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1、2.3 2.3 用频率估计概率用频率估计概率1.抛抛掷一一枚枚均均匀匀的的骰骰子子,向向上上一一面面的的点数点数为 5 的概率是多大的概率是多大?P(点数为点数为5)5)=复复 习习2.如如果果同同时掷两两枚枚大大小小、质地地完完全全相相同同的骰子，共有几种等可能的的骰子，共有几种等可能的结果果?当当一一次次试验涉涉及及两两个个因因素素(或或者者更更多多)时,可可以以用用列列举法法(“树形形图”或或者者“列列表表法法”)，列，列举出所有可能出出所有可能出现的的结果果.1234561（1,1）（2,1）（3,1）（4,1）（5,1）（6,1）2（1,2）（2,2）（3,2）（4,2）（5,2）（
2、6,2）3（1,3）（2,3）（3,3）（4,3）（5,3）（6,3）4（1,4）（2,4）（3,4）（4,4）（5,4）（6,4）5（1,5）（2,5）（3,5）（4,5）（5,5）（6,5）6（1,6）（2,6）（3,6）（4,6）（5,6）（6,6）第第1枚枚第第2枚枚可以看出可以看出,共有共有36种等可能的种等可能的结果果.列表如下列表如下:引引 入入问问题题:抛抛掷掷一一枚枚图图钉钉,可可能能出出现现 “钉钉尖尖着着地地”,也也可可能能 “钉钉尖尖不不着着地地”两两种种可可能能,“钉钉尖不着地尖不着地”的概率是多少的概率是多少?新新 课课 为了节省时间和尽可能条件的统为了节省时间和尽
3、可能条件的统一，我们约定一，我们约定:(1)(1)四四个个人人一一组组,一一人人丢丢币币,一一人人记记总总次次数数，另另一一人记正面向上的次数，最后一人填表人记正面向上的次数，最后一人填表;(2)(2)每每组组掷掷一一枚枚硬硬币币5050次次,(约约定定数数字字一一面面为为正正面面););(3)(3)丢丢币币同同学学坐坐在在座座位位上上,身身体体挺挺直直,在在与与眼眼睛睛高高度度平平行行的的位位置置,无无初初速速度度自自由由丢丢下下硬硬币币,下下落落过过程程中中,硬硬币币不得碰到任何物体不得碰到任何物体,否则否则,重丢一次重丢一次.活活动一一:把把全全班班同同学学分分成成10组,每每组同同学抛
4、学抛掷一枚硬一枚硬币50次次,填写下表填写下表:请同同学学们根根据据试验数数据据想想一一想想：“正正面面向上向上”的的频率有什么率有什么规律律?抛掷次数(n)50100150200250300350400450500频数(m)频率()试验者试验者抛掷次数抛掷次数(n)“正面向上正面向上”次数次数(m)“正面向上正面向上”频率频率棣莫弗棣莫弗 布丰布丰费勒费勒皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊2 0484 04010 00012 00024 0001 0612 0484 9796 01912 012 0.5180.506 90.497 90.501 60.500 5 棣莫弗棣莫弗(16671754)布丰布
5、丰(17071788)费勒费勒(19061970)皮尔逊皮尔逊(18571936)随随着着抛抛掷次次数数的的增增加加,“正正面面向向上上”的的频率的率的变化化趋势有何有何规律律?可可以以发发现现,在在重重复复抛抛掷掷一一枚枚硬硬币币时时,“正正面面向向上上”的的频频率率在在0.50.5左左右右摆摆动动.随随着着抛抛掷掷次次数数的的增增加加，摆摆动动的的幅幅度度越越来来越越小小.称称作作“正正面面向向上上”的的频频率率稳定于稳定于0.5.0.5.由频率可以估计概率由频率可以估计概率 是由瑞士数学家雅各是由瑞士数学家雅各 布布伯努利（伯努利（16541654 17051705）最早阐明的，）最早阐
6、明的，因而他被公认为是概因而他被公认为是概 率论的先驱之一率论的先驱之一归归纳纳 一一般般地地,在在大大量量重重复复试验中中,如如果果事事件件 A 发生生的的频率率 稳定定于于某某个个常常数数 p,那那么么事事件件 A 发生生的概率的概率 P(A)=p.活活动二二:把把全全班班同同学学分分成成10组,每每组同同学学抛抛掷一一枚枚图钉50次次,统计“钉尖尖不不着着地地”的的频数数m，填写下表，填写下表:次数(n)50100150200250300350 400450500频数(m)频率()mn 请请你你估估计计抛抛掷掷一一枚枚这这种种图图钉钉,“钉钉尖尖不不着着地地”的概率是多大的概率是多大?1
7、.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.投篮次数投篮次数(n)5050100100150150200200250250300300500500投中次数投中次数(m)282860607878104104123123152152251251投中频率投中频率()()(1)计算表中的投中频率计算表中的投中频率(精确到精确到0.01);(2)这名球员投篮一次这名球员投篮一次,投中的概率约是多少投中的概率约是多少(精确到精确到0.1)?0.560.600.520.52 0.490.510.50答答:投中的概率约是投中的概率约是0.5.练练 习习（1 1）某运动员投篮
