数学建模案例抑制房地产泡沫.pdf

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1、1抑制房地产泡沫问题抑制房地产泡沫问题吴伟光，王霞，李丽（中国矿业大学，徐州221008）摘要：摘要：住房是人类的基本需求，在中国经济发展的现阶段，住房问题已成为百姓关注的“头等大事”。如果说，中国现阶段的主要矛盾是落后的社会生产力同人民群众日益增长的物质文化需求之间的矛盾，那么，住房就是这一主要矛盾中的重点。本文就通过房地产这一问题对城市房价作了深入的分析和科学的探讨。我们对城市房价构建数学模型。首先，在只考虑成本的情况下，得出了地价与房价之间的线性关系；接着，我们借助了“蛛网模型”的思想，在同时考虑成本、市场供求的情况下，建立了需求函数、供应函数、供需平衡方程来分析市场供求对价格的影响，并

2、考虑现实生活中，本周期的供应量与地产商对本期的预测房价有关；最后得出房价的表达式。通过对城市房价模型的分析和求解，更深入了解了房价的形成因素及复杂的演化机理，从而针对性地提出解决房地产泡沫的有效政策和建议，并对所提政策和建议作出科学的预测和评价，为城市居民的住房问题提供诸多便利。一 问题的重述一 问题的重述近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入

3、细致的分析；2通过分析找出影响房价的主要因素；3给出抑制房地产价格的政策建议；4对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。二 问题的分析二 问题的分析住房是居民的基本生活需求。在全面建设小康社会阶段，随着经济社会的2发展和人民生活水平的提高，城镇住房的增量需求和改善需求双旺盛，是房地产业持续发展的动力。供不应求是未来几十年中国房地产市场的主导趋势。本题要求我们建立一个城市房价的数学模型，通过分析模型，找出影响房价的主要因素，并给出抑制房价的政策建议，最后对建议可能产生的效果进行科学预测和评价。看到价格房价这个关键词，我们就想起了微观经济学里著名蛛网模型（见附录）。蛛网模型简介：1生产具有长周

4、期的动态模型，特点是：本期产量决定本期价格；而本期价格决定下期产量。2三种形式：A、封闭式（需求曲线和供给曲线斜率一样）；B、收敛式（需求曲线比供给曲线斜率大）；C、发散式（需求曲线比供给曲线斜率小）。房地产产品开发周期长，形成有效供给相对于投资期具有滞后性，当年的房地产业市场是投资与需求矛盾双方以往多年相互作用积累、演变的结果1。所以，城市房价的模型可以借鉴蛛网模型的思想。然而，影响房价的因素除了有供求变化外，还包括成本（地价、建安造价和各种税费）、城市人口平均收入、城市人口就业率、政策等。在建立模型时不可能也没必要考虑所有因素，只能抓主要的、关键的因素进行合理的假设。我们都知道，影响房价的

5、最直接的因素是：生产成本和市场供求变化。这也符合商品经济的基本规律。三 模型的基本假设三 模型的基本假设1房地产产品具有一定的生产周期2房价的计算只考虑生产成本和市场供求3理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求4成本的花费包括地价（地面地价）、建安造价和各种税收；且每一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变5容积率在每个周期维持不变6 需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多7 供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的

6、比值越小，供应量越少8楼面地价又称单位建筑面积地价，是平均到每单位建筑面积上的土地价格，所对应的是地面地价。楼面地价土地总价总建筑面积地面地价容积率39理想房价=(楼面地价+建安造价)(1+税费率)310供需平衡指：供应量=需求量3四 符号说明四 符号说明p：房价(元/平方米建筑面积)p：理想房价（元/平方米建筑面积）np：第 n 个周期的房价np：第 n 个周期的预测房价ep：需求曲线和供应曲线的交点处的房价A：地价（元/平方米土地面积）B：建安造价（元/平方米建筑面积）C：楼面地价（元/平方米建筑面积）1：税费率（%）（包括管理费、销售费用、利息、税费及合理利润）2：容积率（%）dnQ：第

7、 n 个周期，居民对房子的需求量snQ：第 n 个周期，地产商的供应量其中 n=1,2,3,五 模型的建立和求解五 模型的建立和求解模型的建立模型的建立由上面的假设可以得到一个这样的价格系统。如下图看图可知，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定供应量；需求量和供应量又共同决定房价。4求理想房价p。首先，将地价A转化为楼面地价C，其公式为：2AC 其次，根据理想房价的求法得出其表达式：)()1(1CBp最后，将公式（1）代入公式（2），整理可得：211)1()1(ABp令a21)1(,bB)1(1，a和b为不为正常数，则可得：Aabp从公式和中，可以看出：第

