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1、第第4 4章章 流体动力学微分形式的基本方程流体动力学微分形式的基本方程 4.1 4.1 连续性方程与流函数连续性方程与流函数 4.2 4.2 运动微分方程及有关概念运动微分方程及有关概念 4.3 4.3 NS方程组求解的分析方程组求解的分析 4.4 4.4 层流精确解举例层流精确解举例 4.5 4.5 蠕动流方程蠕动流方程 4.6 4.6 雷诺方程雷诺方程 4.7 4.7 欧拉方程及其积分欧拉方程及其积分4.1 4.1 连续性方程与流函数连续性方程与流函数 1.1.连续性方程连续性方程（1 1）方程的推导方程的推导 液体三元流动的连续性方程 液体三元流动的连续性方程 依据质量守恒定律：依据质
2、量守恒定律：x 向质量净通率：向质量净通率：y、z 向质量净通率分别为：向质量净通率分别为：和和 体积内的质量减少率体积内的质量减少率：则有：则有：除以体积除以体积xyz，并令，并令x0,0,y0,0,z0 0取极限，取极限，得到直得到直角坐标下的连续性方程角坐标下的连续性方程 ：或或 或或 柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：（2 2）方程的简化方程的简化 对于恒定流动：对于恒定流动：（3 3）连续性方程的应用）连续性方程的应用 判别流动能否发生。判别流动能否发生。求解求解某一未知速度分量。某一未知速度分量。与运动微分方程联
3、立求解。与运动微分方程联立求解。2 2.流函数流函数(1)(1)定义定义二维不可压缩流体连续性方程为：二维不可压缩流体连续性方程为：当定义当定义和和，连续性方程连续性方程自然满足自然满足。称称为流函数。为流函数。(2)(2)物理意义物理意义常数时，则得到不同流线。常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同为流线，当取不同 两条流线的流函数数值之差等于两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。这两条流线间所通过的单宽流量。公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且，引入两个流函数数值之差。且，引入后可将求后可将求ux，uy
4、的的问题化为求问题化为求 的问题。的问题。4.2 4.2 运动微分方程运动微分方程1.1.应力形式的运动微分方程应力形式的运动微分方程（1 1）运动流体一点处的应力状态）运动流体一点处的应力状态 双下标含义：双下标含义：第一个下标：第一个下标：作用面的外法线方向，作用面的外法线方向，第二个下标：第二个下标：应力的方向。应力的方向。正的应力：正的应力：正面、正力或负面、负力。正面、正力或负面、负力。负的应力：负的应力：正面、负力或负面、正力。正面、负力或负面、正力。依据牛顿第二定律。依据牛顿第二定律。六面体流体元中心点六面体流体元中心点M的坐标为的坐标为 x，y，z，应力状态为应力状态为，可求出
5、各面中心点的应力。，可求出各面中心点的应力。（2 2）方程的推导）方程的推导 外力的外力的 x 向分量向分量 Fx：质量力的质量力的x向分量：向分量：以以x方向为例方向为例 ：表面力的表面力的 x 向分量：向分量：加速度的加速度的 x 向分量向分量 ax：质量质量 m：除以xyz，并令 x0,y0,z0 取极限，得出同理可得同理可得 y、z 向方程。向方程。应力形式的运动微分方程为应力形式的运动微分方程为存在问题：存在问题：方程组不闭合（方程组不闭合（4 4个方程，个方程，9 9个未知量）。个未知量）。2.2.不可压缩流体的应力与应变率关系不可压缩流体的应力与应变率关系 3.3.纳维斯托克斯方
6、程（纳维斯托克斯方程（NS方程）方程）写成矢量形式：写成矢量形式：方程各项的含义：方程各项的含义：左端：惯性力左端：惯性力 右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力 4.3 4.3 NS 方程组求解的分析方程组求解的分析1.1.NS方程组方程组矢量式：矢量式：分量式：分量式：给出定解条件给出定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件理论上，方程组可解。理论上，方程组可解。2.2.NS方程组的特点方程组的特点 非线性非线性 二阶二阶 偏微分偏微分 方程组方程组一般情况下，一般情况下，NS方程组难于求解。方程组难于求解。3.3.主要解法主要解法 （1 1）层流