8、）某运动员投篮5 5次次,投中投中4 4次次,能否说该运动员投一能否说该运动员投一次篮次篮,投中的概率为投中的概率为4/5?4/5?为什么为什么?P=1/10000000不能，不能，因为只有当重复实验次数大量增加时，事件发因为只有当重复实验次数大量增加时，事件发生的频率才稳定在概率附近。生的频率才稳定在概率附近。（2 2）19981998年年,在美国密歇根州汉诺城市的一个农场里在美国密歇根州汉诺城市的一个农场里出生了出生了1 1头白色的小奶牛头白色的小奶牛,据统计据统计,平均出生平均出生1 1千万头牛千万头牛才会有才会有1 1头是白色的头是白色的,由此估计出生一头奶牛为白色的由此估计出生一头奶
9、牛为白色的概率为多少概率为多少?例例1 1、在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实、在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验验,统计发芽种子数统计发芽种子数,获得如下频数分布表获得如下频数分布表:实验种子实验种子n(n(粒粒)1 15 55050100100200200500500100010002002000 03003000 0发芽频数发芽频数m(m(粒粒)0 04 4454592921881884764769519511901900 02852850 0发芽频率发芽频率m/nm/n0 0(1)(1)计算表中各个频率计算表中各个频率.0.80.950.950.9510.9520.940.920
10、.90.950.95450450(2)(2)估计该麦种的发芽概率估计该麦种的发芽概率(3)(3)如果播种如果播种500500粒该种麦种，种子发芽后的成秧率，粒该种麦种，种子发芽后的成秧率，90%90%，问可得到多少棵秧苗？，问可得到多少棵秧苗？(4)(4)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为41818184181818棵，棵，种子发芽后的成秧率为种子发芽后的成秧率为8787,该麦种的千粒质量为该麦种的千粒质量为35g,35g,那那么播种么播种3 3公顷该种小麦公顷该种小麦,估计约需麦种多少估计约需麦种多少kg?kg?解解:设需麦种设需麦种x kgx kg，则粒数
11、为则粒数为 由题意得由题意得,解得：解得：x531.x531.答答:播种播种3 3公顷该种小麦公顷该种小麦,估计约需估计约需531kg531kg麦种麦种.例例2、张小明承包了一片荒山，他想把小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果果园，片荒山改造成一个苹果果园，现在有两批幼苗可以在有两批幼苗可以选择，它，它们的成活率如下两个表格所示：的成活率如下两个表格所示：类树苗：类树苗：B B类树苗：类树苗：移植总移植总数数（m m）成活数成活数（m m）成活的成活的频率频率(m/n)(m/n)10108 80.480.48505047470.8700.8702702702352350.90.94
12、004003693690.9230.9237507506626620.8830.88315001500133513350.8900.89035003500320332030.9150.91570007000633563350.9050.905140001400012628126280.9020.902移植总移植总数（数（m m）成活成活数数（m m）成活的成活的频率频率(m/n)(m/n)10109 90.90.9505049490.980.982702702302300.850.854004003603600.90.97507506416410.8550.855150015001275127
13、50.8500.85035003500299629960.8560.85670007000598559850.8550.855140001400011914119140.8510.851、从表中可以发现，类幼树移植成活的频率在、从表中可以发现，类幼树移植成活的频率在_左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，估计类幼树移植成活的概率为愈加明显，估计类幼树移植成活的概率为_，估，估计类幼树移植成活的概率为计类幼树移植成活的概率为 0.90.90.90.90.850.85A A类类1111211112根据上表，回答下列问题：根据上表，回答下列问题
14、：、张小明选择类树苗，还是类树苗呢？、张小明选择类树苗，还是类树苗呢？_,_,若他的荒山需要若他的荒山需要1000010000株树苗，则他实际需要进树苗株树苗，则他实际需要进树苗_株株.1.如果某运如果某运动员投一次投一次篮投中的概率投中的概率为0.8,下列下列说法法对吗?为什么什么?(1)该运运动员投投5次次篮,必有必有4次投中次投中.(2)该运运动员投投100次次篮,约有有80次投中次投中.练一练练一练2.2.对一批西装质量抽检情况如下对一批西装质量抽检情况如下:抽检件数抽检件数2002004004006006008008001000100012001200正品件数正品件数19019039
