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1、复习回顾复习回顾n在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相等有一组量相等,那么那么它们所对应的其余各组量都分别相等它们所对应的其余各组量都分别相等.O OA AB BD DA AB BDDO OA AB BD DOOA AB BDD圆心角圆心角,弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 第第2828章章 圆圆28.1.2 圆的对称性圆的对称性（2）垂径定理垂径定理ABCDOOCDABEOCDAB图图 1图图 2图图 3探究探究 在图在图1 1中，我们很容易得到中，我们很容易得到AO=BOAO=BO。
2、如图如图2 2，弦，弦ABAB平移，在平移过程中，平移，在平移过程中，ABAB始始终垂直直径终垂直直径CDCD于于E E点，请问点，请问CDCD还会平分还会平分ABAB吗？吗？OCDABEAE=BE。求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为，垂足为E。已知：已知：证明：证明：连结连结OA、OB，则，则OA=OB。AC=BC，AD=BD CDAB于于E(等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一)类似地类似地,你能得你能得到有关弧的结到有关弧的结论吗？论吗？OCDABEAE=BE，AC=BC，AD=BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是
3、是弦，弦，CDAB，垂足为，垂足为E。已知：已知：垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对条弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。垂径定理：垂径定理：垂径定理垂径定理条件：条件：1、CD为直径为直径2、CDAB3、AE=BE 4、5、结论：结论：(CD平分弦平分弦AB)(CD平分弧平分弧ACB)AC=BC(CD平分弧平分弧AB)AD=BD 知二得三知二得三OCDABEAE=BE，AC=BC，AD=BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为，垂足为E。已知：已知：垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对条弦，并且
4、平分弦所对的两条弧。的两条弧。垂径定理：垂径定理：二、垂径定理二、垂径定理条件：条件：结论：结论：1、直径（过、直径（过圆心的直线）圆心的直线）2、垂直弦、垂直弦3、平分弦、平分弦4、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的劣弧5、平分弦所对的优弧、平分弦所对的优弧知二得三知二得三OCDABE 垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：垂径定理：ADBCOEADBCEO图图 1图图 2思考思考：如图：如图1，2，AE=BE吗？吗？为什么？为什么？CDAB,垂径定理的推论垂径定理的推论AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你能发现
5、图中有哪些结论你能发现图中有哪些结论?与同伴说说你的想法和与同伴说说你的想法和理由理由.做一做做一做n过点过点M作直径作直径CD.OCDn由由 CD是直是直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB平分弦平分弦 的直径垂直的直径垂直于弦于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.（不是直径）（不是直径）垂径定理的结论垂径定理的结论如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:想一想想一想OABCD M CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦
6、所对的两条弧。平分弦平分弦 的直径垂直的直径垂直于弦于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.（不是直径）（不是直径）平分弦所对的一条弧的平分弦所对的一条弧的直径直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧.垂径定理的推论：垂径定理的推论：n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的其余结论垂径定理的其余结论如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.想一想想一想OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,A
7、C=BC,AD=BD.条件结论命题 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.
8、平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CD是直径是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.OABCDM（1 1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧()()（2 2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。经过圆心。()()（3 3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分）
9、圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.().()（4 4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。两条弧。()()（5）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧条弦所对的另一条弧.（）（7 7）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧（）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧（）（8 8）平分弦的直线，必定过圆心。（）平分弦的直线，必定过圆心。（）（9 9）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。（）ABCDO(1)ABCDO(2)A
10、BCDO(3)例例 1、如图，已知在、如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径。的半径。OABE解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂，垂足为足为E，则，则OE=3cm,AE=BE.AB=8cmAE=4cm在在RtAOE中中,有有OA=OE+AE =3+4=5(cm)2222O的半径为的半径为5cm辅助线：半径，弦心距，弦三者构辅助线：半径，弦心距，弦三者构造直角三角形造直角三角形 例例2、如图，在以、如图，在以O为圆心的两个为圆心的两个同心圆中同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点。两点。求证：
11、求证：AC =BDABCDOE证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AE =BE,CE =DEAE CE =BE DE 即即 AC =BD注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，是一种常用的辅助线添法的垂线，是一种常用的辅助线添法。OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧6 6、O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ .2cm或或14cmABCDO1、如图、如图1
12、，在，在 O中中,AB是是 弦弦,OC=OD。求证：求证：AC=BD (1)ABCDO2、如图、如图2，在，在 O中中,CD是是弦弦,OA=OB。求证：求证：AC=BD (2)练习练习4.已知：如图，在已知：如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，为互相垂直的两条相等的弦，ODAB,OEAC,D、E为垂足。为垂足。求证：求证：ADOE为正方形。为正方形。OABCDE3.在半径为在半径为50mm的的 O中，中，有长有长50mm的弦的弦AB。计算：。计算：（1）点点O与与AB的距离；的距离；（2）AOB的度数。的度数。OAB练习练习小结小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关
13、弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO结结 论：论：圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。是它的对称轴。特殊性：特殊性：对称轴有无数条对称轴有无数条一、圆的轴对称性一、圆的轴对称性二、垂径定理二、垂径定理垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对条弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。三、应用举例三、应用举例辅助线：垂直于弦的直径辅助线：垂直于弦的直径垂线段垂线段