8、一，地价与理想房价之间为线性正相关关系；第二，地价与理想房价之间影响的程度因建安成本、税费率和容积率的不同而不同；第三，从某种角度上讲，理想房价就是成本费用的体现；根据假设 4 中，成本不变，所以理想房价也维持不变。成本理 想价 格房 价需 求数 量供 求数 量地产商预 测5将理想房价引入供求系统。一需求函数根据假设 6：需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多。证明假设的合理性：取极限法，实际价格与理想价格的比值为无穷大，那么实际的价格就是无穷大，就没有人需要，因为都买不起；反之，比值为 0，白送的房

9、子你不要吗？需求量自然就大。所以，我们的假设是合理的。需求方程：ppQndn其中和为正常数，p为理想价格，需求函数斜率为p。二供应函数根据假设 7：供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少。证明假设的合理性：因为房屋的供应量由地产商所决定的，地产商在决定提供多少房屋之前，首先关心的是自己是否能够盈利，能够盈利多少，因此，地产商总会根据前几周期的价格预测下一周期的价格，再将预测的价格与成本（理想价格）比较，最终确定供应数量。所以，假设合理。地产商的预测和比较方法各异，为了简化起见，采用如下预测和比

10、较方法：预测价格为：)(211nnnnpppp表明：本期的价格是上一期的实际价格加上一个修正量，为修正系数5。比较方法：预测价格与成本（理想价格）的比值越大，利润越高，供应量越大。则供应量为：ppppQnnnsn)(211其中和是正常数，p为理想价格，供应函数斜率为近似为p。三供需平衡方程：6sndnQQ即ppppppnnnn)(211整理后得到ppppnnn21)1(模型的求解模型的求解先求出方程的特解：设方程的一个特解为，将其带入方程后得到等式p)1(解得：p再求通解：齐次方程：0)1(21nnnppp特征方程：0)1(21nnn即0)1(22n显然，0为其中的一个解。约去2n公因子得：0

11、)1(2如果令：4)1(2则解得1和2为：2)1(2,17线性差分方程稳定的条件：方程的特征根均在单位圆内。即1|1，1|2时，则ep为稳定点，即1p，2p，3p趋于ep；否则渐渐远离ep。解得方程的解的一般形式为：nnnkkp2211其 中1k和2k两 个 任 意 常 数，由 具 体 情 况 决 定。将p，ABp2111)1(带入得1)1(2112211ABkkpnnn8分析：由以上得到的房价的表达式：1)1(2112211ABkkpnnn可以得出如下结论：第一成本与房价之间为正相关关系。成本越多，房价越高，反之依然；第二供求变化对房价的波动与蛛网模型的结论一样，也有三种形式（见附录）；第三

12、地产商对价格的预测影响着价格。六 解答问题六 解答问题问题二 通过分析找出影响房价的主要因素问题二 通过分析找出影响房价的主要因素对于该问题的解答，正是对我们模型的检验。我们的解答方法：首先列出影响城市房价的主要因素，紧接着用我们搜集的资料证明我们的结果。影响城市房价的主要因素：(1)成本（地价、建安造价和各种税费）具体体现：地价。国家发展和改革委员会、国家统计局发布的调查报告显示，2004年第一季度 35 个大中城市有 7 个城市土地交易价格涨幅超过 10 个百分点，有9 个城市房价涨幅超过 10 个百分点。其中上海、沈阳、杭州、宁波、天津等五个城市地价与房价双双上涨。第二季度，全国有 8

13、个城市土地交易价格涨幅超过 10%，有 6 个城市房屋销售价格涨幅超过 10 个百分点。可见，地价上涨是当前房价上涨中的重要因素4。建安造价。地价的上涨和新建住宅品质的提升有关。譬如，建筑材料价格上涨，房价必会有所提高；新建住宅品质（建筑材料品质，户型及配套设施，小区环境的优化等）提升亦会导致房价的上涨。税费率。税费率的变动也会影响房价。(2)供求变化从本质上看，一般商品的价值是价格的货币表现，一般商品的价格波动反映市场供需平衡，既是市场机制作用的起点，又是市场机制作用的结果，价格总是围绕价值上下波动。在正常的市场条件下，价格上涨、供给增大，投资者预期价格下降。目前，房地产市场上存在着供求不平