15、039057657677377396796711601160次品的概率次品的概率(1)(1)填写表格中次品的概率填写表格中次品的概率.(2)(2)从这批西装中任选一套是次品的概率是多少从这批西装中任选一套是次品的概率是多少?(3)(3)若要销售这批西装若要销售这批西装20002000件件,为了方便购买次品西装的顾客前为了方便购买次品西装的顾客前来调换来调换,至少应该进多少件西装至少应该进多少件西装?通过今天的学习通过今天的学习,你有哪些收获你有哪些收获?作业作业 1.用用试验的的方方法法，估估计掷一一次次瓶瓶盖盖时，“其中一面朝上其中一面朝上”的概率是多少？的概率是多少？2.如何考察某一种如何
16、考察某一种树苗的移植成活率苗的移植成活率?3.如何估如何估计某个水塘中的某个水塘中的鱼的数目的数目?4.如何估如何估计某个森林公园内某个森林公园内鸟的数量的数量?4.44.4两个三角形相似的判定两个三角形相似的判定 2、三角形的中位线、三角形的中位线截得的三角形截得的三角形与与原三原三角形角形是否相似？是否相似？相似比是多少？相似比是多少？1、相似三角形的定义？、相似三角形的定义？ABCDE三角三角对应相等对应相等,三边三边对应成比例对应成比例的两个三角形的两个三角形叫做叫做相似三角形相似三角形.ABCDEABCDEABCDE结论：结论：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延平行于三角形
17、一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。如图在如图在ABC中中,点点D,E分别分别在在AB,AC上上,且且DE/BC,则则ADE与与ABC相似吗相似吗?(1)议一议议一议:这两个三角形这两个三角形的三个内角是否对应相等的三个内角是否对应相等?(2)量一量：量一量：这两个三角形的这两个三角形的边长边长,它们是否对应成比例它们是否对应成比例?(3)平行移动平行移动DE的位置再试一试的位置再试一试.平行于三角形一边的直线和其平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与
18、原三角形相似。所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形的预备定理DE/BC几何语言叙述：几何语言叙述：ADEABCABCDEABCDE如图如图,已知已知DE BC,DF AC,请尽可能多地找出图中的相请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。似三角形，并说明理由。ABCDFEABC 如图如图 ABC 和和 ABC中中,A=A,B=B .问问ABC与与ABC是否相似是否相似?ABCACC/B/BA/如如果果一一个个三三角角形形的的两两个个角角与与另另一一个个三三角角形形的的两两个角对应相等，那么这两个三角形相似。个角对应相等，那么这两个三角形相似。已知：在已知：在ABC 和和A/B/C/中中
19、,求证求证:ABC A/B/C/,BBAA=证明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别截取上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结连结DE。ABCA/C/B/D E AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，DE/BC，ADEABC。A/B/C/ABC A DE A/B/C/，AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，判定定理判定定理1 1：有有两个角对应相等的两个三角形相似。角对应相等的两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。两角对应
20、相等，两三角形相似。例例1 1、已知：、已知：ABCABC和和DEFDEF中，中，A=40A=400 0，B=80B=800 0，E=80E=800 0，F=60F=600 0。求证：。求证：ABCDEFABCDEF 证明：证明：在在ABCABC中中,A=40,A=400 0，B=80B=800 0，C=180C=1800 0A A B B60600 0 在在DEFDEF中，中，E=80E=800 0，F=60F=600 0 B=E B=E，C=FC=F ABCDEF ABCDEFC CB BA AD DF FE E（两角对应相等，两三角形相似）（两角对应相等，两三角形相似）1 1、如图：已知
