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1、基于根轨迹的相位滞后校正概述：控制系统的根轨迹是当开环系统的某一参数（一般为系统的开环增益）从负无穷到正无穷变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上留下的轨迹。根轨迹分析方法就是利用绘制出的根轨迹来分析闭环系统稳定性和其他性能指标的方法。 基于根轨迹的控制系统的设计： 当系统的性能指标以时域指标提出时，可以借助根轨迹曲线获取校正装置的结构和参数。因为系统期望的闭环主导极点往往不在被控对象的根轨迹曲线上，所以需要添加一对零极点，来改变系统的根轨迹曲线。若期望主导极点在原根轨迹的左侧，则采用相位超前校正；若期望主导极点在原根轨迹上，则通过调整K值，以满足静态性能要求；若期望主导极点在原根轨迹的右侧，
2、则采用相位之后校正。具体步骤如下： 第一步：对被控对象（即未校正系统）进行性能分析，确定使用何种校正装置。 第二步：根据性能指标的要求，确定期望的闭环主导极点。 第三步：确定校正系统的参数和，写出其传递函数=Kc。 第四步：绘制根轨迹图，确定Kc。 第五步：对校正后的系统进行性能校验。 基于根轨迹的相位滞后校正：1、基于根轨迹的相位滞后校正基本原理： 设未校正系统的开环传递函数为(S)，校正系统的传递函数为=b（1），则校正系统的开环传递函数为G（s）=G0（s）（s）；设S1为期望的闭环主导极点，因此S1应满足系统的特征方程1+（s）（s）=0；由于是滞后校正，校正装置的零极点相对于S1来说
3、应是一对偶极子，而且离虚轴越近越好。因此，当S=S1时，校正装置的零极点可以看作是一对偶极子，所以有 （1-1） 记，,则 （1-2） 2、基于根轨迹的相位滞后校正步骤： 第一步：由稳态指标确定未校正系统的开环增益，对未校正系统进行性能分析。 第二步：根据未校正系统的根轨迹图及期望的动态性能指标，确定期望的闭环主导极点S1。 第三步：根据式（1-1）计算校正装置的参数。 第四步：选取并调整校正装置的参数T，直到系统性能满足要求。3、基于根轨迹的相位滞后校正，完成以下系统的校正： 已知单位反馈系统的开环传递函数为，试设计滞后校正装置，使系统满足：最大超调量；调整时间；单位斜坡响应的稳态误差。 解
4、：第一步：由稳态指标确定未校正系统的开环增益，对未校正系统进行性能分析。 校正后系统的开环传递函数 其单位斜坡响应的稳态误差为，解之得K01，取K0=1，因此未校正系统的开环传递函数为 。 未矫正系统的性能分析采用SISO Design Tool的分析方法，在MATLAB的“Command Window”中键入程序：n1=100；d1=conv（1 0,0.033 1)；g0=tf（n1，d1），可在“Workplace”中产生一个名为“g0”的变量，然后从设计视窗“Control and Estimation Tools Manager”的系统结构（Architecture）模块输入传递函数
5、g0；同时，在分析图设置（Analysis Plots）模块中选择Plot1为闭环系统的单位阶跃响应，调整误差带为5%，打开“LTI Viewer”可看到单位阶跃响应曲线，如图1-1所示。从图1-1中可以得到系统的最大超调量，调整时间，不能满足性能指标要求。图1-1未校正系统的单位阶跃响应曲线第二步：确定期望的闭环主导极点S1。 由求取，用sigma表示，用kesi表示，程序为sigma=0.15；ts=0.3；kesi=log（1/sigma）/(pi)2+(log(1/sigma)2)(1/2), 执行结果为kesi=0.5169。 为确保达到性能指标要求，取=0.55；从未校正根轨迹图上
6、可以得到根轨迹的分离点为d=-15，取期望极点的实部为d，则由d=-，计算出wn=27.3，代入到公中求得0.07755s，满足性能指标的要求，因此期望的闭环主导极点 可由以下程序求取：满足性能要求因此期望的闭环主导极点可由以下程序求取： kesi=0.55；wn=27.3；p=1 2*kesi*wn wn2，roots（p） 执行结果为ans = -15.0150+ 22.8000i -15.0150 - 22.8000i 即=-15.015 22.8i。 第三步：计算校正装置的参数。 根据式（1-2），使用以下程序可求取M0： s1= -15.015+ 22.8i ； n1=100；d1=
7、conv（1 0,0.033 1)；g0=tf（n1，d1）； ng0s1=polyval（n1，s1）；dg0s1=polyval（d1，s1）； gs1=ng0s1/dg0s1；m0=abs（gs1） 执行结果为m0 = 4.0435，即= 4.0435第四步：校正装置参数T的确定。 为保证校正装置的零极点相对于来说是一对偶极子，取，T=24。在确定参数T时，可采用实验的方法。首先，取T=2，则校正装置的传递函数为，将其输入到SISO Design Tool设计视窗“Control and Estimation Tools Manager”中的校正装置编辑器（Compensator Edi
8、tor）模块中，打开“LTI Viewer”及实时仿真图。在开环根轨迹图上用鼠标调整闭环极点的位置，边调整边观察“LTI Viewer”中的单位阶跃响应曲线，发现不能满足性能指标的要求；然后增大T，重复前面的过程，直到满足性能指标要求；最后，从设计视窗“Control and Estimation Tools Manager”的校正装置编辑器（Compensator Editor）模块中读取校正装置的传递函数。本题目中被确定的校正装置的传递函数。本题目中被确定的校正装置的传递函数为。 注意，在调整闭环极点的位置时要随时观察校正装置编辑器（Compensator Editor）模块中的校正装置的参数，一定要保证其增益的大于1。题目校正后系统的根轨迹图及伯德图如图1-2所示，校正后系统的单位阶跃响应曲线如图1-3所示。图1-2 校正后系统的根轨迹图和伯德图第五步：系统性能校验。从图1-3中可以读出系统的性能：最大超调量，调整时间。图1-3 校正后系统的单位阶跃响应曲线