14、衡现象，中低价位商品住房供应量下降，使得中低价房供不应求，高档商品住房供应量增加，导致了商品房平均价格上涨4。问题三 给出抑制房地产价格的政策建议问题三 给出抑制房地产价格的政策建议对于该问题，我们结合问题二的结果进行解答。9我们针对成本和供求及在网上搜索的资料提出以下政策建议：1强化土地资源管理通过土地资源供应量的调整，控制商品房价格的不合理上涨。要根据住房市场的需求，保持土地的合理供应量和各类用地的供应比例，实行土地出让公开招投标制度，控制一些城市过高的地价。要坚决制止高档住宅的盲目开发和大规模建设，防止出现新的积压。对于发生在房地产领域违法犯纪行为要严厉惩处，严惩无正当理由闲置土地的“圈

15、地人”以及房地产领域的违法活动4。2明租、正税、清费，降低房地产开发成本针对房地产开发成本中存在不合理的因素，明租主要是推行土地年租制，由于土地缴纳的只是一年的租金，土地中蕴含的价值并不大，开发商依靠土地抵押贷款开发项目的盈利模式将彻底消除；正税主要是征收物业税，保有环节的税收将在一定程度上抑制过渡的投资；清费主要是清除不合理的费用，本着谁投资，谁受益的原则，清晰产权，合理地降低房地产开发成本6。3优化与改善供应结构房价的上涨的原因之一就是：中低价位商品住房供应量下降，使得中低价房供不应求，高档商品住房供应量增加，导致了商品房平均价格上涨。所以要加大中低价房供应以平抑房价。4 建立全国统一的房

16、地产市场运行预警预报制度，加强和完善宏观监测体系。对全国房地产市场通过信息的及时归集、整理和分析，就市场运行情况做出评价和预测，定期发布市场分析报告，合理引导市场，为政府宏观决策做好参谋。近年来，我国房地产业持续以较快的速度增长，吸引了大量的企业进行房地产投资，应当引起注意，要加快建立和完善房地产业的宏观监测体系，通过土地供应、税收和改善预售管理等手段及时进行必要的干预和调控，有效地防止房地产业“泡沫”的产生4。问题四 对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价问题四 对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价通过建立模型并对模型的机理进行了深入地剖析之后，我们有效地掌握了解决房地产泡沫问题即

17、抑制房价上涨的理论与科学的方法。现在就针对提出的上述几种政策和建议给予相关的预测和作出较科学的评价。首先强调了对于土地资源的有效管理。通过对土地资源供应量的合理调整，将在很大程度上控制房价的过快上升。因为合理的土地资源供应量及各类用地的供应比例，理论上不会引起土地价格的大幅度上涨，根据所建模型得出来的结论，可以科学地预测房价也将会有所控制，房价的过度上涨也将会被有效地遏制。现今阶段，房地产市场结构的不平衡现象主要体现在中低档商品住房供应量的减少和高档商品住房供应量的增加，因此针对这一主要矛盾，我们建议政府应大规模推出经济适用房来抑制商品房价格。通过大规模建设经济适用房，将会给众多中低收入家庭的

18、买房问题减轻很大负担，还可以很好地调整房地产市场的供应量，它不再偏向高档的商品住房，减少了用地的囤积量，并满足了绝大多数居民的基本需求。具体从模型上可得出理想的趋势，即随着房地产市10场供应量的逐步改善，房地产价格的波动幅度将愈来愈小，最终回复到均衡状态。除了以上必要的发展趋势外，政府还应通过一些有效的宏观调控来制约房地产市场的种种变动。譬如建立全国统一的房地产市场运行预警预报制度，对房地产市场的信息作出及时的收集和考察，以便采取更有力的运行措施，来很好地优化市场运行制度。再者，通过整顿住房金融市场秩序，规范住房金融业务，可以有效地防范住房贷款风险，从而避免金融风险，为社会金融制度提供保障。政

