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1、圆锥曲线综合题高考常见题型与分析本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.(1)关于圆锥曲线的方程求解,一般是由定义法求曲线的方程或由已知条件直接求曲线方程,有时也会以求轨迹的形式出现,难度中等.(2)除了方程的求解,还有如下考查内容,圆锥曲线的弦长问题、最值问题、定点定值问题、探索性问题等,考查的知识点较多,能力要求高,尤其在考查学生的运算求解变形能力上,此类问题体现
2、的淋漓尽致,是高考试题中区分度较高的题目.(3)预测2015年的高考,对本节知识的考查仍以解答题为主,选择的载体一般是椭圆,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和内积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高.一、直线和圆锥曲线经典结论椭 圆1. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.4. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
3、5. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.6. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).7. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。8. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.9. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）3. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.4. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
4、P1P2的直线方程是.5. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.6. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 当在右支上时，,.当在左支上时，,7. AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。8. 若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.9. 若在双曲线（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.抛物线1. 以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. A、O、三点共线；8. B、O、三点共线；9. ；10. （定值）；11. ；12. ；
5、13. ；14. ;15. ;16.过抛物线上一点M(x0,y0)的切线方程为 注意：过抛物线上一点M(x0,y0)的切线的方程为：过抛物线上一点M(x0,y0)的切线的方程为：过抛物线上一点M(x0,y0)的切线的方程为：17.过抛物线焦点弦的两端点的抛物线的切线的交点在准线上；过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点二、20072014广东高考圆锥曲线综合题回顾年份载 体求 解2014椭 圆（1）求椭圆标准方程；（2）求点的轨迹方程2013抛物线（1）求抛物线方程；（2）求直线方程（3）求最值2012椭 圆（1）求椭圆方程；（2）存在性问题求最值2011圆（1）求点的轨迹
6、方程；（2）求最值2010双曲线（1）求点的轨迹方程；（2）求值2009抛物线（1）求点的轨迹方程；（2）求最值2008椭 圆（1）求椭圆方程和抛物线方程；（2）存在性问题2007椭 圆（1）求圆方程；（2）存在性问题求最值三、圆锥曲线常考题型与解题策略题型1：求轨迹方程解题策略：（1）熟练各种圆锥曲线的有关定义、标准方程、性质；（2）认真审题；（3）列式求解；（4）查漏补缺下结论。特别注意：若所求的方程后面要用到，必须验算！例1. （2014广东）已知椭圆的一个焦点为，离心率为。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.变式练习：
7、1.(2014辽宁) 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求的方程2.2014陕西 如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程题型2：与圆锥曲线相关的最值问题解题策略：(1)常用方法有配方法、判别式法
8、、导数法、函数单调性等;(2)参数方程法（三角代换法）,把问题转化为三角函数问题，利用三角函数的有界性;(3)不等式法,通过基本不等式求最值;(4)数形结合法.解决最值问题一定要分清哪些量为变量,哪些量为常量;解决此类问题要综合应用多种知识,注意问题切入点的突破.例2. 2014四川 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准
9、方程是1.(2)证法一：由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ.直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM，又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.证法二：设T点的坐标为(3，m)，P(x1，y1)，Q(x2，y
10、2)，PQ中点M（x0，y0），则若m=0，则PQ中点为F，满足OT平分线段PQ；若，则由，得O,M,T花线综上：OT平分线段PQ。 方一：由可得，|TF|，|PQ|.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)方二：由（1），得是椭圆的左准线，离心，由及椭圆第二定义，得，余略。变式练习：3.2014浙江卷 如图，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.4.2014山东卷
11、 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由题型3：与圆锥曲线相关的存在性问题求解策略： (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在.(2)策略:当条件和结论不唯一时要分类讨论;当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;当条件和结论
12、都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.例3.(2014深圳一模) 如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为（1）求直线及抛物线的方程；（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，的斜率分别为， 问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）（法一）点在抛物线上， 设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由 得， ，由，得，则直线方程为两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，有，解得或（舍去）直线的方程为，抛物线的方程为 （法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为
