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1、平稳随机过程分析第1页，此课件共57页哦2本章要解决的问题本章要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法?v傅里叶变换能否应用于随机信号？傅里叶变换能否应用于随机信号？v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v白噪声的定义白噪声的定义 第2页，此课件共57页哦33.1 随机过程的谱分析随机过程的谱分析 一一 预备知识预备知识1 付氏变换付氏变换设设x(t)是时间是时间t的非周期实函数，且的非周期实函数，且x(t)满足满足v 在在 范围内满足狄利赫利条件范围内满足狄利赫利条件 v 绝对可积，即绝对可积，即 v 信号的总
2、能量有限，即信号的总能量有限，即 有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点为有限值断点为有限值第3页，此课件共57页哦4则则 的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：其反变换为：其反变换为：称称 为为 的频谱密度，也简称为频谱。的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱包含：振幅谱 相位谱相位谱第4页，此课件共57页哦52 帕塞瓦等式帕塞瓦等式即即能量谱密度能量谱密度3.1.1 3.1.1 实随机过程的功率谱密度实随机过程的功率谱密度第5页，此课件共57页哦6二二 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 应用截取函数应用截取函数 第6页，此课件共57页哦7当当x(t)为有限值时，为有限值时，的傅里叶
3、变换存在的傅里叶变换存在 应用帕塞瓦等式应用帕塞瓦等式 除以除以2T取集合平均取集合平均第7页，此课件共57页哦8令令 ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序，再取极限，交换求数学期望和积分的次序 功率功率Q 非负非负存在存在（1）Q为确定性值，不是随机变量为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。为确定性实函数。注意：注意：第8页，此课件共57页哦9两个结论：两个结论：1表示时间平均表示时间平均 若平稳若平稳2第9页，此课件共57页哦10v功率谱密度：功率谱密度：描述了随机过程描述了随机过程X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各个不同频率上的分布 称为称为随机过程随机过程X(t
4、)的功率谱密度。的功率谱密度。v对对 在在X(t)的整个频率范围内积分，的整个频率范围内积分，便可得到便可得到X(t)的功率。的功率。v对于平稳随机过程，有：对于平稳随机过程，有：第10页，此课件共57页哦11例：设随机过程例：设随机过程 ，其中，其中 皆是实常数，皆是实常数，是服从是服从 上均匀分布的随上均匀分布的随机变量，求随机过程机变量，求随机过程 的平均功率。的平均功率。解：解：不是宽平稳的不是宽平稳的第11页，此课件共57页哦12第12页，此课件共57页哦133.1.2 实平稳功率谱密度与自相关函数之间的关系实平稳功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：确定信号：随机信号：平稳随
5、机过程的自相关函数随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。功率谱密度。1 维纳维纳辛钦定理辛钦定理 若随机过程若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：第13页，此课件共57页哦14 第14页，此课件共57页哦15推论：对于一般的随机过程推论：对于一般的随机过程X(t)，有：，有：平均功率为：平均功率为：利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳性质，又可将维纳辛钦定理表示成：辛钦定理表示成：第15页，此课件共5
6、7页哦163单边功率谱单边功率谱 由于实平稳过程由于实平稳过程x(t)的自相关函数的自相关函数 是实是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。第16页，此课件共57页哦17例：平稳随机过程的自相关函数为例：平稳随机过程的自相关函数为 ，A0，求过程的功率谱密度。，求过程的功率谱密度。解：应将积分按解：应将积分按 和和 分成两部分进行分成两部分进行 第17页，此课件共57页哦18例：设例：设 为随机相位随机过程为随机相位随机过程其中，其中，为实常数为实常数 为随机相位，在为随
7、机相位，在 均匀分布。均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为函数为 求求 的功率谱密度的功率谱密度 。第18页，此课件共57页哦19解：注意此时解：注意此时 不是有限值，即不可不是有限值，即不可积，因此积，因此 的付氏变换不存在，需要引入的付氏变换不存在，需要引入 函数。函数。第19页，此课件共57页哦20例：设随机过程例：设随机过程 ，其中，其中 皆为常数，皆为常数，为具有功率谱密度为具有功率谱密度 的平稳随机过程。求过程的平稳随机过程。求过程 的功率谱密度。的功率谱密度。解：解：第20页，此课件共57页哦21平稳随机过程功率