19、府还应进行一些税费调整，这样的话将会强有力地抑制房价的上升，从而鼓励更多普通住房的消费。此外，通过舆论宣传的引导，扭转广大消费者的错误理念，避免“随波逐流”，通过咨询专家，根据自身情况作出正确的决断，将有助于房地产市场的运行有序。七 模型的改进七 模型的改进我们这个模型，对成本的假设是静态的，成本不随时间变化而变化。这种假设只是为了解题的方便，模型进一步完善就要把成本动态化，更接近与实际，得到的房价也更具有说服力。建模的时候，忽略了政府的宏观调控对价格的影响，事实上，在我国，政府的政策对价格的影响是很大的，所以，模型的改进也要考虑政策的影响。总结：模型的改进就是考虑周期成本和政府政策。八 模型

20、的推广（略）九 模型的评价（略）参考文献（略）八 模型的推广（略）九 模型的评价（略）参考文献（略）抑制房地产泡沫问题抑制房地产泡沫问题林龚伟，李裕建，沈思博（中国矿业大学，徐州221008）11摘要：摘要：房价作为一种价格杠杆，在引导房地产可持续发展和抑制房地产泡沫将起到积极的作用。科学合理地制定房价，对房地产的发展具有重要意义。本文先从产生房地产泡沫的原因谈起，找出影响房产的相关因素，然后从房地产开发商和消费者两个方面展开讨论，得出两个不同的模型。模型一从开发商的角度建立模型，运用定性的分析方法，分析一个商场中只有一个房地产开发商，两个开个商和多个开发商的情况，运用博弈论的方法给出不同的模

21、型，给出一个从特殊到一般的数学模型，并运用相关的经济理论进行解释；模型二从消费者的角度建立模型，运用有效需求价格，动态地确定消费者的房价的范围。在此基础上，采用一元线性回归，通过推导出的模型和运用大量的数据对模型的进行验证和分析，得出房价与其中几个主要因素的关系：主要因素回归方程复相关系数 RGDP 与房价xy0.016+714.009=0.98135人口密度与房价1.1031889.531=y0.55250人均可支配收入与房价wy0.435-1506.080=0.93943影响当前房价的主要因素，如社会因素包括国民经济的发展水平、相关税费、居民的收入、政策导向、社区位置等，自然因素包括地价、

22、建安成本和开发商利润等；并在分析影响房价的诸多因素之后，提出了八点政策性建议。综上所述，运用我们的模型得出相应的房价，然后利用我们相应的政策作为指导，我国的房地产不但会抑制房地产泡沫问题，而且我国的房地产市场将得到持续健康地发展。一问题重述一问题重述近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；2通过分析找出影响房价的主要因素；3给出抑制房

23、地产价格的政策建议；4对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。二 合理假设二 合理假设121、在某个城市中有多个房地产开发商，不存在完全垄断的现象2、某一城市的商品房的定价是经过综合分析之后的出来的3、我们在求房价的过程中不考虑套利的情况4、所在的城市物价和其他情况相对比较稳定，全局内没有大起大落的现象三符号说明三符号说明1X-其它消费品2X-房地产1M-其它消费品的价格2M-房地产的价格),(YXF-消费函数K-居民支配消费总额四问题分析四问题分析所谓房地产泡沫就是指房地产商品的预期价格被大大的高估，从而导致各类投机资本的纷纷进入，通过恶性炒作将现期房地产价格大大抬高。使其价格远远高于其

24、实际价值，从而产生房地产泡沫。房地产的基本载体是土地。由于土地的不可再生性、稀缺性与供给无弹性将决定土地的升值性。从而使房地产也具有升值趋势。正是由于这一因素才会导致各类房地产投机者进行投机。土地市场是整个社会市场体系中市场等级较低的基础市场之一，因此社会经济的泡沫现象往往先出现在土地市场，然后泡沫向其他市场输出，并最终沉淀在土地市场，因此泡沫的代价往往最终由土地市场承担。为了抑制房地产泡沫，我们必须采取一切可能的方法来控制房地产的价格，来保证人民能够有房来住，通过分析可知，房地产的价格地产价格房产价格房产地PPP13P房地产价格，地P土地价格，房产P房产价格由于房产和地产具有自身的特点，而决

25、定了房产的价格在数上是逐渐减少的变动趋势，而地产的价格或地租在数量上则是一个逐渐增加的变动趋势。如下图一：图一由图（一）可以看出房地产的增值性主要是由地产的升值性所决定的。当地产的价格或地租逐渐增加的变动趋势超过房产价格逐渐减小的趋势，则房地产表现为增值性。正是因为土地和房产具有这一特性，决定了房地产发生泡沫现象主要取决于土地的泡沫我们又知道房地产价格是人们对房地产效用（能够满足人们某种欲望的能力）的认识、房地产的相对稀缺性我和对房地产的有效需求三者共同作用下而产生的以货币形式来表示的房地产的交换价值.房地产价格是由人们对房地产所认识的效用决定的。如果我们以居民对住宅的需求为例，我们将城市居民

