该矩阵，称为交织深度或交织度，交织码和码C具有相同的dminn交织码简单说就是按列的方式传输码字n当且仅当上述矩阵的每一行的错误模式都是可纠正错误模式时，错误可纠正第17页，共18页，编辑于2022年，星期一分组交织码n设有个 线性分组码Ci(n,ki),从这些码中，各取一个码字做行，构成一矩阵n按列传输矩阵n这 个码的交织构成了一个()交织码，记为n 用于纠正聚集突发错误第18页，共18页，编辑于2022年，星期一