21、，在、如图：已知，在ABCABC中，其中中，其中ADE=CADE=C，求证：求证：ABCADEABCADE，A AE ED DC CB B证明：在证明：在ABC ABC 和和ADEADE，A=AA=AADE=CADE=C，ABCADEABCADE)(练一练练一练（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）2 2、如图，已知在、如图，已知在ABCABC中，中，P P是是ABAB上的一点，连接上的一点，连接CPCP，使得，使得ACP=BACP=B，求证：求证：ACPABCACPABC证明：在证明：在ACP ACP 和和ABCABC中中A=AA=AACP=BACP=B，ACPABCACPABCA
22、 AB BC CP P)(（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）ABCDP已知已知:在圆在圆O O中中,弦弦ACAC和弦和弦BDBD相交于点相交于点P.P.(1)(1)求证：求证：APDBCP.APDBCP.（2 2）求证：求证：PAPAPC=PBPC=PBPDPDO(3)(3)如图，若如图，若ACAC为直径，为直径，弦弦BDACBDAC于于P P，OCOC交交ABAB 于于D D，BDBD=6cm=6cm，APAP=1cm.=1cm.求求OO的半径的半径.ADBCOP 例例2在一次数学活动课上，为了测量河宽在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采用了如下的，张杰采用了如下的方法
23、（如图）从方法（如图）从A处沿与处沿与AB垂直的直线方向走垂直的直线方向走40米到达米到达C处，插处，插一根标竿，然后沿同方向继续走一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达米到达D处，再向右转处，再向右转90度走度走到到E处，使处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量得三点恰好在一条直线上，量得DE20米，这米，这样就可以求出河宽样就可以求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）。，请你算出结果（要求写出解题过程）。ABDCEABDEO方法二方法二方法一方法一CDFCABD 求证：求证：(1)ABCCBDACD已知：已知：Rt ABC中，中，ACB90，CD AB .此结论可以称为此结论可以
24、称为“母子相似定理母子相似定理母子相似定理母子相似定理”,今后可以直接使用今后可以直接使用.（3）若）若BC=4,DB=3,求求AB的长。的长。2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=12AB=12，AC=10AC=10，点，点D D、E E分别是分别是边边ABAB、ACAC上的点，上的点，AD=6AD=6，连结，连结DEDE，当，当AEAE的长具备怎样的长具备怎样的条件时，的条件时，ADEADE与与ABCABC相似？相似？A AB BC CDEA AB BC CD DE E做一做做一做预备定理：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边（或
25、两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。通过今天的学习通过今天的学习,我们已经有几种方法可以证明两个三角我们已经有几种方法可以证明两个三角形相似形相似?利用定义利用定义:(涉及条件太多涉及条件太多,一般不一般不选用选用)相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理1 1：两角对应相等，两三角两角对应相等，两三角形相似形相似母子相似定理：母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。两个直角三角形和原三角形相似。1、已知：如图，在、已知：如图，在ABC中，中，AD、BE分别是分别是BC、AC
26、上的高，上的高，AD、BE相交于点相交于点F。（2）图中还有与）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出相似的三角形吗？请一一写出。（1）求证：）求证：AEFADC；ABCDEFAFEDC答答:有有AEFADCBECBDF.B BC CD DA AE EF F2.已知：如图，在梯形已知：如图，在梯形ABCD中，中，AD/EF/BC,AD=5，EF=14，DF:FC=3:2.求求BC的长的长3 3、如图，等腰三角形、如图，等腰三角形ABCABC的顶角的顶角A=36A=360 0，BDBD是是ABCABC的平分线，判断点的平分线，判断点D D是不是线段是不是线段ACAC的黄金分割点，并的黄金分割点，并说明理由。说明理由。A AB BC CD D4.已知，在梯形已知，在梯形ABCD中，中，AD平行与平行与BC，AB=DC=AD=6，ABC=60度，点度，点E.F分别在线段分别在线段AD.DC上（点上（点E与与AD不重合），且不重合），且BEF=120度，度，设设AE=x,DF=y.（1）求与的函数表达式。）求与的函数表达式。（2）当）当x为何值时，为何值时，y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？