26、的消费品分为其它消费品)(1X和房地产（住宅）)(2X其价格分别为)(1M和)(2M因此根据消费者行为理论，消费者总是从其可行的消费集中选择自己效用最大化的消费束即：),(21XXFMax目标函数其中),(21XXF是消费函数，消费束是指人们可以购买一系列商品（消费品21XX或）；最大化消费束是指人们购买消费品中购买欲望最大的那些商品14那么消费预算中有：KXMXM2211约束条件那么有21211XMMMKX设效用函数是可微的，那么解效用最大化问题的拉格朗日函数可能写成：)(),(221121KXMXMXXFL其中是拉格朗日乘数。求拉格朗日函数L分别对21,XX求一阶偏导数并之为零得出：112

27、1),(MXXXF2221),(MXXXF消去拉格朗日乘数，得：21221121/),(/),(MMXXXFXXXF我们称该等式左边为其它消费品与住宅的边际替代率，等式右边的部分称为其它消费品和住宅的经济替代率。为实现效用最大化该两个替代率必须相等该过程我们可以用图二加以说明：15图二如果我们取居民开始的无差异曲线为1F，那么其预算约束线为ab，我们从图（二）中可以看出，在约束ba下居民最佳的住宅与其它消费品结合点为C.即在C点处可满足居民总效用的最大并且使得总的费用最少。如果当地价或租金下降，而其它条件保持不变，就会出现下面的情况，相对土地预束线表现为向右移，且止于ba，并与另一条假定的无差

28、异曲线场 F2相切于C点。在C点处也可满足居民消费总效用之最大化并且使得总的费用最少。从从图 1 中可以得出，第一种情况下所要求的住宅效用为20MKOX；第二情况下所需要住宅效用为21MKOX。由于22MM所以01OXOX。我们得出以下结论：当对住宅的消费量增加，房地产价格下降时，将使居民房地产消费增加，这和普遍的市场需求规律相适应。由此我们进一步得出房地产价格是由人们对房地产的需求决定的。对当前房地产价格初步分析，也是由于人们对房地产需求所导致的。当人们对房地产需求越大，房地产的价格就越高，相反，价格就低。此外由于土地具有不可再生的特性所以其稀缺性比较高。再加上房地产是人类生活的基本物质资料

29、。因此，其稀缺性比其它经济商品更被看重。房地产的价格被看作是稀缺性的价值反映。可以认为房地产价格是在结合效用和稀缺性后发生的。16综上所述，房地产价格的产生是由房地产的效用、稀缺性和对房地产的有效需求三者所构成，而且是由这三者相互结合才能发生。五 模型的建立及求解五 模型的建立及求解房价高，对社会影响大，引起社会各方面的注意，与大家都有着关系。对政府来说，要促使社会经济平衡发展，保证社会政治稳定需要通过各种手段适度控制房地产市场的发展，防止出现的泡沫；对于购房者来说，当然希望房价不要过高，尤其是中低收人者，希望政府有对他们倾斜的购（租）房政策，让他们买（租）得起房。虽说购房群体是有分类的，但由

30、于高端房价上升和实际成本增加，也会引起低端房价乘势上升，使中低收人者望房兴叹；对于理智诚信的开发商来说，他们关心的是利润空间，也不希望房价过高，因为过高的房价会带来高风险。因此无论从哪个方面看，我们都希望能够得到合理的房价定价模型，给出合理的售价将对政府，购房者，开发商都是有利的。一、我们从开发商的角度来建立定价模型。房地产开发商盖房子，在确定房价的过程中，是以追求利润最大化为目的的。再加上中国土地一级市场的垄断，开发成本和交易信息尚不成熟，以及作为大宗资产交易的相对不容易等，很难给出一个城市一个统一的房产定价，面对这种情况，我们只能根据各个开发商自己的情况，制定出一个城市各个开发商相对合理的

