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1、与旋转有关的最值难点突破专题 与旋转有关的最值与路径一、 构造全等,结合三边关系求最值1. 如图，等腰之间ABC中,AC=BC=,等腰直角CDP中，CD=CP且PB=,将CDP绕点C旋转（C、P、D三点按顺时针方向排列）（1） 当PBC= 时，BD有最小值，最小值为多少？（2） 当角PBC= 时,BD有最大值。最大值为多少？解:连接AD。CDP、ACB都是等腰直角三角形，CD=CP,AC=BC，PCD=BCA=90.PCD=BCP+BCD=90，BCA=BCD+DCA=90，BCP=DCA.BCP=ACD，BC=AC,CP=CD，CPBCDA(SAS),PB=AD=。AB-ADBDAB+AD，
2、2BD+2。（1）当PBC=45时，A、D、B共线，BD有最小值2;（2）当PBC=135时，A、D、B共线,BD有最大值+2.二、 遇等边三角形，旋转求最值2. 如图，ABC中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值。解：如图2，ABP逆时针旋转60得到ABC，ABA=60,AB=AB，AP=ACABA是等边三角形，AA=AB=BA=2，在AAC中，ACAA+AC，即AP6，则当点AA、C三点共线时，AC=AA+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6三、 遇等边三角形，旋转求最值3. 如图,ABC中，AB=，AC=3,以C为直角顶点，BC为直角边
3、，向下作等腰直角BCD，求AD的最大值。解：将ACD绕点C顺时针旋转90得ACB，连结AA，则AAC为等腰直角三角形，AA=，AC=3，AD=AB。ABAB+AA,当点B、A、A三点共线时，AB最大，此时AB=AB+AA=+3=4，AD的最大值为4四、 遇中点，构造中位线求最值4. 如图，在等腰直角ABC中,AB=AC=3，在等腰直角BEF中，BE=EF=1,O为CF的中点。当BEF绕点B旋转时，AO的最大值为 。五、 运动路径为线段长5. 在平面直角坐标系中,点C沿着某条路径运动,以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转到点B（m，1)若，则点C的运动路径长为 .解：如图1所示,在y轴上
4、取点P（0，1)，过P作直线lx轴,B（m，1）， B在直线l上，C为旋转中心,旋转角为90，BC=AC，ACB=90，APB=90， 1=2，作CMOA于M，作CNl于N,则RtBCNRtACM，CN=CM,若连接CP，则点C在BPO的平分线上,动点C在直线CP上运动；如图2所示，B（m,1)且5m5，分两种情况讨论C的路径端点坐标，当m=-5时，B（-5，1），PB=5,作CMy轴于M，作CNl于N，同理可得BCNACM，CM=CN，BN=AM，可设PN=PM=CN=CM=a，P（0，1）,A(0，4）,AP=3,AM=BN=3+a，PB=a+3+a=5,a=1，C（1，0）；当m=5时，B(5，1），如图2中的B1，此时的动点C是图2中的C1，同理可得C1(4，5），C的运动路径长就是CC1的长,由勾股定理可得，CC1=5