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1、2.4 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-31，前面我们学习了随机变量，前面我们学习了随机变量，一，为什么要学习正态分布？一，为什么要学习正态分布？随机变量随机变量随机变量随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量二项分布二项分布二项分布二项分布超几何分布超几何分布超几何分布超几何分布正态分布正态分布正态分布正态分布从课本安排来说，学完离散型随机变量中的概率模型从课本安排来说，学完离散型随机变量中的概率模型（超几何分布和二项分布）之后，（超几何分布和二项分布）之后，接着该学习接着该学习接着该学习接着该学习
2、连续型连续型连续型连续型随机变量中的概率模型了随机变量中的概率模型了随机变量中的概率模型了随机变量中的概率模型了。2:2:从现实生活来说，正态分布广泛存在，必学。从现实生活来说，正态分布广泛存在，必学。比如，长度测量误差，同一地区同龄人的身高，比如，长度测量误差，同一地区同龄人的身高，体重，电器的使用寿命等等，都服从正态分布。体重，电器的使用寿命等等，都服从正态分布。如果一个随机变量是众多的，互不相干的，不分如果一个随机变量是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，那它就服从或近主次的偶然因素作用结果之和，那它就服从或近似服从正态分布。似服从正态分布。一，为什么要学习正态分布？一，
3、为什么要学习正态分布？3，防止上当受骗。街头有一种赌博活动，赌具有点类似杨辉三角，把一个小球从上端放入，小球在下落过程中与每一行木桩碰撞，最后落入不同的球槽，小球落入哪个球槽你就能得到哪个球槽对应的钱。没学习过正态分布的没学习过正态分布的人认为，小球落入哪人认为，小球落入哪个槽都有可能，落入个槽都有可能，落入各个槽可能性相同。各个槽可能性相同。学习过正态分布的人就学习过正态分布的人就知道，小球落入哪个槽知道，小球落入哪个槽实际上服从正态分布，实际上服从正态分布，所以有的槽放的钱再多，所以有的槽放的钱再多，你也赢不到。你也赢不到。（1）实验前）实验前知道小球会知道小球会掉入哪个球掉入哪个球槽内吗
4、？槽内吗？（3）中间的）中间的小球多表示什小球多表示什么？么？二，正态分布二，正态分布我们通过模拟刚才的赌博也就是数学上的高尔顿板实验来说明（4 4）你能画）你能画出它的频率直出它的频率直方图吗？方图吗？（2）小球大）小球大概是怎么分概是怎么分布的？布的？组距组距频率频率组距组距o2468频率分布直方图频率分布直方图中间高，两头低，左右大致对称中间高，两头低，左右大致对称xy0 现在我们不断扩大小球个数，看看相应的频率分布直方图有什么变化？可可以以看看出出,变变中中有有不不变变，基基本本形形状状不不会会发发生生变变化化，但但随随着着样样本本容容量量越越来来越越大大,分分组组的的组组距距越越来来
5、越越小小,这这个个频频率率直直方方图图上上面面的的折折线线就就会会越越来来越越接近于一条光滑曲线接近于一条光滑曲线-正态曲线正态曲线xy0 准确的来说，我们是把这种准确的来说，我们是把这种“中间高，两头低，左右完全中间高，两头低，左右完全对称对称”有点像钟形的曲线有点像钟形的曲线,叫做叫做“正态分布密度曲线正态分布密度曲线”，简称为简称为正态曲线正态曲线。这种曲线对应的函数叫正态密度函数。这种曲线对应的函数叫正态密度函数（形式如下）（形式如下）式中的实数式中的实数 、是参数是参数,分别表示总分别表示总体的体的平均数与标准差平均数与标准差.不同的不同的 对应着不同的正对应着不同的正态密度曲线。态
6、密度曲线。)0(xy0012-1-2xy-334=1=2012-1-2xy-33=0=1 练习1：下列函数是正态密度函数的是（）A,练习2：说出下列正态密度函数的 练习3：等于多少时正态函数变成标准正态函数？思考：结合刚才的实验，若用思考：结合刚才的实验，若用X表示落下的小球第一表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触的坐标，则次与高尔顿板底部接触的坐标，则X是一个随机变量是一个随机变量.问：问：X落在区间落在区间(a,b的概率怎么求？的概率怎么求？0 a b a b频率频率组距组距组距组距2、正态分布的定义、正态分布的定义3.3.正态曲线的特点正态曲线的特点012-1-2xy-3=-1=0.5