31、房价模型。首先，我们在制定商品房的房价的过程中，应该考虑到住宅商品房的成本价格是从房地产商品开发生产、供给这一角度出发的，即：房地产成本价格=总开发成本+开发商利润+销售税费+其他费用（1）（一）、整个市场只有一个房地产商开发时，即周围无竞争对手时，这时房地产商处于完全垄断的地位，这对房地产开发商定价的原则是使其利润最大化。根据经济学原理，房地产开发商可采取下面几种方法：1.房地产规模未定时：房地产开发商可以根据自己的收益函数与成本函数来决定它的开发规模，从而在它的需求函数上决定房价。2房地产规模已定时：房地产开发商可以直接在它的需求函数上决定房价。（二）、整个市场有两个房地产开发商时，当他们

32、不是同时定价时，即有一房地产商1已定价其房价为1P，则另一房地产商2定价时，与前房地产商1构成了子博弈完美纳什均衡，他们的博弈过程如下：房地产商2根据房地产商1的定价，决定自己的定价，然后房地产商1根据房地产商2的定价，又修改自己的定价。如此反复直至纳什均衡。考虑房地产商品的特性和现实情况，我们只考虑两阶段博弈过程的定价。假设房地产开发商1价格为1P，其需求函数为：211112111),(PdPbaPPqq17房地产开发商2 价格为2P，其需求函数为:122222122),(PdPbaPPqq其中0,21dd，表明两房产有一定替代性。我们同样假设两房地产开发商无固定成本，边际成本分别为1c和2

33、c在该博弈中，两博弈方为开发商 1 和开发商 2 他们各自的策略空间为max,0max,02211PsPs和,其中max1P和max2P是开发商 1 和开发商 2 还能卖出房产的最高价格；两博弈方的得益就是各自的利润，即销售收益减去成本，也即双方价格的函数：)()(),(211111111111112111PdPbacPqcPqcqPPPuu)()(),(122222222222222122PdPbacPqcPqcqPPPuu由于本博弈是一个动态博弈，因此我们考虑用逆推归纳法来分析。通过逆推归纳法，可得出：房地产商 1 的定价为：21211211212212121*12422ddbbcbbcd

34、dcbdadbaP房地产商 2 的定价为：212222*22)(bPdcbaP由上述可以看出，同一地方的房价可以有所不同，房价的取决是由开发商各自需求函数和双方博弈得出的结果。然而一个城市往往有多个开发商，各个开发商所定的房价又往往不同，对于这种情况，我们考虑他们的房产是有所区别的同种商品，故他们处于垄断竞争状态。我们同样用伯特兰德模型来求解：假设房地产开发商 1，2.n 价格分别为nPPP，21，他们的需求函数分别为nqqq，21：18nnnPdPdPbaPPPqq221112111),(nnnPdPdPbaPPPqq112222121),(111121),(nnnnnnnnPdPdPbaP

35、PPqq我们同样假设房地产开发商无固定成本，边际成本分别为1c和ncc2。在该博弈中，博弈方为开发商 1，2n；他们各自的策略空间为max,011Ps 和max,022Ps，.max,0nnPs，其中maxmax,max,21nPPP是开发商 1，2，.n 还能卖出房产的最高价格；博弈方的得益就是各自的利润，即销售收益减去成本，他就是价格的函数：11111qcqPu22222qcqPunnnnnqcqPu因此，在本博弈中，),(*2*1nPPP纳什均衡的充分必要条件是只*2*1,nPPP，的最大值问题。即只需要求出各房地产开发商对其他房地产开发商的反应函数，然后解出它们的交点就可以了。二、每一

36、个事物的存在和发展往往有两面性，在从开发商的角度给出定价模型之后,我们发现该定价模型的有利者必定是开发商,不能充分考虑其购买者的利益,所以我们下面从购买者的角度来给出定价模型。从房地产的有效需求出发给出购买者相对满意的有效需求价格定价模型。对于购买者而言，量入为出，是消费的基本原则，居民买房时总会根据自己家庭收入的多少来决定是否购房、所购房屋位置及户型面积等，当然，一旦决定买房，多半采取个人住房抵押贷款方式，而不是等攒够钱到十几年后才消费。我国城市居民所能承受的住宅商品价格可以表示为：19NNiiMaiYP)1(2.1 1)1(其中：P-有效需求价格；Y-居民家庭年可支配收入额；a-抵押贷款价

