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1、1.4.2单位圆与周期性单位圆与周期性阜南二中阜南二中 孙林孙林PMXY复习：单位元与任意角的正弦 函数、余弦函数的定义终边相同的角的正弦函数值、终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即：余弦函数值相等，即：对任意的一个角对任意的一个角x，每增加，每增加2的整数倍的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值其正弦函数值、余弦函数值均不变均不变，所以，所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈呈周期性变化的周期性变化的。一般地，对于函数一般地，对于函数 f(x)f(x)如果存在如果存在非零非零实数实数T，对定，对定义域内的义域内的任意的任意的一个一个x值都有值都有
2、 f(x+T)=f(x)，我们就，我们就把把 f(x)f(x)称为周期函数，称为周期函数，T T称为这个函数的周期。如称为这个函数的周期。如果在所有周期中存在一个果在所有周期中存在一个最小正数最小正数，那么这个最小，那么这个最小正数叫做正数叫做 f(x)f(x)的的最小正周期最小正周期。正弦函数、余弦函数的周期为正弦函数、余弦函数的周期为 ，最小正周期为最小正周期为 。周期函数定义：周期函数定义：质疑探究质疑探究质疑解疑、合作探究质疑解疑、合作探究(一）基础知识探究一）基础知识探究【探究点一】求任意角的三角函数值【探究点一】求任意角的三角函数值例例1求值：（求值：（1）cos(-10500);
3、(2)sin(-)【探究点二】【探究点二】周期函数的定义周期函数的定义问题问题1 1：以下几个命题中正确的有（以下几个命题中正确的有（）若函数若函数f(x)f(x)定义域中存在某个自变量定义域中存在某个自变量x,x,使使 f(x f(x0 0+T)=f(x)+T)=f(x)，则，则f(x)f(x)为周期函数。为周期函数。存在实数存在实数T T,使得对定义域内任意一个使得对定义域内任意一个x,x,都满足都满足 f(x+T)=f(x),f(x+T)=f(x),则则f(x)f(x)为周期函数。为周期函数。周期函数的周期是唯一的。周期函数的周期是唯一的。A.0 A.0个个 B.1 B.1个个 C.2
4、C.2个个 D.3 D.3个个 ,。A理解周期函数定理解周期函数定义要注意：义要注意：(2)(2)值值 域：由于对定义域中任意的域：由于对定义域中任意的x x总有总有f f(x+T)=f(x)(x+T)=f(x)，(T0)(T0)成立，则周期函数成立，则周期函数y=f(x)y=f(x)的值域与函数的值域与函数 y=f(x)y=f(x)在一个周期内的值域相同。在一个周期内的值域相同。(1)1)定义域：对于周期函数定义域：对于周期函数 y=f(x),y=f(x),若其定义域为若其定义域为D,T(TT(T00）是其一个周期，则对任意的是其一个周期，则对任意的 (3)(3)若周期函数若周期函数f(x)
5、f(x)定义域为定义域为R,且且T(TT(T0)0)是其一个周期，是其一个周期，则则 (4)若周期函数的一个周期是若周期函数的一个周期是T(TT(T00）,则则 也是其周期。也是其周期。问题问题2：观察图像看周期：观察图像看周期：例例2.利用周期函数的定义，求函数利用周期函数的定义，求函数y=cos4x 的周期，并确定其最小正周期。的周期，并确定其最小正周期。（二）知识综合应用探究（二）知识综合应用探究【探究点一】【探究点一】利用周期性求值利用周期性求值 （2）已知函数）已知函数f(x)f(x)是是R上的偶函数，且上的偶函数，且 f(1)=2,f(1)=2,f(x+3)=f(x),f(x+3)
6、=f(x),求求f(8).f(8).例例3.（1）已知函数）已知函数 是周期为是周期为3的奇函数，且的奇函数，且 f(-1)=a,求求f(7)。【探究点二】【探究点二】抽象函数的周期性与应用抽象函数的周期性与应用，（2 2）已知：）已知：f(x)f(x)定义在定义在R R上奇函数，且对任上奇函数，且对任意的意的x x满足满足f(2-x)=f(2+x),f(2-x)=f(2+x),求证：求证：f(x)f(x)是是周期函数，并求出它的一个周期。周期函数，并求出它的一个周期。例例4 4（1 1）设）设f(x)f(x)是是R R上奇函数，且上奇函数，且 证明：证明：f(x)f(x)是周期函数是周期函数
7、.T=4T=8拓展提升：拓展提升：已知函数已知函数 对于任意的实数对于任意的实数 ,满足条满足条 件：件：,若若 ，求，求 的值。的值。当堂检测当堂检测有效训练、反馈矫正有效训练、反馈矫正2.2.已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)f(x)满足满足f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),则则f(6)f(6)的值为：（的值为：（）A.-1 B.0 C.1 D.2 A.-1 B.0 C.1 D.23.设 B0我的知识网络图我的知识网络图归纳梳理、整合内化归纳梳理、整合内化 正弦、余弦函数的周期、最小正周期单位圆与周期性终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等周期函数的定义
8、利用定义求周期利用周期性求值分层作业：分层作业：一、必做题：一、必做题：2.2.已知已知f(x)f(x)为奇函数，且为奇函数，且f(x+2)=f(x),f(x+2)=f(x),当当 时，时，求，求 的值。的值。二、选做题：二、选做题：3.定义在定义在R上函数上函数f(x)满足：满足：f(x+6)=f(x),当当-3x-1时，时，f(x)=-(x+2)2,当当-1x3时，时，f(x)=x,则则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2012)=()A.335 B.338 C.1678 D.20124.已知函数已知函数f(x)在定义域在定义域R上恒有：上恒有：f(x)=f(-x)f(2+x)=f(2-x);当当0 x4时，时，f(x)=-x2+4x,（1）求）求f(8);(2)求求f(x)在在0,2010内内 零点个数。零点个数。