7、精确解）层流精确解 对于某些简单流动，非线性项为零，对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如：可求得精确解。例如：平行平板间的二维恒定层流运动平行平板间的二维恒定层流运动 斜面上具有等深自由面的二维恒定斜面上具有等深自由面的二维恒定 层流运动层流运动 等直径圆管恒定层流运等直径圆管恒定层流运动动（2 2）近似解）近似解为什么要求近似解？为什么要求近似解？由于仅在少数简单流动情况下才由于仅在少数简单流动情况下才能得到精确解，为此求近似解。能得到精确解，为此求近似解。仅在两种极端雷诺数情形下，通仅在两种极端雷诺数情形下，通过略去过略去NS方程中的个别项，才能方程中的个别项，才能求得近似解
8、。求得近似解。小雷诺数流动蠕动流小雷诺数流动蠕动流 Re 1 惯性力惯性力 1 惯性力惯性力 粘性力粘性力当全部略去粘性项，当全部略去粘性项，会出现什么样的结果呢？会出现什么样的结果呢？NS方程组方程组欧拉方程组欧拉方程组（理想流体）（理想流体）计算结果计算结果不适用于固体壁面附近适用于远离固体壁面的流场为什么不适用于固体壁面附近？为什么不适用于固体壁面附近？计算结果与实际不符合：计算结果与实际不符合：边界条件不符合边界条件不符合 阻力规律不符合阻力规律不符合 流型不符合流型不符合 19041904年，普朗特提出边界层概念，年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广大流场划分为边界将微粘流体的广
9、大流场划分为边界层和外流区，分别用边界层理论和层和外流区，分别用边界层理论和势流理论求解。势流理论求解。（3 3）数值解）数值解属于计算流体力学范畴。属于计算流体力学范畴。（4 4）实验解）实验解属于实验流体力学范畴。属于实验流体力学范畴。4.4 4.4 层流精确解举例层流精确解举例1.1.平行平板间的二维恒定层流运动平行平板间的二维恒定层流运动重力作用下的两无限宽水平平行平板重力作用下的两无限宽水平平行平板间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为平板间距为a，流体的密度为，流体的密度为，动力粘，动力粘度为度为，上板沿，上板沿 x 方向移动的速度方向移
10、动的速度 U 为为常量，试求平板间流体的速度分布。常量，试求平板间流体的速度分布。求解步骤：求解步骤：绘图并选取坐标系及坐标取向。绘图并选取坐标系及坐标取向。依据题中条件，简化依据题中条件，简化NS方程组。方程组。依据题意，给出边界条件。依据题意，给出边界条件。解方程组。解方程组。（1 1）选直角坐标系选直角坐标系 取取 x 轴轴 沿下板，沿下板，z 轴垂直于平板轴垂直于平板。（2 2）简化简化NS方程组方程组 由二维流动可知由二维流动可知 uy0 0，且各量与，且各量与y 无关；无关；由流体作平行于由流体作平行于x 轴的流动，可知轴的流动，可知 uz0 0，故仅有故仅有ux；由恒定流可知由恒
11、定流可知 ；由不可压缩流体的连续性方程由不可压缩流体的连续性方程和和即即 ux 仅是仅是 z 的函数；的函数；可知可知和和 由重力场可知单位质量力由重力场可知单位质量力 即即 X=Y=0，Z=-g。于是于是 NS 方程组简化为方程组简化为（1 1）（2 2）（3 3）边界条件边界条件z 0，ux0；z a，uxU（3 3）（4 4）（4 4）解方程组）解方程组 先解（先解（2 2）式，得）式，得（5 5）求得求得（6 6）表明表明 与与 z 无关，对无关，对 z 积分解（积分解（1 1）式时，）式时，可作为常量看待。可作为常量看待。对（对（1 1）式积分二次得到）式积分二次得到则流速分布为则流
12、速分布为利用边界条件（利用边界条件（3 3）、（）、（4 4）求得）求得（8 8）（7 7）（5 5）讨论讨论 当当 ，得出，得出，为科耶特流动。，为科耶特流动。，为泊肃叶流动。为泊肃叶流动。当当得出得出U=0最大流速最大流速 ：单宽流量单宽流量:断面平均流速与最大流速之比：断面平均流速与最大流速之比：断面平均流速：断面平均流速：2.2.斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限宽斜面上具有等深自重力作用下的无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。若深度若深度H为常量，斜面倾角为为常量，
