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1、三角函数的图象和性质教学案例 深圳市龙华中学 刘国营【教学目标】（一）知识目标：1会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、会用正弦函数的图像平移做余弦函数的图象；3、掌握五点法画正弦函数的图象和余弦函数的图象。（二）能力目标：1、通过本节课教学培养同学们分析问题和解决问题的能力，2、培养学生的数形结合的数学思想。（三）情感目标1、使学生理解动与静的辨正关系。2、渗透由特殊到一般、从一般到特殊的辩证思想；3、培养同学们严谨的科学精神。【教学重点】用五点法画正弦曲线、余弦曲线。【教学难点】一、利用单位圆中的正弦线画出函数y=sinx,x?0,2p的图象；二、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。
2、【课时安排】一课时【教学过程设计】教师活动学生活动设计意图 一、创设情景：以前，我们已经学过哪些函数？对于这些函数我们都讨论过它们的图象及性质。那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢？今天，我们就来探讨一下：教 师 活 动 学生一起回答：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数。学 生 活 动回顾原来函数的内容，为即将学习的新知识做好铺垫，类比。设计意图 二、师生互动，建构数学 首先,同学们回顾一下三角函数线。提问：1、如何画函数的图象?有哪些方法?2、如何画出函数y=sinx的图象？新问题：、怎样得到函数图象上点的两个坐标数据？2、由于对一般角的三角函数值都是近似值，作
3、图的不够精确，我们如何得到任意角的三角函数值并，即如何在直角坐标系中准确的描出此点（x0,sinx0）？很好！（用课件展示如何描点）下面，我们利用单位圆中的正弦线来看如何准确描点的！（打开课件,引导学生仔细观察过程）启发学生：那我们能不能用我们作这个点的方法来画正弦函数的图象呢？下面，我们利用这种方法来画一下正弦函数的图象。（打开课件,引导学生仔细观察过程）请一个同学来归纳一下作图的步骤：利用单位圆中的正弦线来画正弦函数的图象步骤：（1）作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆（2）把单位圆分成12等分（等分越多，画出的图象越精确），可分别在单位圆中作出对应于x的0,.,2p 的正弦函数
4、线。（3）找横坐标：把x轴上从0到2p(2p6.28)这一段分成12等分。（4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点。（5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx，x0,2p的图像。这时,我们看到的这段光滑曲线就是函数y=sinx在x0,2p上的函数。那我们如何画出y=sinx在xR的图象呢？（启发学生思考）根据函数y=sinx的周期性只需将函数y=sinx，x0,2p的图像向左右拓展,就可以得到正弦函数y=sinx在xR上的图象。（这一过程用课件处理，让同学们仔细观察作图过程）此时,我们看到的这支曲线就是正弦函数y=sinx在整个定义域上的图象,我们也
5、可以把它称为正弦曲线。同学积极回忆回答：三角函数线是三角函数的一种几何表示方法，确切的说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法。学生回答：(1)在坐标系中,描出满足函数图像的所有点,即描点法(2)图象平移法如:y=f(x+a)的图象与y=f(x)的图象(3)伸缩变化法(或坐标变换法)描点法是做函数图象的基本方法答：1、通过计算器得到，特殊角的函数值还可直接计算得到。答：2、利用单位圆中的三角函数线表示函数值。显然可以学生归纳后教师然后完善补充。学生回答：因为函数y=sinx是周期为2p的函数，只需按周期性向左右两边拓展即可。从学生熟悉的知识出发，培养学生
6、独立观察能力和分析能力，自然找出画正弦函数的图象的方法。使学生明白作图方法的来由。让学生自己归纳出正弦函数的作图步骤，使学生能够清楚的认识到如何作出正弦函数的图象。让学生自己思考如何画出整个函数图象，使学生能够把我们前后所学的知识灵活运用,认识联系。用这种方法来作图象,虽然比较精确,但不太实用,我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢？请同学们仔细观察：是否可看出,在函数y=sinx，x0,2p的图象上,起关键作用的点只有五个：（哪五个？）这五个点被称为起点、峰点、拐点、谷点、终点。事实上，描出这五个点后，函数y=sinx，x0,2p的图象的形状就基本确定了。因此，在精确度不高的情况下，我们常常先
7、找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到函数的简图。今后,我们将经常使用这种近似的五点（画图）法。示范作图（板书）学生回答：(0,0)（，1）（p，0）(,-1)(2p,0)学生和教师一起动手体会一下五点（画图）法。知道起关键作用的点，为画图打下坚实的基础。体会所学的知识，熟悉五点（画图）法三、运用数学：1、用五点法作出函数y=2sinx，x0,2p的图象2、用五点法作出函数y=sin(x+)，x0,2p的图象（先把同学们作的图象用投影仪展示指出问题，然后再把图象的过程用几何画板给同学们展示）我们画出了正弦函数的图象,那么余弦函数图象怎么画呢？用五点法可以的,能不能用平移的方
8、法呢？余弦函数与正弦函数有没有关系呢？（启发学生思考）其实刚才我们已经画出来了！下面我们看余弦函数图象的一种画法。因为y=cosx=sin(x+)看来,余弦函数y=cosx，x?R与函数y=sin(x+)x?R是同一个函数,它们的图象相同。那么我们如何得到y=sin(x+)的图象呢？即余弦曲线。我们现在看到的曲线也就是余弦函数y=cosx，x?R的图象，即余弦曲线。同样,可发现在函数y=cosx，x?0,2p的图象上，起着关键作用的是哪五个点？与画函数y=sinx，x?0,2p的简图类似，通过五个点，可以画出函数y=cosx，x?0,2p的简图。用几何画板示范作图（板书）下面,请同学们练习一下
9、五点（作图）法。学生用五点法作图，cosx=sin(x+)余弦函数的图象可通过将正弦曲线y=sinx的图象向左平移个单位，即得y=cosx的图象余弦函数的五个关键点是：（0，1）（，0）（p，-1）（，0）（2p，1）使学生自己动手，在体验五点法的过程中不知不觉就得到了余弦函数的图象。使学生自己去发现余弦函数的五点，知道如何画余弦函数的图象。3、练习：（1）、在教师指导下用五点（画图）法分别作出y=sinx与y=cosx在x?0,2p上的简图，并体会它们之间的关系。（2）、分别在-4p,4p内作出y=sinx和y=cosx的图象。（3）y=sinx，（4）y=sin(x1)（学生画完后用几何画
10、板展示给学生看）学生板演，动手作图巩固，加深本节课所学知识。四、总结反思：1、我们是如何作出正弦函数以及余弦函数图象的？2、要熟练掌握五点法作函数的简图，它是我们后面学习的基础。学生集体复述 精确做图：利用三角函数线。粗略做图：五点法。让学生明白本节课重点、难点的内容。五：课后作业1、课本P57习题4.8 1；补充：分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象。2、预习内容：课本P51P53 记录作业六、教后感 本节课的难点是用正弦线画出正弦函数的图象，利用现代化的教学手段协助教学很好的突破了这一难点，提高了教学效率。但是也绝对不能代替手工作图，我们必须让学生动手动脑，有真切体验，这样才能真正提高教学质量。