37、值比率（贷款成数）；i-个人住房抵押贷款月利率；N-个人住房抵押贷款月份数；-月收入中可用于偿还个人住房抵押贷款的最高比例；M-按居民有效需求决定的户型面积；居民购房能力除了受月偿还额高低影响外，还受到按揭贷款首付款的制约，若家庭目前资产为H，该资产中可用于一次性支付首付款的最高比率为A，这主要指变现能力强的流动资产，即房价还受到如下公式的约束：)1(aMHAP因此，我国城市居民最高所能承受的住宅商品房有效需求价格模型为：)1(,)1(2.1 1)1(aMHAiiMaiYMinPNN我们引进一组数据来求出我们当前的有效需求价格(以 2001 年为例，见表一)。12 个大中城市居民收入和房价情况

38、按 2001年人均收入排序城市人均可支配收入人均可支配收入递增(%)按 2001 年收入计的 6 倍房价2001 年2000 年1999 年2001 年比 2000递增2000 年比 1999年递增2001 年户均人量(人)收入 6倍的房价(元/M2)1北京11577.7810349.79182.811.8712.73.0326312上海12883.4611718.010931.69.957.2328993天津8958.708140.57649.810.056.43.0920764重庆6721.096276.05896.07.096.43.0515375广州14418.2113621.8123

39、26.05.8510.53.1233736深圳2267.5921577.220548.45.085.03.3356627福州9053.308300.47413.89.0712.03.262214208大连7418.166860.66274.08.139.33.0917199济南9564.888471.37162.512.9118.33.02216610武汉7305.056760.66262.112.515.02.97161811西安6704.866364.25998.85.356.13.03152412银川6256.615621.55167.711.308.82.931375表一(资料来源:2

40、001 年国家信息中资料)我们通过该模型求出了住宅商品房的有效需求价格。如表二,我们选择直辖市及不同人均收入段的12个城市作分析，由于我国恩格尔系数还偏高，因此月还本付息以不高于家庭月收入的35%为宜，为求得居民可承受的最高房价，分析时月还款额取高值即按35%计(即%35)，户型面积取)80(802Mm即，按揭贷款选15年期（即1801215N），五年期以上贷款利率均为5.04%，则月利率为0.42%（%42.0i），银行一般采用7（即7a）成按揭，即可求出2001年这12个城市居民可接受的住宅商品有效需求价格，这是在居民有能力支付首付款的情况下表2,确定的住宅商品房有效需求价格，都在收入的6

41、倍以下，是相应城市居民目前可以接受的最高价格。当然，表中数据仅反映在2001年城市居民收入水平上的有效需求价格，随着居民收入水平的不断提高，它们会动态地变化着，并逐步向市场价格靠拢。12 个大中城市的住宅商品房的有效需求房价城市2001年居民人均可支配收入家庭户均人数家庭年均可支配收入按收入的6倍确定的房价(元/M2)按有效需求模型求得的房价(元/M2)北京11577.783.0335080.726312312.97上海12883.46338650.428992548.33天津8958.703.0927682.420761825.18重庆6721.093.0520499.315371351.5

42、8广州14418.213.1244984.833732965.97深圳22672.593.3375499.756624977.91福州9053.303.2629513.822141945.92大连7418.163.0922922.117191511.32济南9564.883.0228885.921661904.53武汉7305.052.972169616181430.48西安6704.863.0320315.715241339.47银川6256.612.9318331.913751208.67表二从表二数据中我们得到下面图三：2112个城市的住宅商品房有效需求房价北京上海天津重庆广州深圳福州大

43、连济南武汉西安银川0200040006000图三我们从上表中看出按有效需求模型求得的房价比按收入的 6 倍确定的房价略低。从各个城市比较看，沿海发达地区的有效需求房价偏高，而内陆欠发达地区的有效需求房价相对比较低。六 模型的检验及应用六 模型的检验及应用我们从上述建立的模型NNiiMaiYP)1(2.1 1)1(可以看出，影响其房价的最主要因素之一是Y，也就是家庭年均可支配收入。下面我们从其他方面来找出影响房价的主要因素。一个城市的房屋价格一般被认为与其经济发展水平、居民的收人水平、城市魅力等因素有关。城市魅力因素不能直接表达，用人口密度近似替代。其它变量采用家庭可支配收人、人均 GDP。下面