13、斜面倾角为，流体的密度，流体的密度为为 ，动力粘度为，动力粘度为，液面压强，液面压强 pa为常量，为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力，试求且不计液面与空气之间的粘性切应力，试求流体的压强分布、速度分布、断面平均流速流体的压强分布、速度分布、断面平均流速及作用于斜面上的粘性切应力。及作用于斜面上的粘性切应力。（1 1）选直角坐标系选直角坐标系 取取 x 轴沿斜面，轴沿斜面，z 轴垂直于斜面轴垂直于斜面。（2 2）简化简化NS方程组方程组（1 1）（2 2）得出得出（3 3）边界条件边界条件z 0，ux0；（3 3）（5 5）（4 4）（4 4）解方程组）解方程组 先解（先解（2 2）式，得
14、出）式，得出 利用边界条件（利用边界条件（5 5）式，确定）式，确定 ，得出压强分布：得出压强分布：（6 6）则流速分布为：则流速分布为：利用边界条件（利用边界条件（3 3）、（）、（4 4）求得）求得（7 7）该式表明：该式表明：p 与与 z 成线性关系，与成线性关系，与 x 无无关。关。对（对（1 1）式积分二次，得到）式积分二次，得到（1010）最大流速最大流速（z=H）：）：（8 8）单宽流量单宽流量:（9 9）断面平均流速断面平均流速：进而，求得：进而，求得：U断面平均流速与最大流速之比断面平均流速与最大流速之比：（1111）U（1212）粘性切应力分布粘性切应力分布：斜面上的粘性切
15、应力斜面上的粘性切应力：（1313）需要指出，在实际应用中，对于宽浅需要指出，在实际应用中，对于宽浅河道，由于河宽河道，由于河宽 B 远远大于水深远远大于水深 H，可，可按二维明渠水流计算。当水流为二维明渠按二维明渠水流计算。当水流为二维明渠均匀层流时，可直接应用本例计算结果。均匀层流时，可直接应用本例计算结果。3.3.等直径圆管恒定层流运动等直径圆管恒定层流运动重力作用下的等直径圆管中的恒定不可重力作用下的等直径圆管中的恒定不可压缩流体的层流运动。若圆管半径为压缩流体的层流运动。若圆管半径为r0，流，流体的密度为体的密度为 ，动力粘度为，动力粘度为，试求流体，试求流体的速度分布、断面平均流速
16、及作用于管壁上的速度分布、断面平均流速及作用于管壁上的粘性切应力。的粘性切应力。（1 1）选用圆柱坐标系选用圆柱坐标系 取取 z 轴与管轴重合，轴与管轴重合，r 垂直于管轴和管壁，垂直于管轴和管壁，沿周向，沿周向，h 表示铅直方向表示铅直方向。（2 2）简化简化 NS方程组方程组得出：得出：（1 1）（3 3）边界条件边界条件（4 4）解方程组）解方程组 将（将（1 1）式化为：）式化为：r 0，uz有限值；r r0，uz0（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）利用边界条件（利用边界条件（2 2）、（）、（3 3）求得）求得由（由（4 4）式可知（）式可知（p +gh）与）与 r和和无关，仅
17、为无关，仅为 z 的函数，对的函数，对r 积分求积分求uz 时，可将时，可将 作为常量看待，则得出作为常量看待，则得出则流速分布为：则流速分布为：（6 6）进而，求得：进而，求得：最大流速最大流速（r0）：）：（7 7）流量流量:（8 8）断面平均流速与最大流速之比断面平均流速与最大流速之比：（1010）U断面平均流速断面平均流速：（9 9）U管壁上的粘性切应力管壁上的粘性切应力：（1212）粘性切应力分布粘性切应力分布：（1111）需要说明：上述计算结果只适用于充分发需要说明：上述计算结果只适用于充分发展的均匀流动区，对于管道进口段则不适用。展的均匀流动区，对于管道进口段则不适用。1.1.蠕
18、动流概念蠕动流概念当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会出现层流运动的极端情况，即蠕零时，就会出现层流运动的极端情况，即蠕动流。动流。小球在极粘流体中沉降以及液体穿过孔小球在极粘流体中沉降以及液体穿过孔隙介质的流动（即渗流）均可作为蠕动流处隙介质的流动（即渗流）均可作为蠕动流处理。理。4.54.5 蠕动流蠕动流方程方程忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性作用及非恒定性迁移加速度没有明显的惯性作用及非恒定性可以忽略不计。可以忽略不计。2.2.蠕动流方程蠕动流方程略去惯性项后，重力场中不可压略去惯性