8、谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 一一、功率谱密度的性质功率谱密度的性质 1 功率谱密度为非负的功率谱密度为非负的,即即 证明：证明：2 功率谱密度是功率谱密度是 的实函数的实函数 第21页，此课件共57页哦223 对于实随机过程来说，功率谱密度是对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，的偶函数，即即证明：证明：是实函数是实函数又又第22页，此课件共57页哦234 功率谱密度可积，即功率谱密度可积，即 证明：对于平稳随机过程，有：证明：对于平稳随机过程，有：平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的均方值有限第23页，此课件共57页哦24二二 谱分解定理谱分解定理 1 谱分解谱分解 在
9、平稳随机过程中有一大类过程，它们的在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为功率谱密度为 的有理函数。在实际中，许的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近 。这时。这时 可以表示为两个多项式之比，可以表示为两个多项式之比，即即 第24页，此课件共57页哦25 若用复频率若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：式：第25页，此课件共57页
10、哦26 据据平平稳稳随随机机过过程程的的功功率率谱谱密密度度的的性性质质，可可以导出关于以导出关于 的零、极点的如下性质的零、极点的如下性质：（1）为实数。为实数。（2）的所有虚部不为的所有虚部不为0的零点和极点的零点和极点都成复共轭出现。都成复共轭出现。（3）的所有零、极点皆为偶重的。的所有零、极点皆为偶重的。（4）MN。第26页，此课件共57页哦272 谱分解定理谱分解定理 根据上面的性质，可将根据上面的性质，可将 分解成两项之积，分解成两项之积，即：即：其中其中（零极点在（零极点在s s上半平面）上半平面）（零极点在（零极点在s s下半平面）下半平面）且且谱分解定理谱分解定理 此时此时第
11、27页，此课件共57页哦283 为有理函数时的均方值求法为有理函数时的均方值求法（1）利用）利用（2）直接利用积分公式）直接利用积分公式 （3）查表法）查表法（4）留数法）留数法 第28页，此课件共57页哦29补充知识：留数定理补充知识：留数定理 设为设为 复变量复变量s的函数，且其绕原点的简单的函数，且其绕原点的简单闭曲线闭曲线C反时针方向上和曲线反时针方向上和曲线C内部只有几个极点内部只有几个极点 则：则：一阶留数一阶留数 二阶留数二阶留数 第29页，此课件共57页哦30 上上式式积积分分路路径径是是沿沿着着 轴轴，应应用用留留数数法法时时，要要求求积积分分沿沿着着一一个个闭闭合合围围线线
12、进进行行。为为此此，考考虑虑沿沿着着左左半半平平面面上上的的一一个个半半径径为为无无穷穷大大的的半半园园积积分分。根根据据留留数数定定理理，不难得出不难得出第30页，此课件共57页哦31功率谱密度和复频率面功率谱密度和复频率面（只是记号相同，函数形式不同）（只是记号相同，函数形式不同）第31页，此课件共57页哦32例例:考虑一个广义平稳随机过程考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱，具有功率谱密度密度 求过程的均方值求过程的均方值解解:用复频率的方法来求解。用复频率的方法来求解。用用 代代入入上上式式得得用用复复频频率率s表表示示得得功功率率谱谱密密度：度：第32页，此课件共57页哦33
13、因式分解：因式分解：在左半平面内有两在左半平面内有两个极点：个极点：-1和和-3。于是可以。于是可以分别计算这两个极点的留分别计算这两个极点的留数为：数为：故：故：第33页，此课件共57页哦343.2 两个实随机过程的互功率谱密度两个实随机过程的互功率谱密度一、互谱密度一、互谱密度 考虑两个平稳实随机过程考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的它们的样本函数分别为样本函数分别为 和和 ，定义两个截取函数，定义两个截取函数 、为：为：第34页，此课件共57页哦35 因为因为 、都满足绝对可积的条件，所以都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围它们的傅里叶变换存在。在时间
14、范围 (-T，T)内，内，两个随机过程的互功率两个随机过程的互功率 为为:（注意（注意 、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于由于 、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即理对它们也适用，即:第35页，此课件共57页哦36 注意到上式中，注意到上式中，和和 是任一样本函数，因此具有是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令随机性，取数学期望，并令 得：得：第36页，此课件共57页哦37 定义互功率谱密度为：定义互功率谱密度为：则则第37页，此课件共57页哦38同理，有：同理，有：且且第38页，此课