13、 设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，的最小值为，由，解得因此，直线的方程为，抛物线的方程为 （2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由 得，设点、的坐标分别为、，则， 由 得， 因此，存在实数，使得成立，且点评:(1)常常根据题意建立含有参数的等式或不等式,通过解等式或不等式求参数的值或范围.(2)建立关于某变量的一元二次方程,利用根与系数的关系或利用判别式求参数或参数的范围.变式练习：5.已知动圆P与圆F1:(x+3)2+y2=81相切,且与圆F2:(x-3)2+y2=1相内切,记圆心P的轨迹为曲线C;设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点,O为坐标原点,过点F2作OQ
14、的平行线交曲线C于两个不同的点M,N.(1)求曲线C的方程;(2)试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;(3)记QF2M的面积为S1,OF2N的面积为S2,令S=S1+S2,求S的最大值.6. 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量OP+OQ与AB共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.7.2014邯郸期末 已知点F1(1，0)，F2(1，0)分别是椭圆C：1(ab
15、0)的左、右焦点，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程(2)设直线l1：ykxm，l2：ykxm，若l1，l2均与椭圆C相切，试探究在x轴上是否存在定点M，点M到l1，l2的距离之积恒为1.若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由题型4：与圆锥曲线的弦长、距离、面积等有关的问题解题策略：（1）当直线的斜率是否存在未定时，用点斜式或斜截式表示直线时，需分类讨论；当直线与y轴不垂直时，可设直线为的形式。将直线方程与圆锥曲线方程联立,构成方程组,得到型如的方程，判别式为，利用根与系数的关系设而不求计算弦长,设两交点为，则|AB|=（k为直线AB的斜率）；（2）当涉及过焦点的弦长问题时,可考虑
16、用圆锥曲线的定义；（3）当弦过原点时，可考虑转化为极坐标方程解。例4 (2014大纲全国,理21)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.命题定位:本题主要考查抛物线的定义、直线方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式等知识,体现数形结合的思想、函数方程思想.对运算求解能力、分析问题和解决问题的能力、数学探究能力及综合运用知识的能力有较高的要求. 解：（I）设，代入，得由题设得
17、，解得（舍去）或，C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入，得设则故的中点为又的斜率为的方程为将上式代入，并整理得设则故的中点为由垂直平分，故四点在同一圆上等价于，则 即，化简得，解得或所求直线的方程为或变式练习：8.(2014课标全国) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.9. 在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p0）相交于A、B两点。（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的
18、直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。题型5：圆锥曲线的中点弦问题解题策略：这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有“点差法”、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。例5.2014湖南 如图7，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且. （）求的方程；图7（）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值.解：（），即，从而，于是，故椭圆方程为,双曲线的方程为.（）因为直线不
19、垂直于轴且过点，故设直线的方程为. 由得，设，则是上述方程的两个实根，因此，的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即.由得，设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，因为点在直线的异侧，所以，于是,从而又因为，所以四边形面积而，故当时，取得最小值2.故四边形面积的最小值为2.变式练习：10.（2013新课标）平面直角坐标系xoy中,过椭圆 的右焦点作直交于A,B两点,为的中点,且OP的斜率为.()求的方程;()为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.11. 已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。题型6：圆
20、锥曲线中的参数问题解题策略：(1)函数法,用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用函数值域来求解;(2)不等式法,根据题意建立含有参数的不等式,通过解不等式求参数的范围;(3)判别式法,建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式0求参数的范围;(4)方程思想,建立含有参数的等式,通过等式确定参数.例6.2014佛山质检 已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，且F2到直线xy90的距离等于椭圆的短轴长(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值解：
21、(1)设椭圆的方程为1(ab0)依题意可知，2b4，所以b2.又c1，故a2b2c25，故椭圆C的方程为1.(2)设Q(x0，y0)，圆P的方程为x2(yt)2t21.因为PMQM，所以|QM|.若4t2，即t，当y02时，|QM|取得最大值，|QM|max，解得t2，即0t，当y04t时，|QM|取最大值，且|QM|max，解得t2.又0tb0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c
22、，0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则，所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因为点P在椭圆上，所以1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c.代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，则圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4，所以直线l的斜率为4或4.变式
23、练习： 16.2014重庆卷 如图所示，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径17.2014新课标全国卷 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.18.2014安徽 如图，已知两条抛物线E1：y22p1x(
24、p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点 (1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值 变式练习参考答案1解：（1）（2）由（1）可知双曲线C1的焦点（，0），即为椭圆C2的焦点可设椭圆C2的方程为（b10）把P代入可得，解得=3，因此椭圆C2的方程为由题意可设直线l的方程为x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为，x1+x2=，x1x2=，+，解得m=或
