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1、第第2121章章 二次根式二次根式21.1 21.1 二次根式二次根式第一课时第一课时 二次根式的概念二次根式的概念什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。正数的正的平方根叫做它的算术平方根。回忆什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做，则这个数就叫做a的平方根。的平方根。用用 (a0)表示。表示。0 0的算术平方根平方根是的算术平方根平方根是0 0a的平方根是的平方根是讲解点讲解点1：二次根式的概念二次根式的概念 正数有两个平方
2、根且互为相反数；正数有两个平方根且互为相反数；0 0有一个平方根就是有一个平方根就是0 0；负数没有平方根。负数没有平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是什么的平方根是什么?算术平方根是什么？算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？的平方根是什么？算术平方根是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。都有算术平方根；负数没有算术平方根。50米米a米米 塔座所形成的这个直角三角形的塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为斜边长为_米。米。?米米S 圆形的下球体在平面图上的面积为
3、圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为则半径为_.如图所示的值表示正方形的面如图所示的值表示正方形的面积，则积，则正方形的边长是正方形的边长是b-3-3表示一些表示一些正数正数的的算术平方根算术平方根a叫叫被开方数被开方数你认为所得的各代数式有哪些共同特点？你认为所得的各代数式有哪些共同特点？形如形如 （a0）的式子叫做二次根式。）的式子叫做二次根式。理解理解理解理解：（：（：（：（1 1）从形式上看，二次根式必须含有二次根号）从形式上看，二次根式必须含有二次根号）从形式上看，二次根式必须含有二次根号）从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”“”；（；（；（；（2 2）（a a00）中的）
4、中的）中的）中的a a可以是数，也可以代可以是数，也可以代可以是数，也可以代可以是数，也可以代数式。如：数式。如：数式。如：数式。如：等都是二次根式，等都是二次根式，等都是二次根式，等都是二次根式，而而而而 等都不是二次根式；（等都不是二次根式；（等都不是二次根式；（等都不是二次根式；（3 3）二）二）二）二次根式的概念是在平方根和算次根式的概念是在平方根和算次根式的概念是在平方根和算次根式的概念是在平方根和算术术平方根基平方根基平方根基平方根基础础上提出的，上提出的，上提出的，上提出的，（a a00）表示一个非）表示一个非）表示一个非）表示一个非负负数的算数的算数的算数的算术术平方根，故意它
5、是一平方根，故意它是一平方根，故意它是一平方根，故意它是一个非个非个非个非负负数，即数，即数，即数，即 0 0。二次根式二次根式被开方数被开方数a0；根指数为根指数为2.二次根式二次根式【说明说明】二次根式必须具备以下特点；二次根式必须具备以下特点；(1)(1)有二次根号；有二次根号；(2)(2)被开方数不能小于被开方数不能小于0 0。2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3.形式上含有二次根号形式上含有二次根号4.a0,0 5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根(双重非负性双重非负性)说一说说一说:下列各式是
6、二次根式下列各式是二次根式吗吗?(m0),(m0),(x,y(x,y 异号异号)警示！警示！在实数范围内在实数范围内,负数没有平方根负数没有平方根1、判断下列代数式中哪些是二次根式？、判断下列代数式中哪些是二次根式？，（3）（4），（5 5）你能用魔法师变出的这些代数式你能用魔法师变出的这些代数式作为被开方数构造二次根式吗？作为被开方数构造二次根式吗？3-2探究探究解：解：必须必须 x+20 x-2当当x-2时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.对于二次根式来说，被开方数对于二次根式来说，被开方数a必须是一个非负必须是一个非负数，即数，即a0。当。当a是一个代数式时，依据是一个代数式时
7、，依据a0来确定被来确定被开方数中所含字母的取值范围。开方数中所含字母的取值范围。即，对于即，对于 来说，只有来说，只有a0时才有意才有意义。讲解点讲解点2：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件 典例典例 X X为何值时，下列各式有意义。为何值时，下列各式有意义。评析：求代数式的字母的取值范围，对于单个的二次根式来评析：求代数式的字母的取值范围，对于单个的二次根式来评析：求代数式的字母的取值范围，对于单个的二次根式来评析：求代数式的字母的取值范围，对于单个的二次根式来说只需要满足被开方数为非负数；对于多个二次根式的式子，说只需要满足被开方数为非负数；对于多个二次根式的式子，说只需要满足被开
8、方数为非负数；对于多个二次根式的式子，说只需要满足被开方数为非负数；对于多个二次根式的式子，则必须保证多个被开方数同时是非负数；对于含有分母的，则必须保证多个被开方数同时是非负数；对于含有分母的，则必须保证多个被开方数同时是非负数；对于含有分母的，则必须保证多个被开方数同时是非负数；对于含有分母的，则还须考虑分母不能为零。则还须考虑分母不能为零。则还须考虑分母不能为零。则还须考虑分母不能为零。（1 1）（2 2）（3 3）解：（解：（1 1）0 0且且2x+102x+10，得，得x-,x-,当当x-x-时，时，有意义。有意义。（2 2 2 2）由）由）由）由x+1 0 x+1 0 x+1 0
9、x+1 0 且且且且2-x 0 2-x 0 2-x 0 2-x 0 得：得：得：得：-1-1-1-1x2.x2.x2.x2.当当当当-1-1-1-1x2x2x2x2时时，有意有意有意有意义义。（3 3）由）由）由）由5+x 5+x 0000且且且且x+10,x+10,x+10,x+10,得：得：得：得：x-5x-5x-5x-5且且且且x-1 x-1 x-1 x-1 当当当当x-5x-5x-5x-5且且且且x-1x-1x-1x-1时，时，时，时，有意义。有意义。有意义。有意义。求下列二次根式中字母的取值范围：求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的
10、取值范围的基本依据：被开方数大于或等于零；被开方数大于或等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。1、x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?练习练习当当x为怎样的实数时，下列各式有意义？为怎样的实数时，下列各式有意义？x1x6 这会有这会有意义吗？意义吗？（3）-5x0 x0即当即当x0时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.当当x为怎样的实数时，下列各式为怎样的实数时，下列各式有意义？有意义？x3x63x6x1x1x=1x为任何实数为任何实数.x为任何实数为任何实数.已知已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.二二由题意知
11、由题意知a a0 0点点A(A(,)这里指的是对于含有字母的二次根式求值，要注意这里指的是对于含有字母的二次根式求值，要注意字母的取值范围。字母的取值范围。讲解点讲解点3：二次根式的值二次根式的值当当x x分别取下列值时，分别取下列值时，求二次根式求二次根式 的值：的值：(1)x=0(1)x=0 (2)x=1 (2)x=1 (3)x=1 (3)x=1变式练习变式练习:若二次根式若二次根式 的值为的值为3 3，求求x x的值的值.练习练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：求下列二次根式中字母的取值范围：隋堂练习隋堂练习1 1（8）（1）二次根式的概念）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围（3 3）二次根式的值）二次根式的值