7、012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的的基本特征基本特征012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线都在）曲线都在 轴的上方，却与轴的上方，却与 轴永不相交轴永不相交.（2）曲线关于直线）曲线关于直线 对称对称.3.3.正态曲线的特点正态曲线的特点（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为（3）曲线在）曲线在 处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)，最大值为，最大值为x=-1-1x=0 0 x=1 1x=x=0.5=-1=0=1(5
8、)若若 固定固定,图形随图形随 值值的变化而沿的变化而沿x轴平移轴平移,故故 称称 为位为位置参数；置参数；=0.5=1=2=0（6）若）若 固定固定,大胖小瘦大胖小瘦,故称故称 为形状参数。为形状参数。越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布，表示总体的分布越分散越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布，表示总体的分布越集中越集中.例1 设三个正态分布的密度函数图象如图所示，则比较、由特点（由特点（2），曲线关于直线），曲线关于直线 对称对称.立马知道对称轴立马知道对称轴为为 这样我们就可以画出如下正态曲线草图这样我们就可以画出如下正态曲线草图x=由特点由特点
9、（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1知知,x=2，总结一下若若,则则4.什么叫什么叫3原则？原则？由第由第3图知，正态总体几乎总取值于图知，正态总体几乎总取值于 之内之内,而在此区间以外取值的概率只有而在此区间以外取值的概率只有0.3,通常通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在在实实际际应应用用中中，通通常常认认为为服服从从于于正正态态分分布布N(,2)的的随随机机变变量量只只取取 之之间间的的值值，并称为并称为3原则原则 例例1.1.在在某某次次数数学学考考试试中中,考考生生的的成成绩绩X X服服从从正正态态分分布布X XN(90
10、,100).(1)N(90,100).(1)求求考考试试成成绩绩X X位位于于区区间间(70,110)(70,110)上上的的概概率率是是多多少少?(2)?(2)若若此此次次考考试试共共有有20002000名名考考生生,试试估估计计考考试试成成绩绩在在(80,100)(80,100)间间的的考生大约有多少人考生大约有多少人?解解:依题意依题意,X,XN(90,100),N(90,100),即考试成绩在即考试成绩在(80,100)(80,100)间的概率为间的概率为0.6826.0.6826.考试成绩在考试成绩在(80,100)(80,100)间的考生大约有间的考生大约有练习练习.若若XN(5,
11、1),求求P(6X7).解解:因为因为X XN(5,1),N(5,1),又因为正态密度曲线关于直线又因为正态密度曲线关于直线 x=5=5 对称对称,1.这一节课我们解决了哪几个问题？这一节课我们解决了哪几个问题？2 2.你能回答这几个问题吗你能回答这几个问题吗？学案学案：完成反馈测评：完成反馈测评课本课本：P74-75全做全做 【1】某校高三男生共】某校高三男生共1000人，他们的身人，他们的身高高X(cm)近似服从正态分布近似服从正态分布 ,则则身高在身高在180cm以上的男生人数大约是以上的男生人数大约是（）A.683 B.159 C.46 D.317xyoxyo1 1、若若XN（，2），
12、问），问X位于区域（位于区域（，）内的概率是多少？内的概率是多少？解：由正态曲线的对称性可得，解：由正态曲线的对称性可得，练一练：练一练：2、已知、已知XN(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率 A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 =,=.D0.50.95444、若已知正态总体落在区间、若已知正态总体落在区间 的概率为的概率为0.5，则，则相应的正态曲线在相应的正态曲线在x=时达到最高点。时达到最高点。0.35、已知正态总体的数据落在（、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落）里的概率和落在（在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是期望是 。1 练一练：练一练：归纳小结1.正态曲线及其特点；正态曲线及其特点；2.2.正态分布及概率计算；正态分布及概率计算；3.33.3s s原则原则。（2）球会掉入哪个球槽内的概率高？）球会掉入哪个球槽内的概率高？（1）球会掉入哪个球槽内？）球会掉入哪个球槽内？（3）槽内小球堆积的高度特征？）槽内小球堆积的高度特征？