25、m=，因此直线l的方程为：或 2.解：(1) （2），：，方法二：若设直线l的方程为xmy1(m0)，比照方法一给分3. 解：(1)设直线l的方程为ykxm(k0)，由得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l与C只有一个公共点，故0，即b2m2a2k20，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，故点P的坐标为P.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为xky0，所以点P到直线l1的距离d，整理得d.因为a2k22ab，所以ab，当且仅当k2时等号成立所以，点P到直线l1的距离的最大值为ab.4. 解：(1)由题意知F.设D(t，0)(t0)，则FD的中点为.因为
26、|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02，0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)所以直
27、线AE过定点F(1，0)由知，直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由y00，得xy2x0.代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4，则ABE的面积S4x0216，当且仅当x0，即x01时，等号成立所以ABE的面积的最小值为16.5. 解:(1)设圆心P的坐标为(x,y),半径为R,动圆P与圆F1:(x+3)2+y2=81相切,且与圆F2:(x-3)2+y2=1相内切,动圆P与
28、圆F1:(x+3)2+y2=81只能内切.|PF1|=9-R|PF2|=R-1|PF1|+|PF2|=8|F1F2|=6.圆心P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=6.a=4,c=3,b2=a2-c2=7.故曲线C的方程为x216+y27=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),直线OQ的方程为x=my,则直线MN的方程为x=my+3.由x=my,x216+y27=1,可得x2=112m27m2+16,y2=1127m2+16,则x32=112m27m2+16,y32=1127m2+16.|OQ|2=x32+y32=112m27m2+16+1127m
29、2+16=112(m2+1)7m2+16.由x=my+3,x216+y27=1,可得(7m2+16)y2+42my-49=0,y1+y2=-42m7m2+16,y1y2=-497m2+16.|MN|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(my2+3)-(my1+3)2+(y2-y1)2=m2+1|y2-y1|=m2+1(y1+y2)2-4y1y2=m2+1-42m7m2+162-4-497m2+16=56(m2+1)7m2+16.|MN|OQ|2=56(m2+1)7m2+16112(m2+1)7m2+16=12.|MN|和|OQ|2的比值为一个常数,这个常数为12.(3)MNOQ,QF2M的面
30、积=OF2M的面积.S=S1+S2=SOMN.O到直线MN:x=my+3的距离d=3m2+1,S=12|MN|d=1256(m2+1)7m2+163m2+1=84m2+17m2+16=84m2+17m2+12+9=847m2+1+9m2+184279=27当且仅当7m2+1=9m2+1即m=147时,S取最大值27.(或：令m2+1=t,则m2=t2-1(t1),S=84t7(t2-1)+16=84t7t2+9=847t+9t.7t+9t27t9t=67(当且仅当7t=9t,即t=37,亦即m=147时取等号),当m=147时,S取最大值27.）6. 解:(1)由已知条件知直线l的方程为y=k
31、x+2,代入椭圆方程,得x22+(kx+2)2=1,整理得12+k2x2+22kx+1=0.由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,得=8k2-412+k2=4k2-20,解得k22.故k的取值范围为-,-2222,+.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2).由方程,知x1+x2=-42k1+2k2.又y1+y2=k(x1+x2)+22=221+2k2.由A(2,0),B(0,1),得AB=(-2,1).所以OP+OQ与AB共线等价于x1+x2=-2(y1+y2),将代入,解得k=22.因为由(1)知k22,所以不存在符合题意的常数k.7. 解：(1
32、)方法一：由F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，得c1.又a22，b21，故椭圆C的方程为y21.方法二：由F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，得c1.又2a|PF1|PF2|2 ，a，b1. 故椭圆C的方程为y21.(2)把l1的方程代入椭圆方程，整理得(12k2)x24mkx2m220.直线l1与椭圆C相切，16k2m24(12k2)(2m22)0，化简得m212k2.同理把l2的方程代入椭圆方程，也得m212k2.设在x轴上存在点M(t，0)，点M到直线l1，l2的距离之积为1，则1，即|k2t2m2|k21，把12k2m2代入上式并去绝对值整理，得k2(t23)
33、2或k2(t21)0.k2(t23)2显然不恒成立，要使得k2(t21)0对任意的kR恒成立，则t210，解得t1.综上所述，满足题意的定点M存在，其坐标为(1，0)或(1，0)8. 解：() 设，由条件知，得= 又，所以a=2=， ,故的方程. （）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 将代入，得，当，即时，从而= +又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ，当且仅当，即等号成立，且满足，（或：设，则，当且仅当，等号成立，且满足）所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. 9. （）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与
34、x2=2py联立得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.于是.（）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.=令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，（）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有令为定值故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线。10. 解：(1)
35、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，由此可得.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为y，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|.由已知，四边形ACBD的面积.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.11. 解：（）离心率，即 ；又椭圆过点，则，式代入上式，解得，故椭圆方程为。（）解法一：设，弦MN的中点A由得：，直线与
36、椭圆交于不同的两点，即 由韦达定理得：，则，直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入式，可得，即，则。解法二：设，弦MN的中点A，则两式相减，得当时，由得由题意，得A在直线和椭圆内且不在x轴上，则或，在此范围单调递增，故或。12. 解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的判别式16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(i)若由解得k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(ii)若或由解得k或k0.即当k时，直线l与C1只有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C