15、件共57页哦39二、互谱密度和互相关函数的关系二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数自相关函数 功率谱密度功率谱密度 F互相关函数互相关函数 互谱密度互谱密度 F 定义：对于两个实随机过程定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度其互谱密度 与互相关函数与互相关函数 之间之间的关系为的关系为 即即第39页，此课件共57页哦40若若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有各自平稳且联合平稳，则有即即结论：对于两个联合平稳结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳至少是广义联合平稳)的的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换
16、。为傅里叶变换。第40页，此课件共57页哦41三、互谱密度的性质三、互谱密度的性质性质性质1 1：证明：证明：（令（令 ）第41页，此课件共57页哦42性质性质2：证明：证明：（令（令 ）同理可证同理可证第42页，此课件共57页哦43性质性质3：证明：类似性质证明：类似性质2证明。证明。性质性质4：若若X(t)与与Y(t)正交，则有正交，则有 证明：若证明：若X(t)与与Y(t)正交，则正交，则 所以所以第43页，此课件共57页哦44性质性质5 5：若若X(t)与与Y(t)不相关，不相关，X(t)、Y(t)分别分别具有常数均值具有常数均值 和和 ，则，则 证明：证明：因为因为X(t)与与Y(t
17、)不相关，所以不相关，所以（）第44页，此课件共57页哦45性质性质6：例：设两个随机过程例：设两个随机过程X(t)和和Y(t)联合平稳，联合平稳，其互相关函数其互相关函数 为为:求互谱密度求互谱密度 ，。第45页，此课件共57页哦46解：解：第46页，此课件共57页哦473.3 白噪声白噪声一、理想白噪声一、理想白噪声定义：若定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在过程，其功率谱密度均匀分布在 的整的整个频率区间，即个频率区间，即 其中其中 为一正实常数，则称为一正实常数，则称N(t)为白噪声过为白噪声过程或简称为白噪声。程或简称为白噪
18、声。第47页，此课件共57页哦48自相关函数为自相关函数为 自相关系数为自相关系数为 第48页，此课件共57页哦49总结：总结：（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。（2）白噪声的均方值为无限大）白噪声的均方值为无限大而物理上存在的随机过程，其均方值总是有而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。限的。（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。第49页，此课件共57页哦50二、限带白噪声二、限带白噪声1低通型低通型定义：若过程的功率谱密度满足定义：若过程的功率谱密度满足 则称此过程为低通型限带白噪
19、声。将白噪则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出声通过一个理想低通滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。低通型限带白噪声。第50页，此课件共57页哦51低通型限带白噪声的自相关函数为低通型限带白噪声的自相关函数为第51页，此课件共57页哦52图图3.11示出了低通型限带白噪声的示出了低通型限带白噪声的 和和 的图形，注意，时间间隔的图形，注意，时间间隔 为整数倍的那为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为些随机变量，彼此是不相关的（均值为0，相，相关函数值为关函数值为0）。）。第52页，此课件共57页哦532.带通型带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为带通
20、型限带白噪声的功率谱密度为 由维纳由维纳辛钦定理，得到相应的自相关函数为辛钦定理，得到相应的自相关函数为 第53页，此课件共57页哦54 带通型限带带通型限带白噪声的白噪声的 和和 的图形的图形 第54页，此课件共57页哦55三、色噪声三、色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机过程，我按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。噪声或简称色噪声。第55页，此课件共57页哦56小小 结结 1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，因随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存而随
21、机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：即：但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即即若随机过程若随机过程X(t)平稳，则平稳，则 第56页，此课件共57页哦572.平均功率的四种求法：平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求积分（有查表；留数；对功率谱密度求积分（有个个 系数）；求相关函数后令系数）；求相关函数后令 .一般过程：一般过程：3.随机过程的平均功率：随机过程的平均功率：即集合平均统计平均。即集合平均统计平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。特定函数的付氏变换需记忆。第57页，此课件共57页哦