19、项后，重力场中不可压缩流体的缩流体的 NS方程化为方程化为（1）或或（2）对（对（2 2）式两端取散度，并考虑到：对）式两端取散度，并考虑到：对于不可压缩流体于不可压缩流体蠕动流问题可化为：在一定边界条件蠕动流问题可化为：在一定边界条件下求解拉普拉斯方程的问题。下求解拉普拉斯方程的问题。得出得出（3）及及1.1.层流与紊流层流与紊流 粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流）粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流）1839 1839年哈根通过圆管试验首次发现这两种流态。年哈根通过圆管试验首次发现这两种流态。1883 1883年雷诺通过圆管流动试验，清楚地演示这两年雷诺通过圆管流动试验，清楚地演示
20、这两种流态，如图所示。种流态，如图所示。4.64.6 紊流基本概念紊流基本概念圆管流动的临界雷诺数：圆管流动的临界雷诺数：U（a）层流）层流 （b）紊流）紊流2.2.雷诺雷诺方程方程（1 1）求时均的规则求时均的规则紊流为相当复杂的流动型态。流体质点激紊流为相当复杂的流动型态。流体质点激烈混掺，导致运动要素随时间作随机变化。烈混掺，导致运动要素随时间作随机变化。大量的实验表明：大量的实验表明：无论瞬时值如何变化，无论瞬时值如何变化，只要取足够长的时段，其时间平均值（简称时只要取足够长的时段，其时间平均值（简称时均值）就是确定的。均值）就是确定的。时均值时均值 可定义为可定义为瞬时值时均值脉动值
21、瞬时值时均值脉动值，则有，则有容易证明：容易证明：若若可利用这些关系式推导紊流基本方程。可利用这些关系式推导紊流基本方程。则得出则得出（2 2）雷诺方程的推导雷诺方程的推导 NS方程组为粘性流体的基本方程方程组为粘性流体的基本方程组，既适用于层流，也适用于紊流的瞬组，既适用于层流，也适用于紊流的瞬时值。时值。将将“瞬时值瞬时值”表示为表示为“时均值脉动时均值脉动值值”，并用求时均规则，可以导出雷诺，并用求时均规则，可以导出雷诺方程：方程：雷诺方程中增加了由雷诺应力：雷诺方程中增加了由雷诺应力：构成的附加项。构成的附加项。雷诺应力为二阶对称张量。雷诺应力为二阶对称张量。由于雷诺应力分量均未知，雷
22、诺方程组由于雷诺应力分量均未知，雷诺方程组不闭合，必须补充方程后才能求解。不闭合，必须补充方程后才能求解。3.3.关于紊流的求解关于紊流的求解（1 1）半经验理论半经验理论利用部分得到证明的假设，去建立雷诺利用部分得到证明的假设，去建立雷诺应力与时均量之间的关系，以解决紊流基本应力与时均量之间的关系，以解决紊流基本方程的封闭问题。主要有：方程的封闭问题。主要有：布辛涅斯克涡粘性系数；布辛涅斯克涡粘性系数；普朗特混和长度理论；普朗特混和长度理论；泰勒涡量传递理论；泰勒涡量传递理论；卡门相似理论等。卡门相似理论等。可归入一阶封闭模式或零方程模型范围。可归入一阶封闭模式或零方程模型范围。（2 2）二
23、阶封闭模式的紊流模型二阶封闭模式的紊流模型主要有：主要有：雷诺应力模型雷诺应力模型（微分模型，（微分模型，RSM）；）；代数应力模型代数应力模型（k-A 模型模型，ASM）；）；二方程模型二方程模型（涡粘性模型，（涡粘性模型，k-E 模型）；模型）；双尺度二阶紊流模型等。双尺度二阶紊流模型等。这些属于紊流模式理论范畴。这些属于紊流模式理论范畴。（3 3）紊流的高级数值模拟紊流的高级数值模拟 大涡模拟大涡模拟 （large eddy simulation，LES）直接数值模拟直接数值模拟 （direct numerical simulation）4.74.7 欧拉欧拉方程及其积分方程及其积分1.
24、1.莱姆葛罗米柯方程莱姆葛罗米柯方程此式为莱姆此式为莱姆葛罗米柯方程。葛罗米柯方程。对于质量力有势的均质不可压缩流体，对于质量力有势的均质不可压缩流体，利用矢量恒等式，可将欧拉方程化为：利用矢量恒等式，可将欧拉方程化为：式中，式中，为为力力势函数势函数,。2.2.伯努利积分伯努利积分依据莱姆依据莱姆葛罗米柯方程，对于葛罗米柯方程，对于恒定有旋流动，可以导出：恒定有旋流动，可以导出：（沿流线）（沿流线）此式为伯努利积分。该式表明：有势此式为伯努利积分。该式表明：有势质量力作用下的理想、不可压缩流体质量力作用下的理想、不可压缩流体的恒定有旋流动，同一流线上各点的的恒定有旋流动，同一流线上各点的 值相等。值相等。对于重力场，对于重力场，,当取当取 z 坐标坐标 与与 h 重合时，则有重合时，则有（沿流线）（沿流线）3.3.拉格朗日积分拉格朗日积分（全流场）（全流场）依据莱姆依据莱姆葛罗米柯方程，对于葛罗米柯方程，对于恒定无旋流动，可以导出：恒定无旋流动，可以导出：此式为拉格朗日积分。此式为拉格朗日积分。该式表明：该式表明：有势质量力作用下的理想、不可压缩有势质量力作用下的理想、不可压缩流体的恒定无旋流动，全流场各点的流体的恒定无旋流动，全流场各点的 值相等。值相等。对于重力场，对于重力场，,当取当取 z 坐标与坐标与 h 重合时，则有重合时，则有（全流场）（全流场）