44、我们就从各个方面来考虑房价与其联系。我们以公开数据(摘自中国统计年鉴)为基础，对当前影响全国房地产价格的主要因素进行了分析和讨论。（一）、我们选取了1992年至2002年GDP总量与全国的平均房价之间的关22系进行分析。(见下表三)1992 年至 2002 年 GDP 总量与全国的平均房价年份GDP 总量(亿元)商品房平均销售价格(元/平方米)199226651.91050199334560.51280199446670.01409199557494.91710199666850.51806199773142.71997199876967.22063199980579.420532000882

45、28.12112200194346.421702002102398.02250(资料来源：中国统计年鉴)表三首先对两者的相关性进行分析，结果两者的相关系数 R=0.98135。然后检验我国 GDP 对房价的影响。在此以每年 GDP 总量为自变量，房价为因变量，用最小二乘法求得在最大似然估计值的情况下得下式：niiniiininiiininiiniiiixxyyxxxxnyxyxnb1211212111)()()()()()(xbynxbnyaniinii11其中nxxnii1，nyynii1由此我们得到最小二乘法的回归方程为：xbay将表一中的数据代入的：23714.009a，0.016b我们

46、得到回归方程：xy0.016+714.009=y为各年商品房价格（每平方米价格）,x为每年全国 GDP 总量。商品房价格与全国 GDP 总量关系如下图四:图四我们得到相关系数R高达0.98135，且房价对全国GDP 总值的弹性为0.016。由此得出结论：房价与GDP正相关，GDP每增长1万亿元可带动房价160元增长。（二）、下面我们再从人口密度方面考虑，并选 12 个大中城市的房价与人口密度和家庭人均年可支配收人的关系如下表四：12 个大中城市的房价与人口密度和家庭人均年可支配收人的关系(2002 年)城市房价(元)人口(万人)人口密度(人km2)家庭人均年可支配收人(元)北京47641136

47、3067612453上海4134133423230013250天津2487919058359338重庆155654619667200广州4200720629921349424南京2923563288779154福州2451597534999380青岛2186715656498721济南2101575017038981武汉1928768109137820厦门30721371683711768石家庄1811903995747240表四同样我们对房价与人口密度做回归分析得回归方程：1.1031889.531=y，复相关系数 R=0.55250y为各年商品房价格（每平方米价格），为人口密度(人km2)

48、商品房价格与人口密度关系如下图五:图五由此我们得出结论：影响房价另外一个重要变量是地区差异。人口密度对房价有显著的正向作用，地区人口越密集，当地的房价越贵。我们再对房价与家庭人均年可支配收入做回归分析得回归方程：25wy0.435-1506.080=,复相关系数 R=0.93943y为各年商品房价格（每平方米价格）,w为家庭人均年可支配收入(元)商品房价格与家庭人均年可支配收入关系如图六:图六由此我们得出结论：我们房价与城市居民家庭人年可支配收入进行一元线性回归，回归结果表明，房价与可支配收入显著相关。这也我们前面建立的模型得到的结论正好一致。下面我们对回归分析结构做总结如表五：主要因素回归方

49、程复相关系数 RGDP 与房价xy0.016+714.009=0.98135人口密度与房价1.1031889.531=y0.55250人均可支配收入与房价wy0.435-1506.080=0.93943表五从以上结果我们作出如下结论：26相关系数越高，对房价的影响越大。GDP，人均可支配收入，人口密度与房价均有密切的关系，它们与房价的相关系数均超过了 50%，尤其是前两个因素甚至超过了 90%，所以我们认为 GDP，人均可支配收入，人口密度（即地区差异）是影响房价的主要因素。以上我们只是分析了与房价密切相关的社会因素，也是比较难确定的因素，当然房价的基本构成因素是不可忽略的，如房地产的造价，土

50、地费用，开发商利润，这些也是影响房价的主要因素，但这些因素的确定相对简单，从我们给出的开发商角度的定价模型就可以得出。综合上述，影响房价的主要因素有：GDP，人均可支配收入，地区差异，房地产的造价，土地费用，开发商利润等等。七 建议的提出及论证七 建议的提出及论证由于房价的上涨是诸多因素共同作用的结果,我们针对以上影响房价的因素提出政策性的建议如下:(1)由于造价是影响住宅售价的关键因素，而造价中的主要构成部分是地价，因此，政府在调控土地供给量同时，应严格控制土地价格，防止因土地供应偏紧，使获取土地的竞争加剧，而在投标或拍卖中哄抬地价.严格禁止土地炒卖和变相炒卖。(2)在项目规划建设中，统一公